CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E1100

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E1100 A) Primer parcial 1) Si se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo, con una velocidad inicial de 0 pies/s, entonces su distancia h arriba del suelo después de t segundos está dada por h 16t + 0t a) Determina el dominio de ht) b) Para qué valores de t el objeto estará a más de 1 56 pies sobre el suelo? ) Sean fx) x 1&gx) x + Determine: a) Los dominios de f y g respectivamente b) f g & g f, indicando el dominio en cada caso ) Sea x + six< 1 fx) x si 1 x 1 x 1 si x>1 Grafique: a) fx) b) gx) fx )+5 c) hx) fx) 4) Una lata tiene capacidad de 1 dm y forma de un cilindro circular recto. Exprese el área de la superficie de la lata como función de su radio. B) Segundo parcial 1) Si se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 0 pies/s, entonces su distancia h arriba del suelo después de t segundos está dada por h 16t + 0t a) Encuentre las velocidades promedio durante los intervalos [, 4], [.5, 4], [4, 5], [4, 4.5] b) Calcule v4), usando que su velocidad en el instante t a segundos es ht) ha) va)lím t a t a ) Para la función fx) x +x 4 x 4 Determine: a) Dominio y raíces b) Puntos de discontinuidad y su clasificación canek.azc.uam.mx: / /

2 GLOBAL E1100 c) Asíntotas verticales y horizontales d) Gráfica ) A partir de la gráfica de la función gx) que observamos a continuación gx) 1 5 x determine: lím gx); lím gx); lím gx); x x + x lím gx); lím gx); lím gx). x 1 x x Puntos de discontinuidad y su clasificación. Ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales. 4) Determine un intervalo de longitud 1/4 en el que la ecuación x x +10 tenga una raíz. 5) Determine los valores a, b para que la función fx) sea continua en todo número real ax +1 six ; fx) x 1 si <x ; x b si x>. C) Tercer parcial 1) Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva x y +xy 5, en el punto 1, 1). x ) ) Para la función fx) x +1), Obtener: dominio, raíces, intervalos de continuidad, asíntotas horizontales y verticales, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos críticos y su clasificación, intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo, puntos de inflexión. Con estos elementos haga un bosquejo de la gráfica de la función. ) Suponga que un incendio forestal se propaga en la forma de un círculo cuyo radio cambia a razón de 1.8 m/min. A qué razón está creciendo el área de la región incendiada cuando el radio alcanza 60 m? 4) Se va a construir una pista de carreras con la forma de dos segmentos rectos y paralelos conectados por semicírculos en los extremos. Si el perímetro de la pista será de 400 m, cuáles deberán ser sus dimensiones para que el área delimitada sea máxima?

3 GLOBAL E1100 5) En la figura siguiente se muestra la gráfica de la temperatura T como función del tiempo t, en un periodo de dos días de primavera en la ciudad de Monterrey, empezando desde las 0 horas del primer día. Considerando lo que sucede sólo el primer día contesta lo siguiente: a) En qué intervalos de tiempo la razón de cambio T con respecto a t es positiva? b) En qué intervalos de tiempo la temperatura está bajando? c) En qué intervalos la gráfica es cóncava hacia arriba o hacia abajo? Qué puede decir acerca de la razón de cambio de T con respecto a t en dichos intervalos? d) En qué valores de t se localizan los puntos de inflexión y cómo los interpreta en términos de la temperatura? e) Finalmente, explica con palabras el comportamiento de la temperatura durante los dos días. T t

