LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS

Transcripción

1 LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS ÍNDICE. Concepto de límite. Propiedades de los límites 3. Definición de continidad 4. Tipos de continidad 5. Concepto de derivada 6. Tabla de derivadas 7. Crecimiento y decrecimiento 8. Máimos y mínimos 9. Concavidad y conveidad. Pntos de infleión. Representación gráfica de fnciones Idea de límite de na fnción en n pnto : Sea la fnción y =. Si tiende a a qé valor se aproima y : - '8 '9 '99 '999 y 3'4 3'6 3'96 3'996 + ' ' ' ' y 4'84 4'4 4'4 4'4 Lego cando se aproima a, tanto por la dereca como por la izqierda los valores de y se acercan cada vez más a 4. Esta idea se sele epresar así : lim = 4 (límite lateral por la izqierda lim = 4 + (límite lateral por la dereca Cando el límite por la dereca y por la izqierda eisten y son igales se dice qe eiste límite en ese pnto y es : lim = 4 Si los límites laterales en = son distintos entonces f no tiene límite en ese pnto. Definición intitiva de límite : dada na fnción f, el límite de f cando tiende a es el valor al qe se aproiman las imágenes mediante f de los pntos cando éstos se aproiman al valor de. Definición matemática de límite : na fnción f tiene límite l cando tiende a si es posible consegir qe f( esté tan próimo a l como se qiera al tomar sficientemente próimo a ( tanto como sea necesario pero siendo. Decir qe "f( se aproima a l tanto como se qiera" eqivale a decir qe la distancia de f( a l es menor qe calqier valor ε por peqeño qe este sea, es decir /f(- l/<ε. Decir qe "la variable toma valores sficientemente próimos a " eqivale a decir qe dependiendo de la proimidad de f( a l, así deberá estar más o menos próimo a para qe se cmpla la ipótesis /f(- l/<ε, es decir, debe de eistir n δ tal qe / /<δ. Por lo tanto se dice qe na fnción f( tiene límite l cando tiende a, si para calqiera qe sea el número ε se pede encontrar otro número δ tal qe / f ( l/ < ε para todo qe verifiqe / / < δ

2 Utilizando la notación matemática : lim f ( = l ε δ / si / / < δ / f ( l / < ε * * lim f ( = l ε(l = (l ε,l + ε ε ( = ( δ, + δ / ε ( f ( ε(l Observemos qe la fnción no tiene por qé estar definida en para tener límite en ese pnto, inclso anqe esté definida no es necesario qe sea igal al límite. No obstante si f( está definida en y f( = l entonces se dice qe la fnción es contina en. Ejemplo : Veamos qe lim 6 3 = Tomamos ε=', es decir, la distancia entre f( y el límite 6 es menor qe ', /f( - 6/<' por lo tanto /-6/<', -'<-6<', 5'9<<6', '95<<3'5, 3-'5<<3+'5, /-3/<'5 lego debemos tomar δ = '5 Podríamos tomar n ε todo lo peqeño qe nosotros qeramos, y siempre encontraríamos n δ. En general : /f( - 6/<ε por lo tanto /-6/<ε, -ε<-6<ε, 6-ε<<6+ε, 3-ε/<<3+ε/, /-3/<ε/ lego debemos tomar δ = ε/, en general δ depende del valor de ε qe tomemos. Límites infinitos en n pnto (asíntota vertical: Se dice qe lim f ( = + si para calqier k positivo se pede encontrar n δ tal qe f(>k cando /- /<δ. Se dice qe lim f ( = si para calqier k positivo se pede encontrar n δ tal qe f(<-k cando /- /<δ. Límites en el infinito (asíntota orizontal: Se dice qe lim f ( = l si para calqier + ε se pede encontrar n k positivo tal qe /f(-l/<ε para todo >k. Se dice qe lim f ( = l si para calqier ε se pede encontrar n k positivo tal qe /f(-l/<ε para todo <-k. Límite infinito en el infinito : Se dice qe lim f ( = + si para calqier k positivo + se pede encontrar n H positivo tal qe f(>k para todo >H. Se dice qe lim f ( = si para calqier k positivo se pede encontrar n H + positivo tal qe f(<-k para todo >H. Se dice qe lim f ( = + si para calqier k positivo se pede encontrar n H positivo tal qe f(>k para todo <-H. Se dice qe lim f ( = si para calqier k positivo se pede encontrar n H positivo tal qe f(<-k para todo <-H. Propiedades de los límites :. El límite de na fnción en n pnto si eiste, es único y es igal a los límites laterales.. Si na fnción tiene limite distinto de cero en n pnto entonces eiste n entorno del pnto en el qe los valores qe toma f tienen el mismo signo qe el límite.

