Valores Máximos y Mínimos

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1 Valores Máimos y Mínimos MATE 01 Cálculo 1 /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de

2 Actividades.5 Referencia: Teto Sección.1 Etremos en un intervalo Valores Máimos y Mínimos, Ver ejemplos 1 al 4; Ejercicios de Práctica: Impares 1-9 Sección. Funciones crecientes y decrecientes, Ver ejemplos 1 al 4; Ejercicios de Práctica: Impares 1 5; Sección.4 Concavidad y criterio de la Segunda Derivada, ver ejemplos 1-4; Ejercicios de Práctica 1-5 Asignación 4.: Sección.1, problemas 0 y 8 ; Sección. problemas, 6, Sección.4, problemas 18, 4. Incluya su gráfica usando GRAPH. Referencias del Web: Khan Academy Máimos y Mínimos relativos y Absolutos. TareasPlus Máimos, mínimos, concavidad y puntos de infleion. Paul's Online note: Minimum and Maimum values. SOS Mathematics - Concavity and Points of Inflections HMC Mathematics Online Tutorial - Concavity and Second Derivative Test. Matemática Concavidad /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de

3 Punto máimo relativo vs. Punto máimo absoluto? Valores etremos Punto mínimo relativo vs. Punto mínimo absoluto? /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de

4 Puntos y Valores etremos Punto máimo relativo vs. máimo absoluto? Máimo relativo: Máimo absoluto: Punto mínimo relativo vs. mínimo absoluto? Mínimo relativo: Mínimo absoluto: Un punto mínimo o máimo relativo tiene que estar en el intervalo abierto (a, b). Un punto mínimo o máimo absoluto puede ser un punto relativo o puede estar en uno de los puntos etremos del intervalo cerrado [a, b]. Si (a, f(a)) es un punto etremo de la gráfica de una función f, se dice que ocurre en = a y que f(a) es un valor etremo (relativo o absoluto) de f. /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de

5 Ejemplo 1 De la gráfica de f = + 1 aproime dónde la función tiene un etremo relativo y absoluto en el intervalo,. /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de

6 Puntos, Números y Valores críticos Números Críticos f Números del dominio donde: ( ) 0 f ( ) no eiste Valores Críticos Los valores de la función correspondientes a sus números críticos Aproimadamente f ( ) f ( 1) f ( ) 6 f ( 4) 5 /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de

7 Ejemplo Calcule el número y valor crítico de la función en el intervalo (-,1). Solución (analítica): Paso 1- Calcule la función derivada f f ( ) ( 4( 1) d d (4) 4 ( 1) 1) 4() ( 1) ( 1) 4( 1) ( 1) d d ( 1) f = Paso - Identifique puntos dónde f toma el valor de 0 o donde no está definido: f = 4( 1) + 1 En el intervalo abierto (-,1), el único número crítico es = -1 En = -1, el valor crítico se calcula evaluando la función f(-1): f 1 = 0 = 4( 1) = ±1 0 = ( + 1) = no tiene solución 4( 1) ( 1) +1 = /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de

8 Ejercicio #1 Encuentre los valores críticos de Solución (analítica): Calcule f () f ( ) ( ) f Determine los números críticos. Esto son, valores en donde f ( ) 0 o f ( ) no eiste Los valores críticos son: 0 ( 1)( ) 1 y ( 1) f ( 1) 10 f () ( 1) ( 1) 7 6 Aqui f ( ) siempre eiste /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de

9 Cómo varía el signo de la derivada? Dónde es la derivada positiva? negativa? 0? /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de

10 Prueba de la primera derivada Si f'() > 0 para todo valor de en (a,b), entonces f es una función creciente en [a,b] Si f'() < 0 para todo valor de en (a,b), entonces f es una función decreciente en [a,b] Si f'() = 0 para todo valor de en (a,b), entonces f es una función constante en [a,b] /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 10 de

11 Ejemplo Determine los intervalos en donde crece o decrece la función Solución: f ( ) 1 Paso 1 Determine los números críticos Si f ( ) f ( ) 0 entonces, Si f ( ) no eiste o 1 no está definido en Los intervalos de interés son:,1 1,0 0,1 1, 0 /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11 de

12 Ejemplo Prepare tabla para analizar variación de signo de la primera derivada: Para esto, seleccione un valor arbitrario en el intervalo y determine el signo de la función derivada f ( ),1 1,0 0,1 1, f () - decrece Comportamiento + crece - decrece + crece Crece en los intervalos Decrece en los intervalos 1,0 1,, 1 0,1 /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de

