7. PÉNDULO DE TORSIÓN

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Rosario Zúñiga Medina
hace 7 años
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1 7. PÉNDULO DE TORSÓN OBJETVO El objetivo de la práctica es comprobar la dependencia del momento de inercia de un objeto respecto a la distancia al centro de rotación y realizar la medición del momento de inercia de un cuerpo de forma complicada. MATERAL Péndulo de torsión (alambre metálico y objeto de desconocido) Cronómetro Dos esferas iguales de masa conocida Regla graduada 1

2 FUNDAMENTO Cualquier movimiento puede descomponerse como combinación de movimientos lineales y de rotación. Si el momento cinético lineal de un cuerpo se define como p = m v ; el momento angular de un cuerpo rígido en rotación es otra magnitud vectorial que se define como el producto del momento de inercia y la velocidad angular, L = ω. Para un movimiento lineal la actuación de una fuerza F es la responsable de que p varíe con el tiempo; de forma que el parámetro p se conserva si existe una resultante de fuerzas nula. De la misma manera, en un movimiento circular la actuación del momento creado por una fuerza, M, origina una variación de L con el tiempo; por lo que si no se aplica externamente ningún momento de una fuerza, se cumple el principio de conservación del momento angular L. El momento de inercia, definido respecto a un eje específico de rotación, es el equivalente a la masa m en la analogía lineal, de la misma manera que ω es equivalente a la velocidad lineal v. Tanto como ω dependen de la distancia radial R al eje de giro, parámetro que caracteriza el movimiento rotatorio junto a la masa y la velocidad. El momento de inercia de una masa puntual de masa m con respecto a un eje de giro se define como = m R, siendo R la distancia al eje de giro. Para un cuerpo extendido, la fórmula general de se construye integrando elementos infinitesimales de masa a partir de esta básica definición. El péndulo de torsión es un mecanismo particularmente útil para medir el momento de inercia de un objeto de forma complicada. Está formado por un alambre metálico que por un extremo lleva suspendido un objeto por su centro de masa, en el caso de esta práctica una barra rectangular con orificios (ver figura). M M Cuando a la barra suspendida le aplicamos un par de fuerzas retorciendo el alambre un ángulo θ, éste r' ejerce sobre la barra un momento de una fuerza M r'' recuperador alrededor del alambre que se opone al desplazamiento θ y de módulo proporcional al ángulo; M = -Kθ, donde K es el coeficiente de torsión del alambre. Cuando dejamos oscilar libremente la barra (considerando despreciable el rozamiento con el aire), se origina un movimiento angular armónico simple, cuyo periodo T (tiempo transcurrido en realizar una oscilación completa) viene dado por la expresión T = π [7-1] K

3 O sea, que el periodo de oscilación es función de el momento de inercia de la barra problema alrededor del eje de rotación,, y del coeficiente de torsión del alambre, K. 1 Como desconocemos el valor de K, para calcular utilizaremos dos cuerpos de geometría conocida. Si colocamos sobre la barra dos esferas, cada una de masa M, a la misma distancia r del alambre, el nuevo periodo de oscilación viene dado por la fórmula: + ' T ' = π [7-] K donde ' es el momento de inercia de las dos esferas respecto al eje de rotación del sistema, de valor conocido: ' = M r' [7-3] siendo r' la distancia del eje de rotación al centro de masa de las esferas. De las ecuaciones [7-1] y [7-], eliminando K, se obtiene el momento de inercia de la barra problema en función del de las esferas y los diferentes periodos de oscilación, que se medirán en esta práctica: T = ' [7-4] T ' T MÉTODO Si se gira la barra un ángulo alrededor del alambre, que actúa como eje de giro vertical, y se deja en libertad, comenzará a oscilar en un plano horizontal. Cuando el movimiento sea uniforme se cronometra el tiempo de 40 oscilaciones completas (una oscilación completa es la que ocurre entre el punto de distancia angular máxima con respecto a la posición de equilibrio hasta que retorna a él de nuevo, habiendo pasado dos veces por la posición de equilibrio; es decir, ida y vuelta). El periodo experimental T vendrá dado por T = t / 40 [7-5] Esta operación se repite 3 veces para determinar el periodo medio de oscilación. Coloca las dos esferas en los dos orificios más próximos (distancia r') y luego en los más alejados (distancia r'') y determina los nuevos periodos de oscilación T y T del sistema. Calculando los momentos de inercia de las esferas e, y aplicando para cada caso la fórmula (7-4), se obtendrán de este modo dos estimaciones diferentes del momento de inercia de la barra. 1 Alonso Finn, Física Vol., pág