3 3. lim f+g = lim f + lim g 4. lim f g = lim f lim g 5. lim k f = k lim f donde k es n nº real 6. limf/g = lim f / lim g siempre qe lim g 7. lim f n = ( lim f n donde n es n nº real 8. lim f g = ( lim f g 9. lim g(f( = g ( lim f( Cálclo de algnos límites : ( Indeterminaciones Al aplicar las propiedades de los límites podemos encontrar na de las sigientes indeterminaciones : /, /, -,,,,. lim P( = P( es decir en los polinómios se sstitye el pnto.. lim P(/Q( = P( /Q( si Q( Cando Q( = se pede distingir dos casos : Qe P(. Tendremos qe calclar los límites laterales, si eisten y son igales la fnción tendrá límite qe será + ó. En caso contrario no eistirá límite. Qe P( = por lo qe tendremos na indeterminación del tipo / qe se reselve factorizando nmerador y denominador y simplificando la fnción racional. En el caso de qe aya raices debemos mltiplicar nmerador y denominador por el conjgado. 3. lim P(/Q( = / ( indeterminación del tipo / entonces se divide por la máima potencia, tanto si las epresiones son racionales como si son radicales. En el caso más simple qe es el de las fnciones racionales podemos obtener los sigientes casos : grado P(>gradoQ( lim = +/- grado P(=gradoQ( lim = a n /b n grado P(<gradoQ( lim = Pede ser de tilidad saber qe se pede transformar la indeterminación / a / o al revés, sin más qe tener presente qe : P = Q Q P 4. Si al calclar el límite de la fnción aparece na indeterminación del tipo - para eliminarla tendremos qe distingir dos casos : Si f es la diferencia de dos fnciones racionales se efecta dica operación para consegir estar en no de los dos casos anteriores. Si f es la diferencia de dos fnciones con raices cadradas mltiplicaremos y dividiremos por el conjgado. 5. Si al calclar el límite de la fnción aparece na indeterminación del tipo debemos tener en centa qe : lim + = lim( + / = e =' La indeterminación del tipo se redce al tipo / ó / tilizando la igaldad P Q P Q = = Q P

4 7. Las indeterminaciones del tipo, y se peden resolver tilizando la propiedad : a b = e b lna con lo qe se redcirá a na de las indeterminaciones ya estdiadas. Definición de continidad : se dice qe na fnción es contina en n pnto si : a Eiste f( b Eiste lim f ( c Son igales En forma matemática : lim f ( = l ε δ / si / / < δ / f ( f ( / < ε Una fnción se dice qe es contina en n intervalo si lo es en cada no de ss pntos. Tipos de discontinidades : a Discontinidad evitable : Eiste No eiste f( Eiste f( pero f( lim f ( lim f ( pero : b Discontinidad inevitable : No eiste lim f ( : los límites laterales eisten pero no son igales : (ª especie salto finito salto infinito algno de los límites laterales no eiste (ª especie Tasa de variación media (cociente incremental: la tasa de variación de na fnción da na primera idea de la rapidez con qe crece o decrece la fnción en n determinada intervalo. La tasa de variación media viene a responder a la pregnta : cántas nidades crece la variable y por cada na qe crece la? y f ( + f ( = f( y La tasa de variación media pede ser positiva, negativa o nla, dependiendo de la fnción y del intervalo. Tasa de variación instantanea (en n pnto : es el límite de las tasas de variación media cando los intervalos de la variable independiente se acen cada vez más peqeños.

5 y f ( lim = lim + f ( Concepto de derivada en n pnto : Se llama derivada de la fnción f en el pnto = al sigiente límite : y f ( + f ( lim = lim = f ' ( Es decir, la derivada es la tasa de variación instantanea. Si el límite eiste se dice qe la fnción es derivable en ese pnto. Por ejemplo vamos a calclar la derivada de y = + 8 en el pnto = : [ ( + + 8] [ + 8] + 4 lim = lim = 4 = 8 Interpretación geométrica de la derivada : la derivada es la pendiente m de la recta tangente en ese pnto.por lo tanto la ecación de la recta tangente a ese pnto será : y f ( = f '( Derivadas laterales : deben de eistir y ser igales para qe eista la derivada y lim+ y lim Derivadas scesivas : si na fnción es derivable en cada pnto de n intervalo se pede definir na neva fnción asignando a cada pnto de ese intervalo la derivada f '( en dico pnto. Esta fnción se llama fnción derivada de f = f '( en n intervalo. Si la fnción derivada de f es derivable en todos los pntos de n intervalo, s derivada f ' f '( + f '( se llama derivada segnda f ''( = lim = lim En general podemos obtener la derivada enésima. Teorema : Si na fnción admite derivada finita en n pnto, entonces es contina en ese pnto. DERIVABLE CONTINUA Lo contrario no tiene por qé ser cierto. Por ejemplo la fnción valor absolto es contina en el pnto pero no es derivable Operaciones con derivadas : se peden dedcir a partir de la definición de límite y derivada. (f+g ' = f ' + g ' (f g ' = f ' g + f g ' (k f' = k f ' ' f f' g f g' = g g [g(f(]' = g'(f( f '( ( f ' = f '

6 Derivadas de las fnciones elementales : y y' y y' k n n n- n n n- a a lna a a lna e e e e v v v- + v ln v' n n n n n n n log a log a log a e loga e ln ln sen cos sen cos cos -sen cos -sen tg tg cos cos cotg - cotg - sen sen sec sen sec sen cos cos cosec - cos cosec - cos sen sen arc sen arc sen arc cos arc tg arc cotg arc sec arc cosec n arc cos arc tg arc cotg arc sec arc cosec Crecimiento y decrecimiento de na fnción : Una fnción se dice qe es creciente cando al amentar la amenta la y,es decir: creciente - < < + f( - f( f( + -

7 Al sstitir esto en la definición de derivada observamos qe tanto para la dereca como para la izqierda : f ( + f ( Una fnción es creciente en n pnto si la derivada es mayor o igal qe cero. Una fnción se dice qe es decreciente cando al amentar la disminye la y,es decir: decreciente - < < + f( - f( f( + Al sstitir esto en la definición de derivada observamos qe tanto para la dereca como para la izqierda : f ( + f ( Una fnción es decreciente en n pnto si la derivada es menor o igal qe cero. Si en las anteriores fórmlas cambiamos el mayor(menor o igal qe... por mayor(menor entonces obtenemos la definición de estríctamente creciente y decreciente. Importante : creciente la derivada en ese pnto es positiva o igal qe. El contrario no es cierto ya qe pede ocrrir qe la derivada valga y no sea creciente. decreciente la derivada en ese pnto es negativa o igal qe. El contrario no es cierto ya qe pede ocrrir qe la derivada valga y no sea decreciente. Podría ocrrir qe la derivada fera y no fese creciente ni decreciente. Por otro lado : estríctamente creciente la derivada en ese pnto es positiva. El contrario si es cierto, es decir, si la derivada es positiva segro qe es estríctamente creciente. estríctamente decreciente la derivada en ese pnto es negativa. El contrario si es cierto, es decir, si la derivada es negativa segro qe es estríctamente decreciente. En resmen : f '( > estríctamente creciente f '( < estríctamente decreciente f '( = No se sabe Qé acer en el caso de qe la derivada sea cero? Podemos dar valores próimos al pnto y ver lo qe ace la fnción. Máimos y mínimos de na fnción Se dice qe na fnción tiene n máimo relativo en n pnto cando eiste n entorno del pnto tal qe se verifíca qe : f( -<f( >f( +. Es decir a la izqierda es creciente y a la dereca decreciente. Se dice qe na fnción tiene n mínimo relativo en n pnto cando eiste n entorno del pnto tal qe se verifíca qe : f( ->f( <f( +. Es decir a la izqierda decreciente y a la dereca creciente.

