Ecuación del movimiento

Transcripción

1 Cinemática Tema 2

2 Ecuación del movimiento La ecuación del movimiento nos da la posición en la que se encuentra un móvil en función del tiempo. Esto quiere decir, que dado un valor del tiempo, podemos obtener la posición Ejemplo 1.- La ecuación del movimiento de un móvil viene dada por la función s t = 2t 2 + 3t. Calcula la posición de la partícula en t=0 y en t=5 s. Para calcular la posición en un determinado instante de tiempo, lo único que tenemos que hacer es sustituir el valor del tiempo en la ecuación: s t = 0 = = 0 m s t = 5 = = 65 m Con lo que podemos decir, que en t=0 el móvil se encuentra en el origen del sistema de referencia, y en t=5 s el móvil se encuentra a 65 metros de origen de coordenadas.

3 Velocidad media y velocidad instantánea Definimos la velocidad media de un cuerpo como el cociente entre el desplazamiento y el tiempo que se ha empleado en dicho desplazamiento: < v >= desplazamiento tiempo Un móvil no necesariamente se mueve siempre a la misma velocidad. Así, definimos la velocidad instantánea como el valor de la velocidad que tiene el móvil en cada instante de tiempo. Ojo!. La velocidad es vectorial

4 Representación gráfica de movementos

5 Representación de movementos. (Continuación)

6 Representación gráfica de movimentos

7 Representación gráfica de movementos

8 Representación gráfica de movementos (Continuación)

9 Representación gráfica de movementos

10 Representación gráfica de movementos (Continuación)

11 Representación gráfica

12 Representación gráfica (Continuación)

13 Representación gráfica

14 Representación gráfica (Continuación)

15 El movimiento rectilíneo uniforme El movimiento rectilíneo uniforme es un movimiento que tiene lugar en línea recta y además la velocidad de dicho movimiento se mantiene constante durante el mismo. Es decir, la velocidad siempre tiene el mismo valor. Las ecuaciones de un cuerpo que se mueve con movimiento rectilíneo uniforme son: v = v 0 = constante r t = r 0 ± v 0 t

16 Movimiento rectilíneo uniforme

17 Movemento rectilíneo uniforme

18 MRU

19 MRU

20 El movimiento rectilíneo uniforme Ejemplo 2.- Un cuerpo situado inicialmente a 5 m de un árbol que tomaremos como origen se mueve hacia la derecha alejándose del árbol a una velocidad de 5 m/s. Plantea la ecuación del movimiento y calcula la posición del móvil a los 2 s de haberse iniciado el movimiento. Como la posición inicial nos dicen que está a 5 m del origen asignaremos los siguientes valores: r 0 = 5 m v 0 = +2 m/s r t = t Para calcular la posición del móvil a los 2 segundos de haber iniciado el movimiento, solamente tenemos que sustituir el tiempo por 2 s: r t = 2 = = 9 m

21 El movimiento rectilíneo uniforme Ejemplo 3.- Desde un punto A parte un coche hacia un punto B situado a 2500 m de A a 15 m/s. Al mismo tiempo, desde B sale una moto hacia A a una velocidad de 20 m/s. Calcular las ecuaciones de ambos cuerpos y el punto de encuentro, así como el tiempo que tardan en encontrarse: La ecuación del cuerpo que sale de A y B será: r A = 15 t r B = t El punto de encuentro de ambos cuerpos se obtiene igualando las ecuaciones del movimiento: r A = r B 15 t = t t = s Por lo tanto, se encontrarán al cabo de s. El punto de encuentro se obtendrá sustituyendo el tiempo en cualquiera de las ecuaciones anteriores: r A = 15 t r A = = m Esto quiere decir que se encuentra a m de distancia de A

22 MRU

23 El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es aquel en el que la aceleración es constante, por lo que la velocidad no será constante en este caso. En lo que se refiere a las ecuaciones: v = v 0 ± a t r = r 0 + v 0 t ± 1 2 a t2 En estas ecuaciones utilizaremos los signos + para movimiento de aceleración y para los movimientos de frenado.

24 El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Ejemplo 4.- Un coche se mueve a una velocidad de 20 m/s, decelera a razón de 2 m/s 2 hasta que se para. Calcular el tiempo que tarda en pararse y el espacio que recorre hasta detenerse Si el coche se para, la velocidad final es cero, con lo cual, las ecuaciones anteriores quedan: 0 = 20 2 t t = 10 s r = r = 100 m Es decir, el coche tarda 10 s en detenerse y recorre 100 m hasta que se para del todo.

