Física. Conservación del Momento Angular

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Julio Márquez Castilla
hace 6 años
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1 Física Conservación del Momento Angular Tenemos dos discos, el inferior tiene un radio de 1 m y superior tiene un radio de 0.5 m que pueden girar alrededor del mismo eje pero con velocidades angulares distintas. En un momento dado, el disco superior cae y se acopla al disco inferior. Se pide calcular la velocidad angular de rotación del conjunto de los dos discos acoplados. Mediante esta simulación se quiere mostrar que las fuerza interiores o de interacción mutua entre las partículas del sistema no afectan al estado final del sistema. Fundamentos físicos Tenemos un sistema formado por dos discos que giran alrededor de un eje común. El momento de las fuerzas exteriores respecto del eje de rotación O es nulo, por lo que se conserva el momento angular El momento angular de un sólido en rotación alrededor de un eje fijo con velocidad angular es L=I La fórmula del momento de inercia I 0 de un disco respecto a un eje de rotación perpendicular al disco y que pase por su centro es Momento angular antes del acoplamiento El momento angular del sistema antes del acoplamiento es la suma de los momentos angulares de cada uno de los discos

2 L=I I 2 2 Donde 1 y 2 son las velocidades angulares iniciales antes del acoplamiento. Momento angular después del acoplamiento Después del acoplamiento ambos discos llevan una velocidad angular común. L=I 1 + I 2 Principio de conservación del momento angular Despejando la velocidad angular, tenemos Esta fórmula es similar al choque entre una bala y un bloque, cuando la bala se incrusta en el bloque. Balance energético Energía antes del acoplamiento Energía después del acoplamiento El trabajo de la fuerza de rozamiento en el acoplamiento es W=E f -E i. Haciendo algunas simplificaciones podemos llegar a esta expresión final La energía final es siempre menor que la inicial E f <E i El papel de las fuerza internas La velocidad angular de los discos no pasa instantáneamente desde las velocidades angulares iniciales 1 y 2 a la misma velocidad angular final. Sobre los discos actúan fuerzas interiores de rozamiento entre las superficies en contacto de modo que, uno de los discos se acelera y el otro se decelera hasta que adquieren la misma velocidad angular final.

Estas fuerza interiores ejercen un momento M r. Imaginemos que 1 > 2, el momento M r se opone a 1 decelerando el disco inferior y acelerando el disco superior tal como se muestra en la figura.

3 Estas fuerza interiores ejercen un momento M r. Imaginemos que 1 > 2, el momento M r se opone a 1 decelerando el disco inferior y acelerando el disco superior tal como se muestra en la figura. Imaginemos que ambos discos tienen momentos de inercia iguales I 1 =I 2 y velocidades angulares iguales y de sentido contrario 1 = - 2, el momento M r hace disminuir ambas velocidades, hasta que la velocidad angular final del conjunto es cero, tal como predice el principio de conservación del momento angular. Ecuación de la dinámica de rotación Formulamos la ecuación de la dinámica de rotación para cada uno de los discos -M r =I 1 1 M r =I 2 2 Suponiendo que M r es constante, las aceleraciones angulares son constantes, las velocidades angulares valdrán 1 = t 2 = t donde 10 y 20 son las velocidades angulares iniciales en el instante t=0. A partir de estas ecuaciones se puede calcular el tiempo t que tardan los discos en adquirir la misma velocidad angular 1 = 2 =. También podemos calcular el desplazamiento de cada uno de los discos durante el intervalo de tiempo t. Trabajo de las fuerzas internas El trabajo del momento de la fuerza de rozamiento es W=-M r 1 +M r 2 Como vemos por las flechas en la figura, M r es opuesto al desplazamiento 1 (trabajo negativo), y es del mismo sentido que el desplazamiento 2 (trabajo positivo).

4 Haciendo algunas operaciones podemos llegar en pocos pasos a la misma expresión para W que la que obtuvimos a partir del balance energético después de aplicar el principio de conservación del momento angular. Pero ahora podemos interpretar mejor el origen de la disipación de la energía durante el tiempo t que dura el acoplamiento (hasta que los discos alcanzan la misma velocidad angular final). Ejemplo 1º: Momentos de inercia Sea m 1 =0.2 kg, r 1 =1.0 m, I 1 =0.1 kg m 2 Sea m 2 =0.8 kg, r 2 =0.5 m, I 2 =0.1 kg m 2 Velocidades angulares iniciales Sea 1 =2 rad/s Sea 2 =0 rad/s 1. Principio de conservación del momento angular =( ), por lo que =1 rad/s E i =0.2 J E f =0.1 J W=E f -E i =-0.1 J 2. Fuerzas internas Sea el momento de las fuerza se rozamiento M r =0.1 N m. Calculamos las aceleraciones angulares de cada disco -0.1= =0.1 2 Ahora las velocidades angulares finales 1 = 2-1 t 2= 0+1 t Las velocidades angulares 1 = 2 se hacen iguales en el instante t=1 s después de haberse acoplado. En este instante la velocidad angular común es 1 rad/s Desplazamientos (ángulo girado por cada disco en el tiempo t)

5 1 =1.5 rad 2 =0.5 rad Trabajo del momento de las fuerzas de rozamiento W= =-0.1 J El momento de las fuerzas de rozamiento se opone al desplazamiento del primer disco y favorece el del segundo Obtenemos el mismo valor que en el apartado 1º Ejemplo 2º Un caso interesante se produce cuando ambos discos tienen el mismo momento de inercia, y velocidades angulares iguales y de sentido contrario Momentos de inercia Sea m 1 =0.2 kg, r 1 =1.0 m, I 1 =0.1 kg m 2 Sea m 2 =0.8 kg, r 2 =0.5 m, I 2 =0.1 kg m 2 Velocidades angulares iniciales Sea 1 =-4 rad/s Sea 2 =4 rad/s 1. Principio de conservación del momento angular =( ), por lo que =0 rad/s Los discos se paran después de acoplarse E i =1.6 J E f =0.0 J La pérdida de energía durante el acoplamiento W=E f -E i =-1.6 J 2. Fuerzas internas Sea el momento de las fuerza se rozamiento M r =0.1 N m. Calculamos las aceleraciones angulares de cada disco -0.1= =0.1 2 Ahora las velocidades angulares finales 1 = 4-1 t

6 2= -4+1 t Las velocidades angulares 1 = 2 se hacen iguales en el instante t=4 s después de haberse acoplado. En este instante la velocidad angular final común es cero Desplazamientos (ángulo girado por los discos) durante el tiempo t 1 =8 rad 2 =-8 rad Trabajo del momento de las fuerzas de rozamiento W= (-8)=-1.6 J Fijarse ahora que el momento de las fuerzas de rozamiento se opone al desplazamiento de ambos discos

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