8 La condición necesaria para qe aya n máimo o n mínimo es qe la derivada de la fnción en ese pnto valga. Esto es lógico pes si no sería estríctamente creciente o estríctamente decreciente. En el caso del máimo si a la izqierda es creciente ( derivada primera positiva y a la dereca decreciente ( derivada primera negativa entonces : f '( + f '( f '( + f '( + f ''( = lim = lim = lim Por la izqierda < y f '( - > lego f ''( < Por la dereca > y f '( + < lego f ''( < Por lo tanto cando ay n máimo f ''( < Si acemos lo mismo para el mínimo obtendremos qe la f ''( > En resmen : f ''( > Mínimo f' '( < Máimo f ''( = No se sabe Pero qe ocrre si f ''( =? Pede qe sea máimo, mínimo o ningno de las dos. Debemos de dar valores a la dereca y a la izqierda del pnto y ver qe ace la fnción, o podemos dar valores a la dereca y a la izaierda del pnto para ver qe ace la derivada de la fnción. Concavidad y conveidad : Se dice qe na fnción ese cóncava en n pnto cando la fnción derivada en n entorno de ese pnto es creciente es decir : Una fnción se dice qe es cóncava cando al amentar la amenta la y',es decir: - < < + f '( - f '( f '( + Si sstitimos en la definición de derivada segnda obtenemos para la dereca e izqierda qe : f '( + f '( Por lo tanto si la fnción es cóncava la derivada segnda es mayor o igal qe cero. Lo contrario no tiene por qé ser cierto. Una fnción se dice qe es convea cando al amentar la disminye la y',es decir: - < < + f '( - f '( f '( + Si sstitimos en la definición de derivada segnda obtenemos para la dereca e izqierda qe : f '( + f '( Por lo tanto si la fnción es convea la derivada segnda es menor o igal qe cero Lo contrario no tiene por qé ser cierto. Como ocrría con el crecimiento y decrecimiento, si la derivada segnda es positiva segro qe es cóncava, si es negativa segro qe es convea pero si es no se pede afirmar en principio nada.

9 f ''( > Cóncava f ''( < Convea f ''( = No se sabe Qé acer si la derivada segnda es? Pes debemos de estdiar en los alrededores del pnto a ver qe es lo qe ace la derivada primera. Pnto de infleión : Se dice qe tenemos n pnto de infleión cando la fnción pasa de cóncava a convea o al revés. La condición necesaria para qe aya n pnto de infleión es qe la derivada segnda sea. Esto es lógico pes si no sería cóncava o convea. Spongamos qe por la izqierda es cóncava y por la dereca es convea, entonces : f' '( + f ''( f ''( + f ''( + f '''( = lim = lim = lim Por la izqierda < y f ''( - > lego f '''( < Por la dereca > y f ''( + < lego f '''( < Por lo tanto f '''( < Si por la izqierda es convea y por la dereca cóncava : Por la izqierda < y f ''( - < lego f '''( > Por la dereca > y f ''( + > lego f '''( > Por lo tanto f '''( > En resmen si f '''( ay n pnto de infleión ya qe pasará de cóncava a convea o al revés. En resmen : f '''( Pnto de infleión f '''( = No se sabe Pero qe ocrre si f '''( =? Pede qe sea pnto de infleión o no. Para averigarlo debemos ver como varía la derivada segnda en los alrededores del pnto. Representación gráfica de fnciones :. Dominio. Pntos de corte con los ejes 3. Simetrías 4. Asíntotas 5. Crecimiento y decrecimiento 6. Máimos y mínimos 7. Concavidad y conveidad 8. Pntos de infleión