4 DATOS EXPERMENTALES Sobre la precisión del cronómetro de que dispones, establece la incertidumbre de tu medida personal para cronometrar tiempos. APARATO DE MEDDA Precisión del ncertidumbre de la (variable a medir) aparato (unidades) medida (unidades) Cronómetro (t) Δt = Anota los valores de la masa M de una de las esferas y de las posiciones r y r de las mismas respecto al eje de giro (están indicadas sobre el montaje experimental). Para simplificar, consideraremos constantes estos valores (ΔM = Δr = Δr = 0). Masa (unidades) Radio de giro 1 (unidades) Radio de giro (unidades) M= r = r = a) Medida de los períodos Anota en la tabla adjunta las medidas obtenidas, expresando los valores de t que mides de forma concordante a tu incertidumbre de medida directa Δt. Los valores de las incertidumbres indirectas ΔT y ΔT las calcularás posteriormente. Tabla (7.1): Variable Tiempo de 40 oscilaciones t i = (t ± Δt) s Período T=t/40 (unidades) Valor medio de T (unidades) Valor medio de T (unidades) Sin esferas Con Esferas R=r' t 1 = t 1 = t 1 = t = t = t = t 3 = t 3 = t 3 = T 1 = T 1 = T 1 = T = T = T = T 3 = T 3 = T 3 = T = T ' = T '' = T = T ' = T '' = R=r'' 4

5 b) Momento de inercia de las esferas respecto al eje de giro. Si M es la masa de cada esfera y r, r las distancias relativas al eje de rotación, refleja los cálculos de los respectivos momentos de inercia ' e '', y rellena la siguiente tablas: VARABLE '=M(r') VALOR (unidades) ''=M(r'') c) Momento de inercia de la barra. Refleja los cálculos de 1 e, que son dos estimaciones del momento de inercia de la barra respecto al mismo eje de rotación. 1 T = ' T ' T = T = '' T '' T = Valor medio: 1 + = = Tabla (7.): VARABLE 1 VALOR (unidades) medio 5

6 RESULTADOS EXPERMENTALES (A) Deduce las expresiones generales de las incertidumbres de medida indirecta ΔT y ΔT, a partir de su dependencia de las medidas directas realizadas. ΔT = ΔT = FÓRMULAS GENÉRCAS Calcula numéricamente ΔT : ΔT = Para los tres casos considerados, calcula la desviación máxima D m y las incertidumbres ΔT medio y Δ(T medio ), sin redondear a una cifra significativa e indicando las unidades respectivas en los paréntesis de la tabla. Recuerda que ΔT medio = máx (ΔT, D m ). y que D m = (T máx -T mín )/ D m ( ) ΔT medio ( ) Δ(T medio ) ( ) Sin esferas Con esferas a r Con esferas a r (B) Refleja las fórmulas genéricas de las incertidumbres indirectas Δ 1, Δ y Δ medio, considerando que Δ = Δ = 0, o sea, que i = i (T i ). Δ i FÓRMULAS GENÉRCAS Δ medio Refleja los cálculos correspondientes a los valores con los que rellenar la tabla 7.3: 6

7 Expresa en las dos primeras columnas, sin redondear, los valores obtenidos en las medidas indirectas de la tabla (7.) para el momento de inercia de la barra y las incertidumbres de medida indirecta Δ 1, Δ y Δ medio ; y en la columna de resultados, expresados de la forma (Medida ± ΔMedida), los valores en concordancia decimal con las incertidumbres, a su vez redondeadas a una sola cifra significativa. ndica las unidades utilizadas en cada caso. Tabla (7.3): VARABLE VALORES NCERTDUMBRES RESULTADOS (unidades S..) 1 medio (C) Qué error relativo (Δ medio / medio ) has cometido en el cálculo de medio? Qué porcentaje del momento de inercia representa su incertidumbre? 7

8 CUESTONES Qué fuentes de error encuentras en la práctica? Qué ocurre con la velocidad de movimiento de la barra al poner las dos esferas sobre ella en la primera posición, y luego al ponerlas en la posición más alejada del eje de giro? Atendiendo a la ecuación (7.1) y a la definición de momento de inercia, es este comportamiento coherente con la dependencia del momento de inercia respecto a la masa y respecto a la distancia al eje de giro?. En cualquier movimiento que realice un cuerpo, el principio de conservación de la energía mecánica se expresaría: Trabajo + energía potencial + energía cinética de traslación + energía cinética de rotación = constante. Si para un péndulo de torsión se tiene que Trabajo=Mθ y E c rot = (1/) ω, indica brevemente cómo contribuyen todos los sumandos, p.ej. para la barra sin esferas en la primera parte del experimento. Piensa: Qué ocurriría en un tiovivo que gira a una velocidad angular ω si los niños que viajan en él se acercan simultáneamente al eje del mismo? Por qué la persona que patina sobre hielo extiende los brazos cuando quiere dejar de dar vueltas? 8

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