1 Composición de funciones

Transcripción

1 Composición de fnciones La composición de fnciones o la fnción de fnción es na operación qe aparece natralmente en varias sitaciones. En esta nota, presentaremos (sin demostración) algnos de los resltados más importantes relacionados con esta operación. Mostraremos también como se aplican estos resltados resolviendo varios ejercicios.. Definición y propiedades Consideremos la fnción f() = + 2 qe está definida para todos lo números reales. Spongamos qe qeremos calclar f(2), por ejemplo. Como todos sabemos, tenemos qe proceder por pasos: ) calclamos el cadrado de dos, 2 2 =, 2) al resltado le smamos no, + = 5, 3) al resltado le tomamos la raíz cadrada, 5. Podemos interpretar este procedimiento de la sigiente manera: la fnción f() = + 2 reslta de la aplicación scesiva de las sigientes fnciones elevar al cadrado 2 smar no 2 + tomar raíz cadrada 2 +. Si llamamos - a la fnción de elevar al cadrado; es decir, () = 2, - h a la fnción de smar no; es decir, h() = +, - g a la fnción de tomar raíz cadrada; es decir, g() =, entonces, podemos escribir elevar al cadrado 2 smar no 2 + () h h(()) tomar raíz cadrada g g(h(())). 2 + La operación de aplicar scesivamente dos o más fnciones en n orden determinado da origen a otra fnción llamada composición de las fnciones intervinientes. Del ejemplo anterior, nos damos centa qe son necesarias algnas condiciones para poder calclar g(h(())): - debe perternecer al dominio de, - () debe pertenecer al dominio de h, - h(()) debe pertenecer al domino de g. Todas estas consideraciones las formalizaremos en la sigiente definición: Sean dos fnciones f : A R y g : B R, tales qe Im f B. Llamaremos composición de f con g a la fnción, denotada (g f), qe se obtiene por la aplicación scesiva de f y g en ese orden. Es decir, (g f)() = g(f()).

2 Figra : Esqema qe representa la composición g f. Ejemplo. Consideremos las fnciones f() = 2 y g() = 3. Sabemos qe Dom f = { R : 2 0} = { R : 2} = (, 2], Dom g = { R : 3 0} = { R : } = [, ). Entonces, tilizando la definición anterior, tendremos y s dominio será (g f)() = g(f()) = g( 2 ) = ( 2 ) 3 Dom (g f) = { Dom f : 2 Dom g} = { (, 2] : 2 [, )} = { (, 2] : 2 } = { (, 2] : } = (, ]. Ejercicio. Razonando de la misma manera, compreben los resltados qe se presentan en la sigiente tabla. f g g f Dom (g f) f g Dom (f g) R {} 2 (, ] [, ) R {, 2} R {0} [0, ) R {0, } e ln ln( e ) (, 0) (0, ) e e [0, ) e 2 R sin ( sin ) R {0} sin { R : nπ; n Z} Los resltados obtenidos en el ejercicio anterior, ponen en evidencia qe, la composición de fnciones, verifica las sigientes propiedades: Algnas ideas tilizadas en esta nota feron tomadas del libro Cálclo diferencial de los profesores Búcari-Langoni- Vallejo ( de cátedra). Si bien, en este libro, el orden de eposición de los temas es my diferente al orden clásico, contiene ejemplos my interesantes y na bena selección de ejercicios. 2

3 La composición de fnciones es asociativa; es decir h (g f) = (h g) f. La composición de fnciones, en general, no es conmtativa; es decir (g f) (f g). Ejemplo 2. Sean f, g y h las fnciones definidas como sige: f() = 2 + para todo, g() = { para < 0 2 para 0, h() = + para todo. Qeremos hallar na fórmla para evalar (g f) y (g h). Observemos qe todas las fnciones están definidas para todos los reales. Tendremos { { 2 + si 2 + < 0 si < 0 (g f)() = g(f()) = g(2 + ) = (2 + ) 2 si = 9 2 si 0, (g h)() = g(h()) = g( + ) = { { + si + < 0 + si < ( + ) 2 si + 0 = ( + ) 2 si. Ejercicio 2. Consideren nevamente las fnciones f, g y h definidas en el ejemplo anterior. Razonando como lo hicimos en el Ejemplo 2, compreben qe { si < 0 a) (f g)() = 3 2 si 0, { + si < 0 b) (h g)() = 2 + si 0, { si < 0 c) (g g)() = si 0..2 Límite de na composición de fnciones Hemos aprendido a constrir na fnción a partir de la composición de dos o más fnciones dadas; la idea fe simple: aplicar estas fnciones en forma scesiva sigiendo n orden determinado. Nos ocparemos ahora de establecer na regla para el límite de la composición. Sean dos fnciones f : A R y g : B R, tales qe Im f B. Si a f() = b y g es contina en b, entonces (g f)() = g(f()) = g( f()) = g(b). a a a Como consecencia del resltado anterior, tendremos Si f es contina en a y g es contina en f(a), entonces (g f) es contina en a. En particlar, si g es contina en el conjnto Im f, entonces, (g f) será contina en todo pnto de A en el qe f sea contina. Más en particlar, la composición de fnciones continas, es na fnción contina. 3

4 Ejemplo 3. Consideremos la fnción f() =. Es claro qe está definida para todos los reales. Podemos pensarla como las aplicaciones scesivas restar tomar módlo () h h(()) tomar la raíz cadrada g g(h(())). Qeremos analizar la continidad de f en 0 = 3. Entonces, tendremos - () = es na fnción contina en 0 = 3; es n polinomio, - h() = es contina en 0 = ( 0 ) = ( 3) = ; la fnción módlo es contina en R, - g(h) = h es contina en h 0 = h( 0 ) = h( ) = ; la fnción raíz cadrada es contina en (0, ). Lego, f() = (g h )() = g(h(())) = es contina en 0 = 3. Además, = = = = Ejercicio 3. Mestre qe la fnción f() = es contina en R. Ejercicio. Analizando la continidad de las fnciones intervinientes, calclar a) 0 e 3+( ) 2 ( b) ln + cos2 π 2 c) 0 + sin d) ) Spongamos qe a () = b y g es contina en b. Entonces, también podemos escribir (g )() = g(()) = g( ()) = g(b) = g(). a a b b Este resltado indica na manera práctica de calclar límites; se conoce como técnica de sstitción. Ejemplo. Qeremos hallar el límite cando π 2 de la fnción g() = tan π + cos2. Llamando () = π + cos2, tendremos () = π 2 π 2 π + cos2 Lego, como la fnción tan es contina para todo ( π 2, π 2 ), π 2 g() = tan π 2 π + cos2 = π = π tan = tan π =. Podríamos sar esta técnica de sstitción cando la fnción g no es contina en (a) = b?. La respesta a esta pregnta se encentra en na propiedad, llamada de Convergencia propia, qe es n poco delicada de aplicar. Sin embargo, si g pertenece a cierto conjnto de fnciones, podemos constrir, a partir de g, na fnción qe sea contina en (a) = b y qe nos permitirá encontrar el límite qe bscamos. Spongamos qe la fnción g verifica las sigientes condiciones:

5 - es contina en n entorno redcido de (a) = b, - no está definida en b porqe el reemplazo directo de por b en la fórmla qe la define nos condciría a na epresión carente de sentido, - tiene límite cando b. En este caso (g tiene na discontinidad evitable en = b), consideremos la fnción { g() si b, g() = g() si = b, b qe, por constrcción, tiene las sigiente propiedades - toma los mismos valores qe g() en n entorno redcido de b, - es contina en b. Entonces, tendremos (g )() = g(()) = g(()) = g( ()) = g(b) = g(). a a a a b sin( π) Ejemplo 5. Qeremos hallar el. Entonces, consideremos las fnciones () = π y π π g() = sin. Cando π, se tiene qe 0. Como la fnción g verifica todas las condiciones pedidas en n entorno de = 0 (verifíqenlo como ejercicio), tendremos sin( π) sin = π π 0 =. 6 Ejemplo 6. Qeremos hallar el 3. Considerando las fnciones () = 3 y g() =, vemos qe (g )() = 6 3. Ahora, cando, se tiene qe y, como la fnción g verifica todas las condiciones pedidas en n entorno de = (verifíqenlo como ejercicio), tendremos 6 3 = = + = 2. sin Ejemplo 7. Qeremos hallar el. Llamando () = cos 0 para todo, tendremos, 0 cos sin = sin 2 = cos 2 = ( ) 2 = 2 2, sin = =. cos Llamando g() = entorno a derecha de = 0 (verifíqenlo como ejercicio). Entonces, 2 2, comprobamos qe la fnción g verifica todas las condiciones pedidas en n 0 sin 2 2 = = 2 = 2. cos Ejercicio 5. Utilicen la técnica de sstitción para calclar el valor de L. 5

