Hoja 3: Derivadas e integrales de funciones continuas

Transcripción

1 Cátedra de Matemática Matemática Facultad de rquitectura Universidad de la República 01 Segundo semestre Hoja : Derivadas e integrales de funciones continuas 1 Derivada Ejercicio * 1 Un auto se mueve en una carretera recta en una dirección. En tiempo t = 0 se encuentra en un punto al que llamaremos x = 0. La posición en tiempo t se denomina x(t). El tiempo se expresa en horas y la distancia en kilómetros. 1. La velocidad media en [t,t f ] se define como x t. las horas el auto se encuentra a 160 km del punto de partida, y a las horas se encuentra a 60 km del punto de partida. Calcule la velocidad media del vehículo entre las horas y.. La velocidad instantánea en tiempo t se define como lim t 0 x t. Se conoce ahora la posición del auto en cada tiempo entre la partida y las horas. Ésta responde la función x(t) = 40t. Calcule la velocidad media en [, + t] con t = 0,1;0,01;0,001;0,0001. Calcule la velocidad instantánea en t =. Qué observa? Relacione los cálculos hechos con el concepto de derivada.. Grafique la función x(t) entre los tiempos 0 y e interprete graficamente las velocidades medias y la instantánea calculadas en la parte anterior. 4. Entre las horas y 4, la posición responde a la función x(t) = 60 40(t ). Calcule la velocidad intantánea v(t) para cada tiempo t entre 0 y 4. Grafique x(t) y v(t). Qué sucede cuando v es negativa?. La aceleración media en [t,t f ] se define como v y la aceleración instantánea en tiempo t v t se define como lim t 0. t Calcule la aceleración instantánea a(t) en cada tiempo t entre las horas 0 y. Es realista este modelo para el movimiento de un auto? Ejercicio Consideraremos la función f(x) = x y a partir de x = un incremento x de la variable x. 1. El incremento de f con respecto a su valor en, cuando se evalúa en + x es f = x+ ( x). 1

2 . El cociente incremental f/ x es + x.. Cuando x 0, los cocientes incrementales f/ x se aproximan a. Nota: Completar con números las casillas. Ejercicio En las normas de accesibilidad se limita la pendiente que puede tener una rampa. Las pendientes longitudinales máximas para los tramos rectos de rampa entre descansos, en función de la extensión de los mismos medidos en su proyección horizontal, deben cumplir con lo siguiente: hasta 1 m; la pendiente máxima debe ser del 6% hasta 10 m; la pendiente máxima debe ser del 8% hasta m; la pendiente máxima debe ser del 10% hasta 1, m; la pendiente máxima debe ser del 1%. Se quiere construir una rampa de 1 metros (en su proyección horizontal) que se eleve 1 metro del suelo. Es posible hacerlo respetando la norma? Nota: es común en arquitectura medir la pendiente en porcentaje. Para expresarlo de esta manera se calcula 100 altura/longitud horizontal. Dicho de otra manera: qué porcentaje representa la altura con respecto a la longitud horizontal. O aún de otra manera: cada 100 m en la horizontal, cuánto se eleva la rampa en la vertical. Ejercicio 4 Una partícula se mueve de tal manera que su velocidad en cada instante t es v(t) = t + t t m/s, entre los tiempos t=0 y t= segundos. Hallar la velocidad máxima y la mínima alcanzada. Qué significado físico tiene una velocidad negativa? Ejercicio Se quiere construir un galpón cuya base sea rectangular. Su perímetro será de 0 metros. Hallar las dimensiones de la base para que la superficie sea la máxima posible. Ejercicio 6 Se quiere construir una rampa de skate cuyo perfil es la región encerrada entre la funciónf yelejeox, dondelafunciónf es: f(x) = (x ) six [0,]yf(x) = (x )(4 x) si x [,4]. El ancho de la rampa es. (Todas las longitudes estan expresadas en metros). 1. Dibuje la rampa.. Nota algo extraño? Cuál es la pendiente de la rampa en x =?. Proponga algún cambio en la rampa que resuelva el problema de la parte anterior. 4. Halle la pendiente máxima (en valor absoluto) de la rampa.

3 Integrales de funciones continuas Ejercicio * 7 Considere la siguiente integral: 1 0 e x dx. 1. Dividir el intervalo de integración en 1, y 4 intervalos y obtener las sumas superiores e inferiores respectivas.. Usar las sumas superiores e inferiores para construir una aproximación del verdadero valor de la integral y dar una cota del error cometido.. Hallar una aproximación de la integral con un error menor a 1/. Ejercicio 8 Sea f la función del gráfico de la figura Hallar una aproximación de la integral entre y 8, y dar una cota del error cometido.. Consideremos la función f. (a) Hallar el mínimo m y el máximo M de la función. (b) Dar un argumento que pruebe la siguiente desigualdad: m(8 ) 8 f(t)dt M(8 ). (c) Como consecuencia de la desigualdad anterior tenemos que 8 f(t)dt = µ(8 ) para algún µ tal que m µ M. Dicho con otras palabras: existe un rectángulo de base en [,8] que compensa áreas. Observar que existe c [,8] tal que µ = f(c). (Este resultado se conoce como teorema del valor medio) Y X 1 Figura 1.

4 Ejercicio 9 Para el gráfico de la figura hallar una aproximación de la integral de a 9 e indicar una cota del error cometido. 6 Y X Figura. Ejercicio Graficar o buscar un gráfico de e x.. Hallar una aproximación de con un error menor a 1/ e x dx Ejercicio * 11 Sea f la función de la figura. Sea F(x) = x f(t)dt con x [,8]. 1. Indicar cuál de las siguientes expresiones corresponde a F en el punto a =. (a) (b) (c) + t + t f(t)dt f(t)dt f(t)dt. Consideremosahoraunanuevafunción f constanteatrozosenlosintervalos[,4],(4,6],(6,8] que aproxime la función f, y que compense áreas (esto es, que cumpla que en los intervalos mencionados f = f).. Sea x F(x) = f(t)dt. Hallar F t en el punto a =. Hallar F () como límite del cociente incremental. Qué observa? 4. Graficar F junto con el bosquejo de F. Ejercicio 1 uscar y compartir videos o material escrito hasta convencerse a través de algún argumento, de la validez del Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de arrow. 4

5 Ejercicio 1 Calcular: x dx. 4 x dx. π 0 1senxdx et dt Ejercicio 14 Calcular 1. ( x x ) dx. 4 (7x x +1x) dx. 1 (t +4t 1) dt 4. 1 (at +bt+c) dt. π (sent+cost) dt π Ejercicio 1 Tengo que embaldosar parte de un patio de 0m de largo por 10m de ancho. El dueño quiere que el piso sea la superficie bajo el gráfico de la parábola y = x +0 en el primer cuadrante, tomando una esquina del jardín como el origen, el ancho como el eje horizontal y el largo como el vertical. El resto del espacio será reservado a césped y canteros para plantas. Pedí dos presupuestos. lberto Álvarez contestó que la obra costaría $ Mientras que en aldosas áez me dicen que tienen un costo fijo de transporte de $6000 y luego $600 por metro cuadrado. Cuál de las dos opciones es la más barata? Ejercicio 16 Calcular el volumen de la rampa del ejercicio 6. Ejercicio * 17 Dos autos y juegan carreras. continuación se presentan los gráficos de su velocidad instantánea en función de tiempo v(t). Para cada figura responda: en tiempo t = 10 quién ha llegado más lejos?. Justifique

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