25 MRUA

26 El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Ejemplo 5.- Un coche se mueve a una velocidad de 20 m/s, frena y se para utilizando 200 m para pararse del todo. Calcula el valor de la aceleración y el tiempo que tarda en detenerse. Las ecuaciones anteriores quedan: 0 = 20 a t 200 = 20 t 1 2 a t2 Esto forma un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Despejando una de ellas de la primera ecuación: Ahora sustituimos en la segunda: t = 20 a 200 = a 1 2 a 20 a 2 a = 1 m/s Una vez calculada la aceleración, podemos calcular el tiempo empleado en la parada: t = 20 a = 20 s

27 Caída libre y tiro vertical La caída libre y el tiro vertical son movimientos que tienen lugar en el eje vertical sometidos a la aceleración de la gravedad. Para el tiro vertical, tendremos en cuenta que lanzamos un cuerpo hacia arriba desde una altura h 0 determinada a una velocidad inicial v 0. Las ecuaciones del movimiento son: v = v 0 g t Para la caída libre, tendremos en cuenta, que dejamos caer un cuerpo (con velocidad inicial nula) desde una altura h 0. Las ecuaciones del movimiento son: v = g t h = h g t2 h = h 0 + v 0 t 1 2 g t2

28 Caída libre y tiro vertical Ejemplo 6.- Dejamos caer desde una altura de 25 m un cuerpo. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo. Si llega al suelo, la altura fina será cero, por lo tanto las ecuaciones de la caída libre nos quedará: h = h g t2 0 = t2 t = 2.26 s

29 Caída libre y tiro vertical Ejemplo 7.- Lanzamos desde una altura inicial de 5 m un cuerpo hacia arriba con una velocidad inicial de 12 m/s. Calcula la altura máxima que alcanza y el tiempo que tarda en llegar al suelo. Las ecuaciones del tiro vertical son: Sustituyendo los datos que nos da el problema las ecuaciones quedarán: v = v 0 g t h = h 0 + v 0 t 1 2 g t2 v = t h = t 4.9 t 2 Lo primero que nos pregunta el problema es la altura máxima. La altura máxima tiene lugar cuando la velocidad se anula t = 0 t = 1.22 s Este es el tiempo que tarda en llegar al punto de máxima altura. Para calcular el valor de esta altura, tendremos que sustituir este tiempo en la ecuación de la altura h = = m Posteriormente nos preguntan el tiempo que tarda en llegar al suelo. Para ello, tendremos en cuenta que cuando llega al suelo h=0. Sustituyendo en la ecuación correspondiente: 0 = t 4.9 t 2 Que tiene como solución positiva (la solución negativa se deshecha por no tener significado físico): t = 2.81 s

30 Caída libre e tiro vertical

31 Caída libre e tiro vertical

32 Caída libre e tiro vertical

33 Caída libre e tiro vertical

34 Caída libre e tiro vertical

35 Caída libre e tiro vertical (Continuación)

36 Caída libre e tiro vertical

37 Movimiento circular uniforme En el movimiento circular uniforme se define una magnitud llamada velocidad angular: ω = ángulo girado Tiempo También se puede calcular la frecuencia. Se define la frecuencia como el número de vueltas que da el cuerpo en 1 segundo. La frecuencia es la inversa del periodo y se puede calcular como: f = ω 2π La unidad de frecuencia en el sistema internacional es el Hercio (Hz) Relacionado con esta magnitud tenemos el periodo (T). Se define el periodo como el tiempo que tarda el móvil en describir una vuelta entera. Se calcula como: T = 2π ω También se puede calcular la velocidad lineal (v) de un punto que está describiendo una trayectoria circular como: v = ω R Siendo R el radio de la circunferencia que está describiendo el móvil

38 Movimiento circular uniforme Ejemplo 8.- Una rueda de una bicicleta está girando a razón de 50 rad/s. Calcula: a) El periodo b) La frecuencia c) La velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda si tiene un radio de 20 cm Para calcular el periodo: T = 2π ω = 2π 50 = s La frecuencia es la inversa del periodo: f = 1 T = = 8 Hz La velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda la calcularemos como: v = ω R = = 10 m/s

39 Movemento circular uniforme

40 Movemento circular uniforme

41 Movemento circular uniforme

42 Movemento circular uniforme