4 4 GLOBAL E1100 Respuestas A) Primer parcial 1) Si se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo, con una velocidad inicial de 0 pies/s, entonces su distancia h arriba del suelo después de t segundos está dada por h 16t + 0t. a) Determina el dominio de ht) La función distancia es h 16t + 0t. El dominio D h de la función h es D h { t 0 ht) 0 } { t 0 16t + 0t 0 } { t 0 } { } 16t t + 0) 0 t 0 t +0 0 { t 0 t 0 } { t 0 t 0 } [0, 0]. Luego entonces, D h [0, 0]. 0 0 b) Para qué valores de t el objeto estará a más de 1 56 pies sobre el suelo? La condición se cumple si: ht) > t + 0t > t + 0t 1 56 > 0 16t 0t + 96) > 0 t 0t +96< 0. Primero resolvemos la igualdad t 0t +960 t 0 ± t ± & t 0 ± Con los números t 1 8&t 1 generamos los intervalos 0, 8), 8, 1) y 1, + ), en los cuales obtendremos el signo de t 0t +96t 8)t 1). Signo de Intervalo t 8 t 1 t 0t +96t 8)t 1) 0 <t<8< 1) + 8 <t<1 + t>1 > 8) La desigualdad t 0t +96< 0 se cumple para 8 <t<1. Luego entonces, el conjunto solución de h>156 es 8, 1). 8 1

5 GLOBAL E ) Sean fx) x 1&gx) x +, determine: a) El dominio de f & g respectivamente El dominio de fx) x 1es D f { x R x 1 R } { x R } { } x 1 0 x R x 1 D f [1, + ). El dominio de gx) x + es D g { x R x + R } R D g R. b) f g & g f, indicando el dominio en cada caso Calculamos: f g)x) f[gx)] gx) 1 x + 1; D f g { x R } x D g & gx) D f { x R } gx) R & f[gx)] R { x R f[gx)] R } { x R } x + 1 R { x R } x { x R x + 1 } { x R } x + 1 o bien x + 1 { x R x o bien x 1 } { x R } 1 x 1 o bien x, 1] [ 1 ), + R 1, 1 ) ; g f)x) g[fx)] g x 1) x 1+ ; D g f { x R } x Df & fx) D g { x R fx) R & g[fx)] R } { x R x 1 R & x 1+ R } { x R } x 1 0 { x R x 1 } [1, + ). ) Sea x + six< 1; fx) x si 1 x 1; x 1 si x>1,

6 6 GLOBAL E1100 grafique: a) fx) Un bosquejo de la gráfica de fx) es fx) 5 E B D A 1 C 1 x Puntos de control A, 0), B 1, ), C0, 0), D1, ), E, 5). b) gx) fx )+5 Un bosquejo de la gráfica de gx) fx ) + 5 se obtiene de la siguiente manera: la gráfica de f es trasladada unidades hacia la derecha y la gráfica así obtenida es trasladada 5 unidades hacia arriba. Los puntos de control adoptan las posiciones siguientes: A, 0) A +, 0) A, 5); B 1, ) B 1, ) B 1, 7); C0, 0) C, 0) C, 5); D1, ) D, ) D, 7); E, 5) E 4, 5) E 4, 10). El bosquejo resultante es fx ) E 7 5 B A C D 1 4 x c) hx) fx) Un bosquejo de la gráfica de hx) fx) se obtiene de la manera siguiente: la porción de la gráfica de f, que se encuentre por debajo del eje x, es reflejada en dicho eje poniendo un espejo en el eje x ) y la porción de la gráfica de f, que está por encima del eje x, se deja igual esta parte no se modifica). El bosquejo resultante es:

7 GLOBAL E hx) 5 E B D A 1 C 1 x 4) Una lata tiene capacidad de 1 dm y forma de un cilindro circular recto. Exprese el área de la superficie de la lata como función de su radio. Usando la figura: r h consideremos que la lata cilíndrica tiene r dm de radio y h dm de altura. Se sabe que la capacidad volumen) de la lata es de 1 dm y también se sabe que el volumen de esta lata es V πr h dm Luego entonces, se sabe que πr h 1. Se desea expresar el área de la superficie de la lata como función de radio r, a sabiendas que dicha área es A πr +πrh y que está en función de r & h. Para tener el área A en función sólo de r, despejamos h de la ecuación πr h 1, para luego sustituirla en A πr h 1 h 1 πr A πr +πrh πr +πr ) 1 πr + πr r Ar) πr +, que es el área A de la superficie, como función de r. r

