(B) Segundo parcial (1) Una función f se dice que es acotada si existe M 0 tal que f(x) M para toda x en dominio de f.

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E00 A) Primer parcial 1) Completando el trinomio cuadrado perfecto, dibujar la gráfica de + 6 = y ) + 6 ) 1 6 4) Sea + si < 1 f) = 4 si < 1 si 1 4 a) Proporcionar el dominio, rango y raíces de f b) Hacer un bosquejo gráfico B) Segundo parcial 1) Una función f se dice que es acotada si eiste M 0 tal que f) M para toda en dominio de f ) Sea Pruebe que la función y = es acotada en todos los reales R 1+4 f) = +1 1 si 0yf0) = 0 Es f continua en todo su dominio? Justifique plenamente ) Sea la función si 1 f) = a + b si 1 < 4 +4 si< a) Encontrar los valores de a y b para que la función sea continua en todo su dominio b) Graficar la función con los valores encontrados 16 4) ) + canekazcuamm: / / 006 1

2 EVALUACIÓN GLOBAL E00 C) Tercer parcial f) 1) La figura adjunta muestra la gráfica de la derivada de una función f la cual es continua en todos los reales A partir de ella determine a) Intervalos donde f es creciente o decreciente b) Puntos críticos de f c) Etremos relativos def d) Concavidad de f e) Abscisas de los puntos de infleión de f ) Graficar la función f) = 1+ determinando: a) Dominio, raíces y contradominio b) Asíntotas c) Intervalos de monotonía crecimiento y decrecimiento) d) Intervalos de concavidad e) Puntos críticos y su clasificación máimos, mínimos) y puntos de infleión ) Cuáles deben ser las dimensiones de un recipiente cilíndrico cerrado para que la cantidad de material usado sea mínima y su volumen sea V? 4) Calcule la derivada de f) = + 4 usando la definición f f + h) f) ) = h 0 h

3 Respuestas EVALUACIÓN GLOBAL E00 A) Primer parcial 1) Completando el trinomio cuadrado perfecto, dibujar la gráfica de + 6 = y Completando un trinomio cuadrado perfecto vemos cómo es la gráfica de la función cuadrática y = + 6, para luego aplicar el valor absoluto y = + 6= + + ) 1 ) 1 6= + 1 ) 1 4 6= + 1 ) 5 4, que es una parábola con eje vertical que se abre hacia arriba a partir de su vértice Su gráfica se obtiene de la parábola y =, trasladándola primero horizontalmente 1 unidad hacia la izquierda y luego verticalmente 5 unidades hacia abajo, quedando su vértice en el punto V 1 ) 4, 5 4 Sus raíces están en y =0 + 1 ) 5 4 =0 + ) 1 ) 5 = ) ) =0 ) +)=0 = 0 o bien +=0 = o bien = Entonces sus raíces son = & = Con esto se tiene primero que la gráfica de y = + 6es y Aplicando el valor absoluto tenemos ahora la gráfica de y = + 6 :

4 4 EVALUACIÓN GLOBAL E00 y ) + 6 Completando un trinomio cuadrado perfecto ) ) ) o bien o bien o bien El conjunto solución de la desigualdad es entonces ] [ ) CS =,, + ; ) CS = R, ) )

5 ) EVALUACIÓN GLOBAL E Considerando que, se tiene que 0, por lo cual > 0 Entonces o bien o bien o bien 1 6 Por lo tanto, el conjunto solución es CS =, 11 ] [ ) , + = R 6, 1 ) ) Sea + si < 1; f) = 4 si < 1; si 1 4 a) Proporcionar el dominio y raíces de esa función Dominio: [, 4] { 1} Para < 1 se tiene f) = + La gráfica de f) = + es una parábola con eje vertical que se abre hacia abajo Además y = += 1+1+= + +1)+4 y = +1) +4 tiene vértice en el punto V 1, 4) y raíces en +=0 = ± 4+1 = +4 = ± 4 = 6 4 = o bien = = =1 Para 1 <<1, se tiene f) =4 La gráfica es pues el segmento de recta horizontal que va del punto 1, 4) al punto 1, 4) Para 1 4, se tiene f) = En este tercer caso, su gráfica es una parábola con eje vertical que se abre hacia arriba

