CINEMÁTICA PRIMER CURSO DE BACHILLERATO IES ALONSO BERRUGUETE

Transcripción

1 CINEMÁTICA PRIMER CURSO DE BACHILLERATO IES ALONSO BERRUGUETE

2 Un sistema de referencia es un punto o sistema de coordenadas respecto al cual describiremos el movimiento de un cuerpo Sistema de referencia

3 Concepto de movimiento Un objeto se encuentra en movimiento respecto a un sistema de referencia cuando su posición respecto a este sistema varía con el tiempo; en caso contrario decimos que está en reposo.

4 Relatividad del movimiento En A, si el sistema de referencia es la Tierra, el tren está en movimiento, pero si el sistema de referencia lo situamos en el tren, es el paisaje el que se mueve. En B, los pasajeros están en reposo con respecto al tren, pero están en movimiento con respecto a un sistema de referencia situado en la Tierra. Por lo tanto, un cuerpo puede estar en reposo o en movimiento según el sistema de referencia que consideremos.

5 Trayectoria El lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va tomando un punto móvil en el espacio. Trayectoria es la línea determinada por las sucesivas posiciones del móvil en el curso de su movimiento.

6 Vector de posición El vector de posición que se define como el vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo en la posición del móvil. r xi yj r x y Ecuaciones paramétricas: Eliminando t entre ambas ecuaciones se obtiene la ecuación de la trayectoria: y = f(x)

7 Si trabajamos en el espacio, el vector de posición se expresaría: Ecuaciones paramétricas: x = x(t) y = y(t) z = z(t) r xi yj zk r x y z

8 El vector de posición de una partícula en cualquier instante viene dado por la ecuación: Deduce la ecuación de la trayectoria. j t i t r x y x x y x t t y t x Solución:

9 El vector de posición de una partícula viene dado por: r t i (10 t) Halla la posición de la partícula en los instantes 0, 1,, 3, 4, y 5 segundos. Dibuja los vectores de posición y la trayectoria. Comprueba que la ecuación analítica de la trayectoria es la de la recta que une los extremos de los vectores de posición. j

10 Vector desplazamiento Espacio recorrido es el camino. que realiza el móvil medido sobre la trayectoria. Vector desplazamiento es el vector definido por la posición inicial, que será el origen del vector, y la posición final, que será su extremo. El vector desplazamiento es independiente de la trayectoria seguida por el móvil para pasar de la posición inicial a la final. r r r Q P

11 Una persona sale de paseo. Recorre Km hacia el norte, después se dirige hacia el este y recorre 1 Km y, por último, se dirige hacia el sur y recorre 4 Km. Calcula: a) Espacio recorrido b) Desplazamiento

12 Velocidad La velocidad de un móvil indica con varía su posición con relación al tiempo empleado en esa variación. Podemos distinguir entre velocidad media y velocidad instantánea.

13 Velocidad media Se define velocidad media, como el cociente entre la diferencia de los vectores de posición o desplazamiento y el tiempo empleado. El vector velocidad media tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento V m r t

14 El vector de posición de un móvil en función del tiempo es: r 3 t i 3t j ( t ) k Las componentes del vector están expresadas en metros y el tiempo, en segundos. Calcula: a) Los vectores de posición y su módulo para t = 1 y para t = 5 s b) El vector desplazamiento entre los instantes t = 1 y t = 5 s. c) El vector velocidad media del móvil y su módulo entre los instantes t = 1 y t = 5 s.

15 Celeridad media El cociente entre la distancia recorrida sobre la trayectoria, s, y el intervalo de tiempo transcurrido, t, se denomina, rapidez media o celeridad media.

16 Velocidad instantánea Si Δt tiende a cero, pero sin alcanzar ese valor, el desplazamiento correspondiente, Δr, es muy pequeño, por lo que v, la velocidad en el instante A 1, queda definida: v v v lim t 0 x i r t v y dr dt j v z k El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en cada punto y su sentido es el del desplazamiento del móvil. Al módulo del vector velocidad se le llama rapidez o celeridad del movimiento. v v x v y v z

17 Aceleración media Se llama aceleración media a la variación de la velocidad instantánea por unidad de tiempo entre dos instantes dados. La aceleración media es un vector de la misma dirección y sentido que el incremento de velocidad. a m v t

18 Aceleración instantánea La aceleración media correspondiente a un intervalo infinitamente pequeño recibe el nombre de aceleración instantánea. dt dv t v a t 0 lim k a j a i a a z y x z y x a a a a

19 Componentes intrínsecas de la aceleración El vector aceleración se puede descomponer en dos componentes perpendiculares entre sí: una tangente a la trayectoria en ese punto y otra perpendicular, normal a la trayectoria en ese punto, llamadas componentes intrínsecas de la aceleración. Al expresar la aceleración en función de estas componentes se pueden estudiar por separado los cambios del módulo de la velocidad (a t =dv/dt) de los cambios de la dirección de la velocidad (a n =v /R). a a a t n a a t a n

20 Aceleración tangencial La aceleración tangencial es la componente del vector aceleración tangente a la trayectoria en ese punto (en la dirección del vector velocidad). La aceleración tangencial es debida a la variación de la rapidez o módulo de la velocidad. a dv dt

