Ecuaciones diferenciales homogéneas

Transcripción

1 Ecaciones dierenciales homogéneas Eisten algnas ecaciones dierenciales qe al hacer n cambio de variable adecado se redcen a ecaciones en variables separadas. Antes de estdiar las ecaciones dierenciales homogéneas es necesario deinir lo qe es na nción homogénea. Deinición de nción homogénea: Una nción todo, D. : D IR n IR se dice homogénea de grado n si,, para todo 0 Ejemplos: La nción, es homogénea de grado. Las nciones, e,,,, son homogéneas de grado 0. Las nciones,,,,, son homogéneas de grado., Ejemplo. Determine si la nción es homogénea Solción:, Por lo tanto,, grado de ahí qe La nción, es Homogénea de Ejemplo. Determine si la nción es homogénea:,

2 Solción: 0 0, Por lo tanto,,, es Homogénea de grado 0 La nción Ejemplo 4: Determinar si la nción es homogénea para:,. es na nción 0 Solcion:, por tanto,, Homogénea de grado 0. Ejemplo 5. Determinar si la nción es homogénea para:, Solcion: Probamos,,,, tenemos qe Para qe na epresión peda ser na nción homogénea esta tiene qe tener el mismo grado en el nmerador como en el denominador, por lo tanto podemos decir qe esta ecación NO ES HOMOGÉNEA. como ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Una EDO es homogénea si se pede llegar a escribir de algna de las ormas sigientes: Homogénea de calqier grado,, con,, nción g,, nciones homogéneas del mismo grado Deinición: Una ecación dierencial ordinaria de primer orden,,, orden cero. es homogénea si la nción, es homogénea de Observación: si la ecación dierencial está escrita en la orma M, d N, d 0 sólo sí los coeicientes M, N, son nciones homogéneos del mismo grado. sería homogénea sí

3 Algoritmo de Solción para na ecación dierencial ordinaria (EDO). Comprobar qe la EDO es homogénea. Proponemos : Z( ) por lo qe tenemos: z z z lo qe eqivale a d z d dz. Sstitimos en la EDO,(Nos qedará na EDO Separable), 4. Resolvemos para Z() 5. Restitimos para Y() Ejemplo. Resolver: Solción: Sigiendo el algoritmo de solción: Paso. ) EDO homogénea de grado 0 Paso. ) Proponemos: Z( ) por lo qe tenemos: z z z d zd dz Paso. ) Sstitimos en la EDO: z z z z z z z z z z z z z z z z Paso. 4) Resolvemos para Z(): dz d - C z sstitimos z tenemos: z C Paso. 5). Sstitimos para para Y(): - C Ejemplo. Resolver: d - - d 0 Solción:

4 Paso.) comprobamos qe es na Ecación Homogénea porqe tenemos de la ecación d - - d g, 0 : Paso. ) Sstitimos: Z( ) por lo qe tenemos: z z z d zd dz Paso.) d - - d 0 zd - - zzd Xdz 0 X d ZX d - XZ d - X dz XZ d X d Z d - Z d - Xdz Z d XZdz 0 d - Xdz Z d XZdz 0 ( Z )d X dz Z - Zdz 0 0 Z d - Z d Z - X ( Z dz ) d Mltiplicamos por Paso.4) Z - dz ( Z ) d z qe es eqivalente a: tan z C Paso. 5) tan z C Teorema: Si la ecación dierencial ordinaria de primer orden,, es homogénea, entonces el cambio de variable la redce a na ecación dierencial en variables separadas. Demostración: Al hacer la sstitción obtenemos,. Pero como,, es na nción homogénea de grado cero d d d d 0 tenemos qe, de donde:, d d. Note qe 0, solción singlar de la ecación dierencial dada la cal es separable, como se qería. es na Ejemplo: Reselva la ecación dierencial d d 0

5 . Solción: La ecación dierencial es homogénea pes M,, N son homogéneas de grado dos Haciendo la sstitción M t,t t t t ( ) t M, N t,t tt t t N, d d d d d 0 d d 0 0 de donde d d 0 Integrando volviendo a las variables obtenemos Ln 4 C 4 C Observación: Cando la ecación dierencial homogénea está escrita en la orma M, d N, d 0 conviene más rescribirla en la orma d M, d N, aplicar aqí el cambio de variable. Ejemplo: Reselva la ecación dierencial. Factorizando tenemos: Integrando alcanzamos: Haciendo la sstitción, d Arc sen C Y despejando tenemos: arc sen c Sen c d Observación: al dividir por el actor - se pdo haber perdido algnas solciones, pero 0 no es solción 0 qe son solciones singlares ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA CASI HOMOGÉNEA Una EDO es casi homogénea si se presenta de la sigiente manera, cd g, kd 0 siendo c k constantes. Por lo qe se propone: c v c

6 Ejemplo. Resolver: - - d 4-6 d 0 Solción: Tal como se Propso: c v c c v c v c c Sstitimos en, g, : c 4 v c 6 4v c 4c 6 Resolvemos el sigiente sistema de ecaciones: c c 0 al solcionar se obtiene: c 4c 6 0 c ; c d d; v d dv Segimos los pasos para na EDO homogénea: Paso.) Al sstitir en la EDO: vd 4vdv 0 es na EDO homogénea de grado Paso.) Proponemos: v Z( ) por lo qe tenemos: v z v z z dv zd dz Paso.) Sstitimos en la EDO: zd 4zzd dz - zd 4zzd dz d zd zd dz 4z d 4zdz 0 d dz 4z d 4zdz 0 4z d 4zdz 0 4zdz 4z 0 0 4z dz d 4z d Paso.4) Resolvemos para Z(): 4z dz 4z d 4z arctan z v v 4 arctan C C

7 Paso.5) Sstitimos para Y(): restitir - ; v - tenemos: arctan - - C A manera de resmen: Ecaciones dierenciales homogéneas: a partir de la sigiente ED: M, d N, d 0 (Forma básica) decimos qe la ED es homogénea si M N tienen el mismo grado., e homogénea. Ha dos ormas de obtenre el grado en na ED. n n n Inspección,, Ejemplo de inspección:, Por tanto la ecación es de grado tres. Sma de los eponentes por cada término. Se deben tener en centa las propiedades de los eponentes. d d 0 M Sacamos los valores M N: N grado grado Por lo tanto es homogénea. En resmen podemos decir qe los pasos a segir son: Veriicar si es homogénea con calqiera de los dos métodos: inspección o sma de eponentes. Hacer la sstitción de variables. Factorizar si ha términos igales, eliminarlos Aplicar el método por variables separadas Integrar.

8 Ejercicios. Determine cáles de las sigientes nciones son homogéneas. En caso de qe lo sean determine el grado de homogeneidad. a., sen b.,, 5 d.,. Reselva cada na de las sigientes ecaciones dierenciales c. a. d 0 b. c. sen e. d d 0 d. 4 4 d d 0 g. d - d 0. d d 0