6 6 EVALUACIÓN GLOBAL E00 Además y = = +1 1 = 1) 4 tiene vértice en el punto W 1, 4) y raíces en 1) 4=0 1) =0 [ 1) ][ 1) + ] = 0 ) + 1) = 0; por lo tanto = ; y también en = 1 Raíces: = & = b) Hacer un bosquejo gráfico y proporcionar el rango de la función: Tabulamos f4) = 4 4) =16 8 =5 La gráfica que corresponde a f) con todas esas características es: f) Rango: [ 4, 5] B) Segundo parcial 1) Una función f se dice que es acotada si eiste M 0 tal que f) M para toda en dominio de f Pruebe que la función y = es acotada en todos los reales R 1+4 Puesto que la función es par, vamos a demostrar el resultado para 0 Demostraremos que f) = 1+ 4 = 1+ 1 o, lo que es lo mismo, que si 0 Si , pues ) Sea Por otro lado, 1 < < 1 < < 4 < 1+ 4, pues 4 < 1+ 4 Hemos demostrado que tomando M = 1 se cumple el resultado f) = +1 1 si 0yf0) = 0 Es f continua en todo su dominio? Justifique plenamente

7 Para tener el dominio de EVALUACIÓN GLOBAL E si 0; f) = 0 si =0, es necesario ver el dominio de g) = +1 1 D g = { R +1 0&>0 } = = { R 1&>0 } = { R >0 } =0, + ) Como f0) = 0, entonces el dominio de la función f es D f =[0, + ) Ya que para >0, las funciones h) = +1 1&φ) = son continuas, y además φ) 0, entonces la función f) es continua en el intervalo 0, + ) Hasta aquí, f) es una función continua para >0 Veamos qué sucede en =0: ) f) = = = ) 1 = = = ) ) = = = 0 =0; entonces, f) =0 0 + Por ser f0) = 0, así como f) = 0, se cumple que f) =f0) Luego entonces, f es una función continua en el intervalo abierto 0, + ) y además f) =f0) Por lo tanto, f es una función continua en el intervalo [0, + ), que es precisamente el 0 + dominio de f Esto es, f es una función continua en todo su dominio ) Sea la función si 1; f) = a + b si 1 < ; 4 +4 si< a) Encontrar los valores de a, b para que la función sea continua en todo su dominio Por ser funciones polinomiales, g) = con, 1] ; h) =a + b con 1, ]; φ) = con, + ) son funciones continuas en sus dominios Sólo debemos cuidar la continuidad de f en = 1 yen = Primero en = 1 f) = g) = )= 1) +4 1) + 4 = 1; f) = h) = a + b) =a 1) + b = a + b;

8 8 EVALUACIÓN GLOBAL E00 entonces, f) eiste si y sólo si 1 f) = f) 1= a + b Ahora en = f) = h) =a + b) =a) + b =4a + b; f) = φ) = ) = ) 4) + 4 = 0; entonces, f) eiste si y sólo si f) = f) 4a + b =0 + Luego entonces, las constantes a, b deben cumplir con el sistema de ecuaciones { { a + b =1 a + b =1 6a =1 a = 1 4a + b =0 4a b =0 6 ; 4a + b =0 b = 4a = 4 1 ) = b = ; Ahora bien, con a = 1 6 y con b = se tiene que f) = 1 + si 1 < ; si f) =1; 1 y si f) =0 Además, f 1)= 1) +4 1) + 4 = 1 y también f) = 1 + =0, por lo cual 1 f) =f 1) así como f) =f) Entonces la función f) es continua en = 1 yen = Esto es, f es una función continua en todo su dominio b) Graficar la función con los valores encontrados es La gráfica de f) = si 1; si 1 < ; si>; f) 1