21 Aceleración normal La aceleración normal es la componente del vector aceleración perpendicular a la trayectoria en ese punto (perpendicular al vector velocidad). La aceleración normal es la que se debe al cambio de dirección de la velocidad y recibe el nombre de aceleración centrípeta o normal. Su módulo es igual al cociente entre el cuadrado del módulo de la velocidad y el radio de curvatura de la trayectoria en ese punto. v a n R

22 Clasificación de los movimientos SEGÚN LA TRAYECTORIA Rectilíneos (an = 0) Curvilíneos Circulares Parabólicos Elípticos SEGÚN LA ACELERACIÓN Movimiento uniforme (a = 0) Movimiento uniformemente acelerado (a = cte) Movimiento variable a = variable)

23 Movimiento rectilíneo uniforme Un movimiento es rectilíneo y uniforme cuando la trayectoria es una línea recta y la velocidad es constante en módulo, dirección y sentido, por tanto no tiene ni aceleración tangencial ni normal. En este movimiento la velocidad media coincide con la velocidad instantánea Características v a = cte = 0 Ecuaciones r r + v( t t ) o o

24 Gráficas del movimiento rectilíneo uniforme Gráfica x-t Gráfica v-t x (m) v (m/s) v = cte x o t (s) t (s) El módulo de la velocidad es igual a la pendiente de la gráfica x-t

25 Dos ciclistas parten en sentidos opuestos (hacia un punto de encuentro) de dos ciudades A y B que están separadas 00 Km, con velocidades de 40 Km/h y 0 Km/h respectivamente. El de A parte dos horas (.0 h) antes que el de B. Calcular: a) El tiempo que se demoran para encontrarse medido desde el instante en que partió el de A; b) La posición que ocupan respecto a la ciudad A en el instante de encuentro.

26 Un coche sale de Alicante a Madrid con una velocidad de 30 m/s. Dos horas más tarde sale de Madrid hacia Alicante otro coche con una velocidad de 0 m/s. (Distancia de Alicante a Madrid 400 km). Calcular: instante y la posición de encuentro.

27 Movimiento rectilíneo uniformemente variado Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es el que tiene un móvil cuando se desplaza con aceleración constante. Características a = cte a a t n = cte = 0 Ecuaciones 1 r r v t t a t t v v + a ( t t ) o + o( o) + ( o ) o o

28 Gráficas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado x (m) Gráfica x-t Gráfica v-t v (m/s) x o v o t (s) t (s) a (m/s ) Gráfica a-t a = cte t (s) El módulo de la aceleración es igual a la pendiente de la gráfica v-t

29 Un móvil que lleva una velocidad de 0 m/s comienza a frenar con a = 5 m/s. a) Escribe las ecuaciones que describen su movimiento. b) Calcula el espacio que recorre hasta que se detiene.

30 Dos coches viajan en sentidos opuestos, uno de ellos arranca con a = 4 m/s y el otro se mueve con velocidad constante de 108 km/h. Si inicialmente se encuentran separados 5 km: 1. Cuánto tiempo tardarán en cruzarse?. En qué punto se produce el cruce de ambos?

31 Caída libre La caída libre es el movimiento que tiene un cuerpo cuando se lanza hacia arriba y cae, actuando como única fuerza su peso. El cuerpo describe un movimiento uniformemente acelerado a = g siendo g = 9,8 j el valor de la gravedad sobre la superficie terrestre. Ecuaciones 1 r r v t t g t t v v + g ( t t ) o + o( o) + ( o ) o o

32 Una piedra es lanzada verticalmente y hacia abajo desde una altura de 5 m con velocidad de 5 m/s. a) Calcula el tiempo que tardará en llegar al suelo. b) Determina la velocidad con la que llega al suelo

33 Desde la azotea de un edificio situada a 0 m del suelo, se lanza una pelota verticalmente y hacia arriba con una velocidad inicial de m/s. Calcular: a) La altura máxima que alcanza. b) El tiempo de que tarda en llegar al suelo. c) La velocidad con la que impacta en el suelo.

34 Un objeto se lanza verticalmente y hacia arriba con v = 10 m/s. Un segundo más tarda se lanza otro con velocidad doble que el primero. Calcular en qué posición se cruzan y la velocidad en dicho instante.

35 Movimiento circular uniforme En el movimiento circular la trayectoria es circular. Movimiento circular uniforme es el que tiene un móvil cuando no tiene aceleración tangencial y su aceleración normal es constante. Características Ecuaciones at = 0 r R cos t i R sent j an = cte v R sent i cos t j a R cos t i sent j Un radián es el ángulo cuyo arco es igual a un radio

36 Un punto describe una trayectoria circular de 30 cm de radio tardando 3,5 s en dar cinco vueltas. Calcular: a) La velocidad angular en r.p.m. y en rad/s b) El periodo y la frecuencia del movimiento c) El ángulo girado al cabo de 0,85 s de iniciado el movimiento. d) Su aceleración centrípeta

37 Una piedra atada al extremo de una cuerda gira uniformemente 3 vueltas por segundo con un radio de 1m. Calcula: a) La velocidad angular de la piedra en rpm y en rad /s. b) El ángulo girado en una décima de segundo. c) La velocidad lineal de la piedra. d) El arco que recorre cada décima de segundo. Sol. : a) ω = 180 rpm = 18 8 rad/s; b) 1 88 rad; c) 18 8 m/s; d) 1,88 m

38 Movimiento circular uniformemente variado Movimiento circular uniformemente acelerado es el que tiene un móvil cuando tiene aceleración tangencial y normal constantes. Características Ecuaciones a a t n = cte = cte 1 + ( t t ) o + o( t to) + ( t to ) o o

39 Una rueda de 0 centímetros de radio, inicialmente en reposo, gira con movimiento uniformemente acelerado y alcanza una velocidad de 10 rpm al cabo de 30 s. Calcula: a) La velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda en el instante t = 30 s. b) El módulo de la aceleración normal en ese momento. Sol. a) 5 m/s ; b) 31 8 m/s

40 Composición de movimientos PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS: Enunciado por Galileo Galilei, establece que: "los movimientos componentes en un movimiento compuesto, se desarrollan independientemente uno de otro, es decir, el desarrollo de un movimiento no se ve alterado por la aparición de otro en forma simultánea."

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42 Las aguas de un río bajan con una rapidez de 0,5 m/s en un lugar donde la anchura es 60 m. Un nadador pretende cruzarlo nadando perpendicularmente a la orilla, con una rapidez de 1 m/s. a) Dibuja la trayectoria seguida por el nadador hasta llegar a la otra orilla y determina la suma de las dos velocidades, la del agua y la del nadador. b) Cuánto tiempo tarda en atravesar el río? c) A qué punto de la otra orilla llega?

43 Tiro horizontal Tiene lugar cuando un objeto (sometido a la acción de la gravedad) es lanzado con determinada velocidad v 0 en dirección paralela al suelo. El movimiento es el resultante de la composición de dos movimientos: Uno uniforme según el eje X. Uno uniformemente acelerado según el eje Y. Ecuaciones 1 v v i g t j r vot i g t j o con g = 9,8 m s Ecuación de la trayectoria y = 1 g vo x

44 Una pelota rueda sobre una mesa horizontal a 1,5 m de altura del suelo, cayendo por el borde de la misma, si choca con el suelo a una distancia de 1,8 m del suelo, medidos horizontalmente sobre el borde de la mesa, determinar: Las ecuaciones que describen el movimiento del objeto. La velocidad inicial del objeto. La velocidad con que llega al suelo.

45 Desde lo alto de un acantilado de 10 m sobre el nivel del mar, se lanza horizontalmente un proyectil con una velocidad inicial de 00 m/s. Determinar: a) La posición del proyectil a los segundos del lanzamiento. b) La velocidad y la posición del proyectil al incidir en el agua.

46 Un avión de combate vuela a una velocidad de 700km/h y una altura de 400m cuando ve venir hacia él un portaviones a una velocidad de 30km/h. Su objetivo es destruir el portaviones. A qué distancia horizontal del barco deberá soltar la bomba para que esta impacte en su objetivo? Con qué velocidad llega la bomba al agua?

47 Tiro parabólico En el lanzamiento oblicuo el movimiento se realiza en un plano describiendo una trayectoria parabólica. Ecuaciones 1 r ( vocos t) i + ( vo sen t g t ) j v v cos i + ( v sen g t) j o o Ecuación de la trayectoria g y = x tan x v cos o

48 En el lanzamiento oblicuo de un proyectil, resulta de gran interés conocer el tiempo de vuelo, t v, la altura máxima que alcanza, Y máx, y la distancia entre el origen y el blanco, el alcance horizontal, X máx.

49 j sen v i v v v v v y x cos m m y x y y v 0 0 Velocidad inicial Altura máxima y alcance máximo

50 Para una misma velocidad inicial de lanzamiento, el máximo alcance se obtiene para un ángulo de lanzamiento de 45º

51 En el tiro rasante el ángulo de lanzamiento es inferior a 45º. En el tiro por elevación el ángulo de lanzamiento es mayor de 45º.

52 Un arquero dispara una flecha cuya velocidad de salida es de 100 m/s y forma un ángulo de 45º con la horizontal. Calcula: a) El tiempo que la flecha está en el aire o tiempo de vuelo. b) La altura máxima que alcanza. c) El alcance máximo. d) La velocidad a los 4 segundos del lanzamiento. e) La velocidad final.

53 Un cañón está situado en lo alto de una colina cuya altura es de 300m. La bala es lanzada a una velocidad de 45 m/s y con una inclinación de 30º. A qué distancia colisionará la bala con el suelo? Qué velocidad llevará la bala cuando se produzca la colisión (velocidad vectorial)?

54 Un cañón, situado en la cima de una montaña de 00m de altura forma un ángulo de 80º con la vertical y dispara una bala de kg a una velocidad de 900km/h. A qué altura máxima sube? Con qué velocidad llega al suelo? Cuánto tarda en caer? A qué distancia horizontal?

55 FIN