Seminario. Física SÓLIDO RÍGIDO

Transcripción

1 Seminario Física SÓLIDO RÍGIDO

2 ENUNCIADO PROBLEMA CHOQUE MASA-VARILLA. Disponemos de una varilla que puede girar libremente en un plano vertical en torno a un eje fijo que pasa por uno de sus extremos. Se desplaza de su posición de equilibrio y se libera. Si cuando pasa por la vertical el extremo libre de la varilla choca contra una pequeña bola de plastilina que se encuentra en reposo sobre una mesa horizontal, quedando ambos unidos, determinar la velocidad de salida del choque. RESOLUCION Analizamos el problema dividiendo su desarrollo en dos fases. La primera, desde que se libera la varilla hasta el instante del choque; la segunda fase se reduce al choque. Las únicas fuerzas que se encuentran en el sistema son los pesos (fuerzas conservativas), tanto de la varilla como de la bola (con origen en la atracción gravitatoria entre la tierra y el propio sistema) y las reacciones a ellos; en el caso de la bola, la reacción desde la mesa en la que se apoya, es la normal, de igual magnitud y dirección, pero de sentido contrario, mientras que en el caso de la varilla, su peso se puede descomponer en una fuerza perpendicular a su eje, que será la que dé lugar a su movimiento, y otra longitudinal, que se ejercerá sobre el eje, inmóvil, dando lugar a una reacción desde él, que la anulará. La fuerza que realiza trabajo (componente útil del peso) varía con el ángulo que forma la varilla con la vertical, por lo que es variable y el movimiento de la varilla será acelerado, pero no uniformemente. Durantea primera fase, consideraremos constante el peso de la varilla, por ser despreciable la variación de distancia entre ella y el centro de la tierra durante su movimiento, y no tendremos en cuenta los rozamientos, tanto con el aire como en el eje; por lo tanto la única fuerza que realiza trabajo (el peso) es conservativa, por lo que podemos aplicar el principio de conservación de la energía. En el momento inicial la varilla tiene una energía potencial gravitatoria, que depende de su masa, la gravedad y la altura respecto a un punto de referencia, que ubicaremos en el punto más bajo del recorrido del centro de masas, es decir, en la posición que toma el centro de la varilla cuando ésta está vertical, bajo el eje que la soporta, en equilibrio. No existe movimiento, ni energía cinética, por tanto, en este instante, así como no habrá energía potencial gravitatoria en el momento del choque, por hacerse cero la altura de su centro de masas, lo que nos permite igualar la energía potencial gravitatoria en el momento inicial a la energía cinética (de rotación) en el momento final.

3 La segunda fase se reduce al choque, instante en el que el peso de la varilla, debido al ángulo que forma con la vertical (0º) no tiene componente útil (que origine trabajo). En estas circunstancias, el peso de la varilla tiene una única componente, longitudinal, que se anula con la reacción en el eje de giro, por lo que, estando todas las fuerzas externas compensadas y anuladas entre sí, se puede considerar el sistema aislado, y aplicamos la ley de conservación del momento, por tratarse de un choque inelástico. En este instante, al unirse la bola a la varilla, cambia el centro de masas del conjunto móvil (inicialmente en el centro de la longitud de la varilla, por suponer que era uniforme, en forma y densidad, a lo largo de su estructura), así como su masa, al acumularse la de los dos elementos. La velocidad con la que el conjunto de varilla y pelota (unidas) salen del choque depende de estas variables: En primer lugar de la altura inicial ( ) a la que se encuentra la varilla (su centro de masas) cuando la soltamos; ésta depende a su vez del radio de la circunferencia sobre la que gira la varilla y del ángulo (θ) que forma ésta con el eje vertical en el instante en que se libera; como son interdependientes, se puede definir el sistema sólo con dos de ellas, por lo que eliminaremos una, expresándola, si fuera necesario, en función de las otras; prescindimos del ángulo inicial, por ser la opción que más simplifica el estudio. Debido a esta altura, el sistema dispone de una energía potencial gravitatoria en el primer momento, por lo que, al convertirse en energía cinética rotacional, por efecto de la aceleración que sobre ella ejerce la componente útil de su peso, ésta será mayor en el momento del choque, y también lo será la velocidad al salir de él, cuanto mayor sea esta altura inicial.