9 EVALUACIÓN GLOBAL E00 9 ya que +) si 1; f) = 1 + si 1 < ; ) si >; por lo que, a la izquierda de = 1 y a la derecha de =, la gráfica está constituida por segmentos de la parábola y = trasladada unidades a la izquierda y a la derecha respectivamente En 1, ] tenemos el segmento de la recta de pendiente 1 y ordenada en el origen 16 4) +8 4 Vemos que = 8) 8 +4) = ) = 8 +4) = ) + +4) ) ) en caso de que, entonces cancelando ) tenemos + +4) ) = = 4 ) 6 ) 4 = 6 Hemos visto que 8 +4=0 = 8 ± = 8 ± 4 6 6, luego 8 +4= ) ) = ) ) 9+4 5) + Tenemos = = = ) ) = ) = 1+ ) = 1+ ) = = 4+ 9 = 1 = 1+ = Observe que tenemos = pues, <0

10 10 EVALUACIÓN GLOBAL E00 C) Tercer parcial f) 1) La figura adjunta muestra la gráfica de la derivada de una función f la cual es continua en todos los reales A partir de ella determine: a) Intervalos donde f es creciente o decreciente La función f es creciente donde f > 0, lo cual sucede en los intervalos, 1), 0, 1) y 1, ) La función f es decreciente donde f < 0, lo cual sucede en los intervalos 1, 0), 1, 1) y, + ) b) Puntos críticos de f La función f tiene puntos críticos donde f = 0, lo que sucede en =0yen =1 c) Etremos relativos de f Debido a que f ) < 0, f es decreciente en el intervalo 1, 0) ; f 0) = 0; f es creciente en el intervalo 0, 1) ya que f ) > 0; entonces, se puede afirmar por el criterio de la primera derivada) que la función f tiene en = 0 un mínimo local estricto Análogamente por ser f decreciente en el intervalo 1, 1); f 1) = 0 y, puesto que f es creciente en el intervalo 1, ), se puede afirmar por el criterio de la primera derivada) que la función f tiene también en =1 un mínimo local estricto d) Concavidad de f La función f es cóncava hacia arriba donde f > 0, es decir, donde la derivada de f es positiva, o sea donde f es creciente En este caso, f es creciente en todo su dominio, por lo cual f es cóncava hacia arriba en los intervalos, 1), 1, 1), 1, ) &, + ) e) Abscisas de los puntos de infleión de f Por no eistir cambios de concavidad, f no tiene puntos de infleión ) Graficar la función f) = 1+ determinando: a) Dominio, raíces y rango

11 EVALUACIÓN GLOBAL E00 11 Por ser f una función racional, su dominio es D f = R { R 1+ =0 } = R, yaque1+ 0 para cada R Raíces: f) =0 =0 =0 1+ El rango lo veremos al final Todo lo que calculemos debe ser consistente con el hecho de que f) es impar b) Asíntotas Asíntotas verticales: Por ser f una función racional, es continua en todo su dominio, que es todo R Por esta razón f no tiene discontinuidades, lo que permite afirmar que f no tiene asíntotas verticales Asíntotas horizontales: ± f) = ± = ± +1 = = = 0 1 =0 = Entonces, la recta y = 0 es la asíntota horizontal c) Intervalos de monotonía crecimiento y decrecimiento) Derivamos: f ) = d d ) = 1 + ) ) = 1+ = ) 1 + ) 1 + ), ya que 1 + ) > 0 para cada R ; entonces, f ) > 0 1 > 0 < 1 < 1 < 1 < 1 1 <<1 Por lo cual f es estrictamente creciente en el intervalo 1, 1) f ) < 0 1 < 0 > 1 > 1 > 1 > 1 < 1 o bien >1, por lo cual f es estrictamente decreciente en, 1) y en 1, + ) d) Intervalos de concavidad Para hallarlos necesitamos la segunda derivada: f ) = d [ ] 1 = 1 + ) ) 1 )1 + ) = d 1 + ) [1 + ) ] = 1 + ) 41 )1 + ) = 1 + )[1 + )+1 )] = 1 + ) ) 4 = ) 1 + ) = ) 1 + ) = ) 1 + )