8 8 GLOBAL E1100 B) Segundo parcial 1) Si se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 0 pies/s, entonces su distancia h arriba del suelo después de t segundos está dada por h 16t + 0t. a) Encuentre las velocidades promedio durante los intervalos [, 4], [.5, 4], [4, 5], [4, 4.5] La función posición es ht) 16t + 0t, con t 0. La velocidad promedio en el intervalo [, 4] es V 1 h4) h) La velocidad promedio en el intervalo [.5, 4] es V h4) h.5) La velocidad promedio en el intervalo [4, 5] es V h5) h4) La velocidad promedio en el intervalo [4, 4.5] es V 4 h4.5) h4) V 1 08 pies/s. 00 V 00 pies/s. 176 V 176 pies/s. 184 V pies/s. b) Calcule v4), usando que su velocidad en el instante t a segundos es ht) ha) va)lím. t a t a Siendo así, ht) h4) v4) lím t 4 t 4 16t 0t + 64) lím t 4 t 4 lím t 4 16t + 0t) 104 t 4 lím t 4 16t 4)t 16) t 4) lím[ 16t 16)] ) 16 1) 19. t 4 Luego entonces, v4) 19 pies/s. ) Para la función determine: fx) x +x 4, x 4

9 GLOBAL E a) Dominio y raíces Dominio: D f { x R { } fx) R x R x +x 4 x 4 } R { x R x 4 0 } { x R x 4 } { x R x ± } ; D f R {, }. Las raíces de f son fx) 0 x +x 40 x + x )0 x + )x 1)0 x o bien x 1, pero x D f, por lo que cual f tiene sólo una raíz, que es x 1. b) Puntos de discontinuidad y su clasificación Por ser una función racional, f es continua en todo su dominio D f R {, }. Luego entonces f tiene discontinuidades en x y en x. x +x 4 lím fx) lím x x x 4 lím x x 1) x ) x + )x 1) lím x x )x +) 1) ) ; lím fx) ; luego entonces f tiene en x una discontinuidad removible o evitable. x x 1) lím fx) lím? x x x ya que lím x [x 1)] y lím x x ) 0, entonces x 1) x, por lo que 0 lím fx) + o bien. x Luego entonces, f tiene en x una discontinuidad esencial discontinuidad infinita). c) Asíntotas verticales y horizontales Para las asíntotas verticales pensamos en la recta x. Para corroborarlo calculamos los límites laterales lím fx) & lím fx). x x + i) Si x, entonces x<&x < 0. Como lím x 1)> 0& lím x x x )0, entonces x 1) lím. x x ii) Si x +, entonces x>&x > 0. Como lím x 1)> 0& límx )0 +, entonces x + x + x 1) lím x + x +.

10 10 GLOBAL E1100 Por lo tanto, la recta x es una asíntota vertical de f y además es la única. Para las asíntotas horizontales calculamos los límites en el infinito. x ) lím fx) lím x x x x lím x x x 1 ) x lím x x 1 x 1. Así también, lím fx). x + Luego entonces, la recta y es una asíntota horizontal de f y además es la única. d) Gráfica Un bosquejo de la gráfica es fx) 1 x ) A partir de la gráfica de la función gx) que observamos a continuación gx) 1 5 x determine: lím gx); x lím gx); x 1 lím gx); x + lím gx); x lím gx); x lím gx). x