13 Ejercicio # Para la función: encuentre los intervalos sobre los cuales la función es creciente o decreciente. Solución f ( ) Paso 1 - Cácule la primera 1 Paso Identifique números críticos. 4 4 f ( ) 4 Paso Analice la primera derivada en los intervalos alrededor de los número críticos.,1 1, f f ( ) 0 decrece f ( ) 0 f crece /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 1

14 Cómo determinar valores etremos absolutos? Para encontrar los valores etremos absolutos de una función f en un intervalo cerrado [a,b] son: 1. Encuentre los valores críticos de f en (a,b).. Evalúe la función f en a y b.. Compare los valores críticos con los valores de f(a) y f(b). El valor mínimo será el el mínimo absoluto en [a,b]. El valor máimo será el máimo absoluto en [a,b]. /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 14 de

15 Ejemplo 4 Encuentre los valores etremos en [-, 5] de Solución: (Ver Ejercicio #) f ( ) 1. Números críticos:. Valores críticos: ( 1). Valor de la función en a y b. f ( ) ( ) 115 f (5) 6 4. Compare 115 f ( 5) es el máimo absoluto 6 10 f( ) es el mínimo absoluto f ( ) 1 y 7 6 ( ) y f( ) 10 /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 15 de

16 Prueba de la Segunda Derivada ( b, f(b) ) f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 Una función f definida en un intervalo [a,b] es cóncava hacia arriba si su primera derivada f ' cambia de negativo a positivo. Esto es, si la segunda derivada f es positiva. Una función f definida en un intervalo [a,b] es es cóncava hacia abajo, si f ' cambio de positivo a negativo. Esto es, si la segunda derivada f es negativa. Se llaman puntos de infleión cuando hay un cambio de concavidad. /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 16 de

17 Ejemplo 5 4 Analice la gráfica de la función f ( ) con 1 respecto a la concavidad y a sus puntos de infleión. Solución: Paso 1 Cálcule la primera y la segunda derivada f ( ) f ( ) Paso Identifique los intervalos de concavidad. Identifique valores donde la segunda derivada es 0. Intervalos para analizar variación de signos. f ( ) 0 0,0 0,, Posibles puntos de infleión ocurren en = 0 y en =. /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 17 de

18 Ejemplo 5 Paso Construya tabla para analizar variación de signo f ( ) - f"() concavidad (-infinito, 0) Hacia arriba (0, ) Hacia abajo (, +infinito) Hacia arriba f ( ) 4 1 Tabla confirma puntos de infleión en = 0, = /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 18 de

19 f () = 0 no asegura puntos de infleión Recuerde: f"(c) = 0 no garantiza que eista un punto de infleión en (c, f (c)). Considere la función: f() = ( - ) 4 f () = 4( - ) f "() =1( ) Observe f "() = 0. Sin embargo, f "() es positivo para valores menores o mayores que. Es decir que el punto (, 0) NO es un punto de infleión, /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 19 de

20 Ejemplo 6 Para la función: encuentre los valores máimos y mínimos locales. Solución f ( ) Paso 1 Cálcule la primera derivada Paso Identifique números críticos. Sólo hay un número crítico ln 1 f ( ) ln 1 f ( ) 1 ln 0 1 ln 1 1 e ln /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 0 de

21 Ejemplo 6 Paso Determine signo de la segunda derivada en los números críticos. 1 f ( ) 1 1 f ( e ) e 0 1 e 1 1, f hay un mínimo e e El mínimo local es f ln e e e e e 1, e 1 f e /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de

22 Considera la función Ejercicio # a) Determine la primera y segunda derivada b) Determine los intervalos donde la función crece o decrece c) Determine los intervalos de concavidad. d) Determine concavidad y puntos de infleión. e) Trace la gráfica Solución: a) f ( ) 1 1 b) ( 1) 0, f ( ) 4 4 f ( ) 6 4 Intervalos 1-1 f () (-infinito, 0) decrece (0, 1) decrece (1, infinito) crece /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de

23 Ejercicio # c) Concavidad y puntos de infleión ( ) 0, Posibles puntos de infleión ocurren en = 0 y en = / 0 0 f ( ) f"() concavidad (-infinito, 0) Hacia arriba (0, /) Hacia abajo (/, +infinito) Hacia arriba Tabla confirma puntos de infleión en = 0, =/ d) Gráfica f ( ) 4 4 /0/016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada de