BACHILLERATO FÍSICA B. REPASO DE MECÁNICA. Dpto. de Física y Química. R. Artacho

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1 BACHILLERATO FÍSICA B. REPASO DE MECÁNICA R. Artacho Dpto. de Física y Química

2 B. REPASO DE MECÁNICA ÍNDICE 1. Las magnitudes cinemáticas 2. Movimientos en una dimensión. Movimientos rectilíneos 3. Movimientos en dos dimensiones 4. Masa y momento lineal 5. Leyes de la dinámica de Newton 6. Impulso mecánico 7. Fuerzas elásticas o restauradoras 8. Resolución de problemas de fuerzas 9. Trabajo Mecánico 10. Energía mecánica 11. Colisiones entre cuerpos 12. Trabajo y energía potencial: fuerzas conservativas 13. Conservación de la energía mecánica 2

3 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 1 Las magnitudes cinemáticas Las magnitudes que permiten describir completamente el movimiento de un cuerpo son: la posición, la velocidad y la aceleración Posición Se define la posición como el vector que une el origen del sistema de referencia elegido con el lugar ocupado por el cuerpo. La unidad de posición en el S.I. es el m. Y z k O y j r x i X r = x i + y j + z k x = rcosα y = rcosβ z = rcosγ r = x 2 + y 2 + z 2 Z cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 3

4 1.1. Posición B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 1 Las magnitudes cinemáticas Posición de un cuerpo en movimiento Cuando un cuerpo se mueve, cambia su posición. El vector de posición como función del tiempo nos da la ecuación de la trayectoria: r(t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k Y trayectoria s Se define el desplazamiento: r r = r final r inicial r inicial r final En general: O X r s (distancia recorrida) Z 4

5 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 1 Las magnitudes cinemáticas 1.2. Velocidad Se define velocidad como la rapidez con que varía la posición. La unidad de velocidad en el S.I. es el m/s. Velocidad instantánea v m = r t Y r 0 d r r v v = lim t 0 t r r r v = d r dt = dx dy dz i + j + dt dt dt k v = v x i + v y j + v z k O X v = v x 2 + v y 2 + v z 2 Z La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria 5

6 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 1 Las magnitudes cinemáticas 1.3. Aceleración Se define aceleración como la rapidez con que varía la velocidad. La unidad de aceleración en el S.I. es el m/s 2. Aceleración instantánea Y a m = v t v a = lim t 0 t = d v dt = dv x dt i + dv y dt j + dv z dt k a a = a x i + a y j + a z k a = a x 2 + a y 2 + a z 2 Z O X a = d2 r dt 2 = d2 x dt 2 i + d2 y dt 2 j + d2 z dt 2 k La aceleración instantánea es un vector dirigido a la parte cóncava de la trayectoria 6

7 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 1 Las magnitudes cinemáticas 1.3. Aceleración Componentes intrínsecas de la aceleración a a t u r a c a a c La aceleración tangencial, a t, produce cambios en el módulo de la velocidad: a t = dv dt u t a t La aceleración centrípeta, a c, produce cambios en la dirección de la velocidad sin afectar a su módulo: a c = v2 r u r a = a t u t + a c u r a = a t 2 + a c 2 7

8 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 1 Las magnitudes cinemáticas EJERCICIO 1 El vector de posición de un movimiento viene dado por: r t = 2t 2 1 i 3t j + 4 k Determinar: a) La ecuación de la trayectoria. b) La velocidad media entre los instantes t = 1 y t = 3 s. c) El vector velocidad instantánea en función del tiempo y su módulo. d) La aceleración en función del tiempo y su módulo. e) Las componentes intrínsecas de la aceleración en t = 1 y t = 3 s. f) El radio de curva en los instantes t =1 y t = 3 s. 8

9 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 2 Movimientos rectilíneos 2.1. Movimiento rectilíneo uniforme O x 0 x v = dx x dt dx = vdt dx = x 0 t 0 t vdt x = x 0 + v(t t 0 ) x = x 0 ± vt x x x 0 x 0 t Móvil que se dirige hacia valores positivos de la posición t Móvil que se dirige hacia valores negativos de la posición 9

10 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 2 Movimientos rectilíneos 2.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado t t O x 0 x a = dv v dt dv = adt dv = v 0 t 0 t adt v = v 0 + a(t t 0 ) v = ±v 0 ± at v = dx x dx = t vdt = t (±v 0 ± at) dt = ±v 0 t dt ± a t tdt dt dx = vdt x 0 t 0 t 0 t 0 t 0 x = x 0 ± v 0 t ± 1 2 at2 10