12 1 EVALUACIÓN GLOBAL E00 Ya que 1 + ) > 0 para cada R, entonces f ) > 0 ) > 0yf ) < 0 ) < 0 Pero, < 0 < < ) < Por lo cual, < 0 para << y > 0 en el conjunto, ), + ) Luego entonces f ) > 0 ) > 0 <0y < 0 o bien >0& > 0 <0& << o bien >0&< o bien > <<0 o bien > Por lo cual f es cóncava hacia arriba en el conjunto, 0 ), + ) Por otra parte f ) < 0 ) < 0 <0& > 0 o bien >0& < 0 <0&< o bien > o bien >0& << < o bien 0 << Por lo cual f es cóncava hacia abajo en el conjunto, ) 0, ) e) Puntos críticos y su clasificación máimos, mínimos) y puntos de infleión Puntos críticos: f ) = ) =0 1 =0 =1 = 1 o bien =1 Entonces, f tiene puntos críticos en = 1 yen =1 Por ser f decreciente en el intervalo, 1) y creciente en el intervalo 1, 1), la función f tiene en = 1 un mínimo estricto Aún más, este mínimo local se encuentra en el punto [ 1,f 1)] = 1, 1 ) Por ser f creciente en el intervalo 1, 1) y decreciente en el intervalo 1, + ), la función f tiene en = 1 un máimo estricto Aún más, este máimo local se encuentra en el punto [1,f1)] = 1, 1 Puntos de infleión: Por el inciso d) sabemos que f es cóncava hacia arriba en el conjunto, 0 ), + ) y que es cóncava hacia abajo en el conjunto, ) 0, ) Luego entonces, f tiene cambios de concavidad en =, =0yen =, y, debido a que f es continua en estos números, se puede asegurar que f tiene puntos de infleión en =, =0 yen = Dichos puntos tienen por coordenadas [,f )] = ), , 04017); 4 [0,f0)] = 0, 0); [,f ), )] = , 04017) 4 )

13 Con toda esta información la gráfica de la función f) es: EVALUACIÓN GLOBAL E00 1 f) Encontramos con [ ello que los valores etremos resultan ser absolutos Rango: R f = 1, 1 ] ) Cuáles deben ser las dimensiones de un recipiente cilíndrico cerrado para que la cantidad de material usado sea mínima y su volumen sea V? Consideramos un cilindro recto de radio r y altura h r h El volumen V del cilindro es V = πr h noindent El área total de la superficie del cilindro es A =πr +πrh Qué es lo que se quiere? Se quiere minimizar el área A suponiendo un volumen V fijo De la ecuación V = πr h

14 14 EVALUACIÓN GLOBAL E00 despejamos h = V πr Sustituimos en el área A y se obtiene A =πr +πrh =πr +πr ) V =πr + V πr r que es la función a minimizar Derivando Ar) =πr +Vr 1 queda A r) =4πr V r ; A r) =0 4πr V r V =0 4πr = r r = V 4π = V π r = V π Entonces Ar) tiene un punto crítico en r 1 = V π : A r) = d dr 4πr Vr )=4π +4Vr =4π + 4V r > 0; además Ar) tiene un mínimo cuando r = r 1 Ahora bien, cuando se tiene que ) 1 V V r = r 1 = π =, π V = V π π ) V V = π π h 1 = V πr 1 Por lo tanto, el área Ar) es mínima cuando ) = V π ) = V π ) V = π r = V π y h =r ) 1 V = π =r 1 Es decir, cuando la altura del cilindro es precisamente el doble del radio de la base 4) Calcule la derivada de f) = + 4 usando la definición f f + h) f) ) = h 0 h

15 EVALUACIÓN GLOBAL E00 15 Tenemos que: f) = + 4; f + h) = + h) + + h) 4= = + h +h + h )+ +h 4= = +6 h +6h +h + +h 4 f + h) f) = +6 h +6h +h + +h 4 + 4) = =6 h +6h +h +h = = h6 +6h +h +) f + h) f) h f + h) f) h 0 h =6 +6h +h + = h h +h +)=6 +