11 GLOBAL E Puntos de discontinuidad y su clasificación. Ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales. Vemos que: lím gx) x + ; lím x 1 gx) ; lím lím gx) x + ; x gx) ; lím lím gx) no existe ; x gx). x Puntos de discontinuidad: esenciales en x &x y removible en x 1. Asíntotas verticales: las rectas x &x. Asíntotas horizontales: las rectas y &y. 4) Determine un intervalo de longitud 1/4 en el que la ecuación x x +10 tenga una raíz. Consideramos la función polinomial fx) x x + 1, que es continua en toda la recta real. f0) 0) 0) + 1 1&f1) 1 1) Ya que f0) 1 > 0, f1) 1 < 0 & f es continua en el intervalo [0, 1], entonces por el teorema del Valor Intermedio se puede asegurar la existencia de al menos un real c 0, 1) tal que fc) 0. Notemos además que la longitud del intervalo 0, 1) es l 1 1. EL punto medio del intervalo 0, 1) es 1 y además ) ) ) f ) 1 Ya que f0) 1 > 0, f 8 [ < 0 y ya que la función f es continua en el intervalo 0, 1 ], entonces se puede asegurar la existencia de al menos un real c 0, 1 ) tal que fc) 0. Notemos además que la longitud del intervalo 0, 1 ) es l 1. El punto medio del intervalo 0, 1 ) es 1 4 y además ) ) ) f ) 1 Ya que f 17 ) > 0, f [ 1 8 < 0 y que f es continua en el intervalo 4, 1 ], entonces se 1 puede asegurar por el teorema del Valor Intermedio) la existencia de al menos un real c 4, 1 ) tal 1 que fc) 0. Notemos también que la longitud del intervalo 4, 1 ) es l 1 4. Luego entonces, [ para la función fx) x x + 1 existe al menos una raíz [x R tal que fx) 0]en 1 el intervalo 4, 1 ], que tiene una longitud l 1 4.

12 1 GLOBAL E1100 Por lo tanto, en el intervalo 0. [ 1 4, 1 ] de longitud 1 4, se tiene al menos una solución de la ecuación x x+1 5) Determine los valores a, b para que la función fx) sea continua en todo número real ax +1 six ; fx) x 1 si <x ; x b si x>. Siendo a & b números reales fijos, la función f es continua en el intervalo, ], ], + ). Falta pues asegurar la continuidad de f en x yenx. lím fx) lím ax +1)a ) + 1 a +1; x x lím fx) lím x + x x 1) ) 14 1; lím fx) existe si lím fx) lím fx). x x x + Es decir, si -a+1. Esta igualdad se cumple para a 1 y además lím fx) ; x lím fx) lím x x x 1) 19 18; lím x lím x fx) lím + x +x b) b; fx) existe si lím fx) lím fx). x x + Es decir, si 8 b. Esta desigualdad se cumple para b 5 y además lím fx) 8. x Con a 1 y con b 5 se tiene que x +1 six ; fx) x 1 si <x ; x +5 six>. Esta función es continua en x, ya que f ) ) lím x fx). Y también es continua en x, ya que f) 19 18lím x fx). Luego entonces f es una función continua en toda la recta real R ). C) Tercer parcial 1) Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva x y +xy 5, en el punto 1, 1). Suponemos que en la ecuación x y +xy 5 se tiene implícitamente definida a y φx) que es una función derivable.

13 GLOBAL E Derivando implícitamente respecto a x se obtiene d dx x y)+ d dx xy ) d dx 5 [ x dy ] [ dx + yx ) + x y dy ) ] + 1)y 0 dx x dy dx +6x y +9xy dy dx +y 0 x +9xy ) dy dx y 6x y dy dx +6x y y x +9xy. Valuamos en el punto 1, 1) y se tiene que la pendiente de la recta tangente es m 1) + 61) 1) 1) + 91)1) Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto 1, 1) es y x 1) y 9 11 x y 9 11 x x ) ) Para la función fx) x +1), obtener: dominio, raíces, intervalos de continuidad, asíntotas horizontales y verticales, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos críticos y su clasificación, intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo, puntos de inflexión. Con estos elementos haga un bosquejo de la gráfica de la función. a) El dominio de f: D f { x R { } } fx) R x R x ) x +1) R { x R x +1) 0 } { x R } { } x +1 0 x R x 1 R { 1 }. b) Las raíces de f: fx) 0 x ) x +1) 0 x ) 0 x 0 x. c) Intervalos de continuidad: Por ser f una función racional, es continua en todo su dominio D f R { 1}; es decir, f es continua en los intervalos, 1)y 1, + ). d) Asíntotas horizontales:

14 14 GLOBAL E1100 lím fx) x + lím x ) x + x +1) lím x 4x +4 x + x +x +1 x 1 4 x + 4 ) x lím 1 4 x + x 1+ x + 1 ) lím x + 4 x x + 1+ x x + 1 x Luego entonces, la recta y 1 es una asíntota horizontal. Además es la única ya que también lím fx) 1. x e) Asíntotas verticales: x ) lím fx) lím x 1 x 1 x +1) lím x 1 ) x? x +1 x Ya que lím x ) 1 & límx + 1) 0, entonces lím + o bien ;por x 1 x 1 x 1 ) x +1 x lo cual lím +, no importando si x 1 o bien x 1 +. x 1 x +1 Luego entonces, la recta x 1 es la única asíntota vertical de f. f) Intervalos de crecimiento y decrecimiento: f x) d ) ) 1 ) x x d x dx x +1 x +1 dx x +1 ) ) x x + 1)1 x )1 x x +1 x + x +1 x +1) x +1 x +1) ) x 6x ) x +1 x +1) x +1) ; f es creciente si f x) > 0 y es decreciente si f x) < 0. 6x ) 6x ) Debemos ver dónde > 0 y dónde x +1) x +1) < 0. 6x ) Ya que no está definido cuando x + 1 0, entonces excluimos el número x 1. x +1) 6x ) Ya que 0 cuando x 0, entonces excluimos el número x. x +1)

15 GLOBAL E Estos números generan los intervalos, 1), 1, ) y, + ) donde veremos el signo de f x) 6x ) x +1). Valor prueba f x) f es < x < 1 x 4 > 0 creciente 1 < x < x 0 1 < 0 decreciente <x<+ x > 0 creciente Por lo tanto: f es estrictamente creciente en los intervalos, 1) y en, + ) y es estrictamente decreciente en el intervalo 1, ). g) Puntos críticos y su clasificación: f 6x ) x) 0 0 x ; x +1) entonces, f tiene un punto crítico en x. Ya que para 1 <x< la función f es decreciente y para x> es creciente, entonces por el criterio de la primera derivada) f tiene en x un mínimo local estricto. h) Concavidades: f x) d 6x ) dx x +1) 6x +1) 1 x )x +1) 1 [x +1) ] 6 x +1) x +1) x ) 6 x +1) [x +1) x )] x +1) 6 x +1) 6 6x +1 x +6) 6 x +7) x +1) 4 x +1) 4 f 67 x) x) x +1) ; 4 f es cóncava hacia arriba si f x) > 0 es y cóncava hacia abajo si f x) < x) 67 x) Debemos ver dónde > 0 y dónde < 0. x +1) 4 x +1) 4 Observando que, para x 1, el denominador x +1) 4 siempre es positivo por el exponente par), podemos afirmar que el signo de f x) depende exclusivamente del signo del factor 7 x). 7 x >0 7 > x x< 7 7 x <0 7 < x x> 7. Yaque7 x >0 para x< 7 67 x) ; entonces, > 0 para x< 7 x +1) 4 & x 1. Yaque7 x <0 para x> 7 67 x) ; entonces, < 0 para x> 7 x +1) 4. Por lo tanto:

16 16 GLOBAL E1100 La función f es cóncava hacia arriba en los intervalos, 1) y 1, 7 ). ) 7 La función f es cóncava hacia abajo en el intervalo, +. i) Puntos de inflexión: Debido a que en x 7 existe un cambio de concavidad y además a que la función f es continua ahí, podemos afirmar que f tiene en x 7 un punto de inflexión. j) Bosquejo de la gráfica: Con los elementos ) obtenidos, un bosquejo de la gráfica de fx) es el siguiente 7 tabulamos f 1 9 : fx) x y x ) Suponga que un incendio forestal se propaga en la forma de un círculo cuyo radio cambia a razón de 1.8 m/min. A qué razón está creciendo el área de la región incendiada cuando el radio alcanza 60 m? Para un radio arbitrario r, el área del círculo es A πr. Considerando que r varía en el tiempo, es decir, que r rt), se tiene que AAt). Luego entonces A πr At) πr t). Derivando respecto a t obtenemos que d dt At) π d dt r t) da dt πrdr dt, donde da dt Para r 60my dr dt es la razón de cambio del área y dr dt 1.8 m/min tenemos da dt π60 m)1.8 m/min) 16π m /min. Por lo tanto, la razón o rapidez de cambio del área es es la razón de cambio del radio, ambas con respecto a t. da dt 679 m /min.

17 GLOBAL E ) Se va a construir una pista de carreras con la forma de dos segmentos rectos y paralelos conectados por semicírculos en los extremos. Si el perímetro de la pista será de 400 m, cuáles deberán ser sus dimensiones para que el área delimitada sea máxima? Usamos la siguiente figura: l a r a Sean l lo largo, a la anchura de la región rectangular y sea r a el radio de la región semicircular. El perímetro de la pista es P l +πr y como debe ser P 400 m, entonces 400 l +πr; es decir, l +π a 400, o sea l + πa 400 m. El área de la región encerrada por la pista es a ) A la + πr π A la + π la + 4 a. Se tiene entonces i) Una función: A la + π 4 a. ii) Una ecuación restricción): l + πa 400. De la ecuación despejamos una de las variables para luego sustituirla en la función. Notemos que conviene despejar l. l + πa 400 l 400 πa l 00 π a. Al sustituir en la función obtenemos A la + π 4 a 00 π ) a a + π 4 a ; A 00a π a + π π 4 a 00a + 4 π ) a ; Aa) 00a π 4 a, función a maximizar ; A a) 00 π 4 a 00 π a; A a) 0 00 π a 0 π 400 a 00 a π ; A a) π < 0. A tiene un máximo local estricto para a 400 metros anchura). π Lo largo de la región rectangular es l 00 π a 00 π ) π

18 18 GLOBAL E1100 Luego entonces, el área encerrada A es máxima cuando a 400 π completamente circular y con un diámetro a 400 El área máxima encerrada es 00 A máx πr π π π m & l 0; es decir, cuando la región es m o sea, un radio r 00 π ) π π π 5) a) En qué intervalos de tiempo la razón de cambio T con respecto a t es positiva? dt > 0 en los intervalos de tiempo 6, 18) y 0, 4). dt b) En qué intervalos de tiempo la temperatura está bajando? T decrece en los intervalos 0, 6), 18, 0) y 4, 48). c) En qué intervalos la gráfica es cóncava hacia arriba o hacia abajo? Qué puede decir acerca de la razón de cambio de T con respecto a t en dichos intervalos? La gráfica de T es cóncava hacia arriba en los intervalos 0, 1) y 4, 6). La gráfica de T es cóncava hacia abajo en los intervalos 1, 4) y 6, 48). d) En qué valores de t se localizan los puntos de inflexión y cómo los interpreta en términos de la temperatura? Los puntos de inflexión se tienen en t 1, t 4 y en t 6. En estos puntos, la razón de cambio dt pasa de crecer a decrecer y viceversa. dt e) Finalmente, explique con palabras el comportamiento de la temperatura durante los dos días. Durante el segundo día, la temperatura tiene el mismo comportamiento iguales características) que durante el primer día. m. m).