4 El radio de la circunferencia (L) de giro, que es igual al largo de la varilla. Será necesario para ubicar la posición de la varilla y necesitaremos conocerlo para poder trabajar con velocidades angulares. Su tamaño afecta limitando la altura inicial del centro de masas a su longitud, como máximo; por otra parte, si expresamos el resultado como velocidad angular (dato común a todos los puntos del móvil), al aumentar la circunferencia, disminuirá la velocidad angular (para una misma velocidad lineal) y viceversa. La masa de la varilla (M) también hará que, al aumentar, aumente la energía potencial gravitatoria que presenta en el momento inicial, así como la energía cinética al llegar al punto más bajo, con el consiguiente aumento en la velocidad con que salga del choque. La masa de la bola de plastilina (m) influye de forma inversa, pues no tiene movimiento (energía cinética nula) ni altura inicial (energía potencial gravitatoria nula) en el instante del choque, por lo que su energía mecánica total es cero, así como su momento, y presentará una inercia mayor cuando se sumen las dos masas, inercia que habrá que vencer para ponerla en movimiento con la energía que aporte la varilla en el momento del choque. Para todos los cálculos se considerará la bola como una masa puntual. Finalmente, la gravedad (g) (fuerza conservativa, considerada constante, como se ha establecido antes) es la que aporta una energía potencial gravitatoria en el momento inicial (igual al producto de la masa de la varilla, por la altura respecto al nivel de referencia, por la propia gravedad), por lo que si se lleva a cabo el experimento en un lugar con mayor (o menor) gravedad, encontraremos más (o menos) energía potencial gravitatoria en el momento inicial, que se convertirá en mayor (o menor) energía cinética en el instante del choque y, por tanto, mayor (o menor) velocidad, tanto antes como después del choque. Abordaremos el problema calculando, en primer lugar, la energía de la parte móvil en el momento de la colisión. A partir de ella obtendremos el valor de la velocidad y podemos conocer la magnitud del momento angular. Para llegar a los valores de velocidad y momento angular calculándolos por dinámica, deberíamos usar los únicos datos que tenemos en el inicio: el peso, el radio de giro y el ángulo θ. Conociendo la fuerza (M g sen θ) y la masa, aplicamos la aceleración resultante para conocer la velocidad y el espacio recorrido en cada momento; para ello debemos integrar para obtener la velocidad, pero ahora la aceleración depende también de la posición (g sen θ), lo que complica la operación más allá de las herramientas matemáticas que dominamos actualmente. Por tanto, abandonamos este camino, para escoger el cálculo de energías, mucho más descriptivo y sencillo para operar.

5 En el momento inicial, no hay energía cinética, mientras se sostiene la varilla fuera de su posición de equilibrio; sólo hay una energía potencial gravitatoria, fruto de la masa de la varilla, la gravedad y la altura, respecto al nivel de referencia, a la que se encuentra el centro de masas de la misma. En el instante del choque, no queda energía potencial gravitatoria, por llegar el centro de masas al nivel de referencia (altura = 0), por lo que la energía cinética es la única presente. ( ) ( ) Partimos de la definición del momento de inercia y,para una barra que gira sobre uno de sus extremos, aplicamos su valor: Aplicamos su valor y calculamos el valor de la energía cinética rotacional: Y la igualamos a la energía inicial (potencial). Conociendo el montante de la energía, podemos calcular el momento angular del sistema (en este instante, la varilla). Por darse después un choque plástico o totalmente inelástico, no se conservará la energía, pero sí el momento total, que coincidirá con el que aporta la varilla (único momento que se aporta al conjunto, por estar la bola parada). Velocidad angular de la varilla: Y su momento angular:

6 Al verificarse el choque, se conserva el momento, pero éste se aplica a un nuevo conjunto, compuesto por la varilla más la bola de plastilina, que se queda pegada. Ahora el centro de masas está en una ubicación distinta y la masa del móvil es la suma de los dos componentes: varilla y bola. Calculamos el momento de inercia del nuevo conjunto, suma de los dos momentos de inercia individuales: Conociendo el momento angular (que es igual al de la varilla antes del choque), y el momento de inercia del nuevo conjunto, podemos calcular su velocidad. Para que el dato de la velocidad sea útil para cada parte del conjunto, lo expresamos como velocidad angular, que es común a todos sus puntos. Si calculamos la velocidad lineal de la bola (de su centro de masas) en el instante en que sale del choque, ésta no depende del radio de giro L, aunque lo habíamos incluido entre las variables de las que dependería la velocidad de salida. Sin embargo, al expresar el resultado como velocidad angular, obviamente, forma parte de él. En la expresión obtenida vemos cómo el valor de la gravedad y de la altura inicial afectan como habíamos previsto al resultado final (relación directa), si bien no se trata de una relación proporcional, sino que se observa la proporción con la velocidad de un cuerpo que cae libremente de la altura inicial.

7 En cuanto a las masas de los dos componentes, afectan como la relación entre la masa de la varilla y la de una suma de ellas (M+3m); efectivamente, cuanto mayor sea la masa de la varilla (M), más se aproximará el cociente a la unidad (valor máximo), mientras que al aumentar la masa de la bola (m), en relación a la de la varilla, menor será el cociente, comportándose el sistema, finalmente, de la forma prevista. Como resultado de la proporción entre las masas, podríamos ver cómo, si la masa de la bola llegara a ser despreciable respecto de la de la varilla, ésta no se vería frenada en el momento del choque, mientras que si creciera desproporcionadamente, la varilla llegaría al punto del choque y quedaría ahí parada (resultado del cociente tiende a cero).