6 sin 5 sin 3 a) L = 0 sin 5 b) L = 0 sin 3 Rta.: L = 2 Rta.: L = 5 3 c) L = 0 sin Rta.: L = 9 5 e 2 d) L = 0 e d) L = 0 sin 2 Rta.: L = 0 Rta.: L = 2 Observación importante. Hay qe cheqear siempre qe se verifiqen las condiciones sobre g; de lo contrario, la regla de sstitción pede condcirnos a n resltado incorrecto. En el sigiente cadro se mestra n ejemplo de esto. Sea g() = { para 2 para = ; no es contina en = pero g() =. a) Sea () = +. En este caso, g(()) = g( { { + para + + ) = 2 para + para 0 + = = 2 para = 0 y, por lo tanto, tendremos (g )() = + =. 0 0 Por otro lado, como 0 () =, y g() =, se verifica (g )() = g(). 0 b) Sea () = { 0 =. En este caso, también () =, pero 0 y, por lo tanto, tendremos (g )() = g(()) = g() = 2. (g )() = 2 g(). 0 En ambos ejemplos, la fnción g() tiene na discontinidad evitable en =. Si la reemplazamos por { g() = = =, obtendríamos - el resltado correcto en el caso a), - el resltado incorrecto en el caso b). Por qé tenemos este problema? Porqe, en este ejemplo, no se satisface la segnda condición: g() está definida en = y, por lo tanto, no podemos garantizar (sin hacer n análisis más delicado) qe el so de la técnica de sstitción nos condzca al resltado correcto. 6

7 .3 Derivada de na composición de fnciones El resltado qe ennciaremos a continación se conoce como regla de la cadena. Sean dos fnciones f : A R y g : B R, tales qe Im f B. Si f es derivable en a y g es derivable en f(a), entonces (g f) es derivable en a y se verifica (g f) (a) = g (f(a))f (a). Ejemplo 8. Qeremos calclar la derivada de la fnción h() = sin(2 3 ) en n pnto 0 calqiera. Observemos primero qe - h() pede pensarse como la composición de f() = 2 3 con g() = sin, - como f y g son derivables en R, entonces, h será derivable en R. Sea 0 n número real calqiera. Usando la regla de la cadena, tendremos h ( 0 ) = (g f) ( 0 ) = cos( )(6 2 0 ). En la práctica, la aplicación de la regla de la cadena es n procedimiento qe consta de los sigientes pasos: a) se identifican las fnciones qe intervienen en la composición, desde el eterior al interior de la epresión; en el ejemplo anterior: fnción eterior { }} { h() = sin( 2 3 }{{} ) fnción interior b) se deriva la fnción eterior tratando a la fnción interior como si fera la variable independiente: cos(2 3 ) c) se mltiplica al resltado anterior por la derivada de la fnción interior: cos(2 3 )(6 2 ). Ejercicio 6. Escriban a la fnción h como na composición de fnciones (identifiqen a la fnción interior y a la fnción eterior e indiqen los dominios de derivabilidad de cada na de ellas); lego encentren s derivada tilizando la regla de la cadena. a) h() = 3 Rta.: h () = 32 2, (, ) 3 ( b) h() = + ) 3/2 Rta.: h () = 3 + 2( ) /2 ( ) 2, (0, ) c) h() = e (+2 ) Rta.: h () = 2e (+2), R d) h() = ln(cosh ) Rta.: h () = tanh, R e) h() = cos( e ) Rta.: h () = sin( e )e, R ( ) 2 f) h() = Rta.: h ( ) () = + ( + ) 3, R { } Ejercicio 7. Spongan qe f() > 0 y derivable para todo número real. Compreben qe (ln(f())) = f () f(). Ejercicio 8. Spongan qe f() es derivable en todo s dominio. Compreben qe (e f() ) = f ()e f(). 7