11 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 2 Movimientos rectilíneos 2.2. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado Gráficas del movimiento x v a x 0 v 0 x 0 v 0 a v 0 > 0; a > 0 v 0 > 0; a < 0 t v 0 > 0; a > 0 v 0 > 0; a < 0 t -a a > 0 a < 0 t 11

12 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 2 Movimientos rectilíneos 2.3. Movimientos acelerados en la naturaleza Movimiento bajo la acción de la gravedad Cuando la altura, h, sobre la superficie terrestre, o de un planeta en general, es pequeña en comparación con el radio terrestre, la aceleración debida al campo gravitatorio, se puede considerar constante, y se representa por g. Si h R T entonces a = g (constante) y = y 0 ± v 0 t 1 2 gt2 v = ±v 0 gt 12

13 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 2 Movimientos rectilíneos EJERCICIO 2 Desde una altura de 50 m se deja caer un cuerpo. Un segundo después, desde el suelo, se lanza hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 40 m/s. Determinar: a) Las gráficas x-t y v-t correspondientes a ambos movimientos. b) A qué altura se encuentran? c) Qué velocidad llevan en ese momento? d) Cuánto tiempo tardan en caer cada uno de ellos? e) Con qué velocidad llega cada uno al suelo? (El rozamiento se considera despreciable) Dato: g = 10 m/s 2 13

14 3.1. Movimiento parabólico B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 3 Movimientos en dos dimensiones Movimiento descrito por un cuerpo lanzado con una velocidad inicial, v 0, que forma un ángulo con la horizontal. y y 0 v 0 x = v 0 tcosα y = y 0 ± v 0 tsenα 1 2 gt2 x v x = v 0 cosα v y = ±v 0 senα gt En el punto más alto de la trayectoria, la componente v y, de la velocidad se hace cero. En el punto de aterrizaje del objeto (alcance máximo), la altura se hace cero. 14

15 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 3 Movimientos en dos dimensiones EJERCICIO 3 Desde una altura de 20 m se lanza una piedra con una velocidad de 60 m/s y un ángulo de inclinación respecto a la horizontal de 30º. a) Calcula la ecuación de la trayectoria. b) Qué altura máxima alcanza medida desde el suelo? c) A qué distancia, medida desde la vertical del punto de lanzamiento impacta sobre el suelo? d) Qué tiempo tarde en llegar al punto de impacto? e) Con qué velocidad llega al punto de impacto? f) Qué ángulo forma el vector velocidad con la horizontal? Dato: g = 10 m/s 2 15

16 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 3 Movimientos en dos dimensiones 3.2. Movimientos de trayectoria circular Los movimientos circulares son siempre acelerados, a c 0. r s Posición angular: Velocidad angular: Aceleración angular: θ = s r ω = dθ dt α = dω dt Magnitud lineal Magnitud angular Relación Distancia recorrida, s (m) Ángulo descrito, (rad) s = r Velocidad, v (m/s) Velocidad angular, (rad/s) v = r Aceleración, a (m/s 2 ) Aceleración angular, (rad/s 2 ) a t = r a c = 2 r 16

17 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 3 Movimientos en dos dimensiones 3.2. Movimientos de trayectoria circular Carácter vectorial de la velocidad y aceleración angulares ω v = ω r r a t = α r v Ecuaciones del MCU y MCUA Movimiento circular y uniforme θ = θ 0 ± ωt Movimiento circular uniformemente acelerado θ = θ 0 ± ω 0 t ± 1 2 αt2 ω = ±ω 0 ± αt 17

18 B. REPASO DE MECÁNICA (Cinemática) 3 Movimientos en dos dimensiones EJERCICIO 4 Un disco de 50 cm de radio gira con una velocidad de 50 rpm. En un determinado momento se frena hasta que se detiene en 10 s. a) Calcula la aceleración angular supuesta constante. b) Cuántas vueltas ha dado en esos 10 s? c) Calcula las componentes intrínsecas de la aceleración a los 5 s de iniciar el frenado. d) Qué velocidad lineal lleva en t = 5 s un punto distante a 25 cm del centro? 18

19 B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica) 4 Masa y momento lineal La masa es la medida cuantitativa de la inercia de un cuerpo Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo A causa de su gran inercia, no es fácil desviar el barco de su curso Un cuerpo en movimiento tiende a permanecer en movimiento El momento lineal o cantidad de movimiento es la magnitud que caracteriza el estado de movimiento de un cuerpo. p = m v (kg m s) 19

20 5.1. Primera ley: ley de inercia B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica) 5 Leyes de la dinámica de Newton Un cuerpo sobre el que no actúan fuerzas, o la resultante de todas las que actúan es nula, permanecerá en reposo o moviéndose con velocidad constante. Ley de conservación del momento lineal El momento lineal de un cuerpo o sistema aislado permanece constante. Si F = 0 p = Cte. 20

21 B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica) 5 Leyes de la dinámica de Newton 5.2. Segunda ley: ley fundamental de la dinámica El cambio de momento lineal de un cuerpo es proporcional a la fuerza que actúa y se produce en la dirección de dicha fuerza. F = d p dt = d(m v) dt = m d v dt + v dm dt Si la masa permanece constante: F = m a n i=1 F i = m a 5.3. Tercera ley: principio de acción y reacción Cuando dos cuerpos interaccionan, se ejercen mutuamente fuerzas iguales y de sentidos contrarios (aplicadas en cuerpos distintos). F 12 = F 21 21

22 B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica) 5 Leyes de la dinámica de Newton 5.4. Conservación del momento lineal de un sistema aislado F 12 = F 21 d p 1 dt = d p 2 dt d( p 1 + p 2 ) dt = 0 p 1 + p 2 = constante El momento lineal total de un sistema aislado permanece constante en el tiempo. Ejemplo: colisión de dos partículas no sometidas a otras interacciones p 1 + p 2 = p 1 + p 2 p 1 = p 2 El momento lineal que pierde una partícula lo gana la otra, de modo que el momento en su conjunto no habrá variado. 22

23 B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica) 6 El impulso mecánico Se denomina impulso mecánico a la magnitud que combina la fuerza aplicada y el tiempo que dura su aplicación. I = F t I = Δ p Δt t = p El impulso mecánico produce una variación del momento lineal de un cuerpo. 23

24 B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica) 7 Fuerzas elásticas o restauradoras La fuerza restauradora que un muelle o resorte ejerce sobre un cuerpo es proporcional a la deformación producida, y actúa oponiéndose a dicha deformación (ley de Hooke) F elástica = k x 24

25 B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica) 8 Resolución de problemas F N N Procedimiento: m 1. Identificación de los cuerpos que F m intervienen en el problema. F 2. Identificación de las fuerzas que F R F R actúan sobre cada uno de ellos, dibujándolas en un diagrama. P P 3. Descomponer todas las fuerzas posibles en sus componentes cartesianas. 4. Hallar la resultante de las componentes de las fuerzas en la dirección del movimiento y aplicamos la 2ª ley de Newton a cada uno de los cuerpos (tantas ecuaciones como cuerpos se tengan): 5. Calcular la aceleración: n i=1 F i = m a F a favor del movimiento F en contra del movimiento = ma 25

26 B. REPASO DE MECÁNICA (Dinámica) 8 Resolución de problemas EJERCICIO 5 Un cuerpo de 0,5 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado, que forma 30º con la horizontal, con una velocidad inicial de 5 m s 1. El coeficiente de rozamiento es 0,2. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, cuando sube y cuando baja por el plano, y calcule la altura máxima alcanzada por el cuerpo. b) Determine la velocidad con la que el cuerpo vuelve al punto de partida. g = 10 m s 2 26

27 B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 9 Trabajo mecánico 9.1. Trabajo de una fuerza constante F El trabajo de una fuerza constante que actúa sobre un cuerpo que realiza un desplazamiento es igual al producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento. r W = F r = F r cosα = F T r Si F e r son perpendiculares, W = 0. Si F e r son de la misma dirección y sentido, W = F r (valor máximo) Si F e r son de la misma dirección pero sentido contrario, W = - F r (negativo) 27

28 B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 9 Trabajo mecánico 9.1. Trabajo de una fuerza constante La unidad de trabajo mecánico en el SI es el julio (J), que se define como el trabajo realizado por una fuerza de 1 N que actúa en la dirección del movimiento y produce un desplazamiento de 1 m. 1 J = 1 N 1 m F T W Para una fuerza constante, el área encerrada bajo la gráfica de F entre x 0 y x 1 representa el trabajo realizado. x 0 x = x 1 x 0 x 1 x 28

29 B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 9 Trabajo mecánico 9.2. Trabajo de una fuerza variable F T F dw = F d r x 0 x x x x x 1 x r 0 d r r r W = r 0 r dw = r 0 r F d r 29

30 B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 9 Trabajo mecánico 9.3. Trabajo de varias fuerzas F 1 F 2 r r F 3 F 4 W T = = n i=1 r r 0 W i = r 0 r F 1 d r + r 0 F 1 + F F n d r = r F 2 d r + + r 0 r 0 r F n d r = r F Resultante d r 30

31 B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 9 Trabajo mecánico 9.4. Potencia Se define como potencia a la rapidez con que se realiza un trabajo P = dw dt = F d r dt = F v La unidad de potencia es el Vatio (W). Otras unidades: 1 W = 1 J 1 s 1 kw = 10 3 W 1 CV = 735 W 31

32 B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 10 Energía mecánica La energía mecánica es la capacidad que tienen los cuerpos de realizar un trabajo en virtud de su movimiento y/o de estar en una posición distinta de la de equilibrio. Energía Mecánica Energía cinética (asociada al movimiento) Energía potencial (asociada a la posición) La unidad de energía en el SI es el julio (J). 32

33 B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 10 Energía mecánica Trabajo y energía cinética W = A B F d r = A B F T ds = A Bm dv Bm dv ds dt ds = A dt W = A B m vdv = m A B v dv = 1 2 mv B mv A mv2 se denomina energía cinética Sea cual sea la naturaleza de la fuerza o fuerzas que actúen sobre un cuerpo, el trabajo total realizado al trasladarlo entre dos puntos es igual a la variación de la energía cinética. W = E C 33

34 B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 11 Colisiones entre cuerpos En un sistema aislado, el momento lineal permanece constante. En una colisión: P antes = P después Colisiones Elástica (se conserva la e. cinética) Inelástica (no se conserva la e. cinética) Plástica (totalmente inelástica) 34

35 11.1. Colisiones elásticas B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 11 Colisiones entre cuerpos En las colisiones elásticas se conservan el momento lineal y la energía cinética del sistema Ejemplo: m 1 m v 2 m 1 m 1 v 2 v 1 2 v 2 (antes de la colisión) (después de la colisión) 1. La conservación de la cantidad de movimiento: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 2. La conservación de la energía cinética: 1 2 m 1v m 2v 2 2 = 1 2 m 1v m 2v

36 B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 11 Colisiones entre cuerpos Colisiones totalmente inelásticas (plásticas) Las colisiones plásticas son aquellas en que los cuerpos quedan adheridos. Ejemplo: m 1 m v 2 m 1 v 1 m 2 2 v (antes de la colisión) (después de la colisión) Solo se conserva la cantidad de movimiento: m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 ) v 36

37 B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 12 Trabajo y energía potencial. F. conservativas O(x 0, y 0 ) Sobre un cuerpo lanzado desde una cierta altura solo actúa la fuerza peso. (y y 0 ) r mg j El trabajo que realiza la fuerza peso: (x x 0 ) P(x, y) W = O P F d r = O P ( mg j) dx i + dy j = W = mg O P dy = mg y y O = (mgy mgy 0 ) Donde mgy es la energía potencial gravitatoria. El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre los cuerpos es igual a la variación negativa de su energía potencial gravitatoria: W gravitatoria = E P 37

38 Fuerzas conservativas B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 12 Trabajo y energía potencial. F. conservativas Al mismo resultado habríamos llegado cualquiera que hubiera sido la trayectoria seguida. Fuerzas conservativas son aquellas en las que el trabajo realizado por ellas solo depende de la posición inicial y final del cuerpo y es independiente de la trayectoria seguida. Dicho trabajo equivale a la variación negativa de la energía potencial: W C = E P Como consecuencia: el trabajo realizado una las fuerzas conservativas a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo: W C = F d r = 0 Son fuerzas conservativas: gravitatoria, elástica y electrostática. 38

39 B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 13 Conservación de la energía mecánica Supongamos un sistemas sobre el que actúan varias fuerzas, el trabajo total: W = E C W C + W NC = E C E P + W NC = E C W NC = E P + E C = E P + E C = E M Si las únicas fuerzas que actúan son conservativas: E M = 0 E M = Constante Si existen fuerzas no conservativas: W NC = E M La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa. 39

40 B. REPASO DE MECÁNICA (Trabajo y energía) 13 Conservación de la energía mecánica EJERCICIO 6 Sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal se encuentra un bloque de 0,5 kg adosado al extremo superior de un resorte, de constante elástica 200 N m 1, paralelo al plano y comprimido 10 cm. Al liberar el resorte, el bloque asciende por el plano hasta detenerse y, posteriormente, desciende. El coeficiente de rozamiento es 0,1. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque cuando asciende por el plano y calcule la aceleración del bloque. b) Determine la velocidad con la que el bloque es lanzado hacia arriba al liberarse el resorte y la distancia que recorre el bloque por el plano hasta detenerse. Dato: g = 10 m s 2 40