MÉTODO MATRICIAL. La expresión que relaciona las fuerzas con los desplazamientos es de la forma: F=KU

Transcripción

1 MÉTODO MATRICIA Introdcción Utiliaremos el ejemplo de la figra como referencia para la exposición del Método Matricial. Anqe se trata de n caso bidimensional (D), es sficiente para la explicación de los fndamentos del método. Al final del tema se expondrán las pecliaridades del caso tridimensional (D). En los recadros aparecen nmerados los ndos (pntos de nión de dos o más barras). Y en cada ndo los tres grados de libertad correspondientes al plano. os grados de libertad peden referirse a desplaamientos giros, o bien a feras momentos. A efectos de simplificar el lengaje la notación, en adelante diremos desplaamientos, entendiendo desplaamientos o giros indistintamente, feras, entendiendo feras o momentos indistintamente. Tanto los desplaamientos como las feras en los ndos, están referidos a los ejes X-Y (coordenadas globales). a expresión qe relaciona las feras con los desplaamientos es de la forma: =KU donde K es la matri de rigide del sistema. El objetivo final del método es llegar a conocer todos los desplaamientos, en fnción de los mismos, las solicitaciones en los extremos de cada barra. Y X Y X.

2 Para cada barra, consideraremos nos ejes X -Y (coordenadas locales). a relación entre las feras los desplaamientos en los extremos de cada barra es de la forma: =K U donde K es la matri de rigide de la barra en coordenadas locales. Posteriormente habrá qe ensamblar barras; es decir, componer la estrctra a partir de ss barras. Para ello es necesario qe todas las feras todos los desplaamientos estén referidos a n mismo sistema de ejes. Para ello, na ve calclada la matri de rigide de cada barra en coordenadas locales, hemos de realiar na rotación para referir dicha matri a coordenadas globales. De igal forma, las feras los desplaamientos han de qedar referidos a coordenadas globales. En cada ndo se han de cmplir las condiciones de eqilibrio; para ello, la fera total en el ndo ha de ser la sma de las feras qe actúan sobre cada na de las barras qe concrren en él. También se han de cmplir las condiciones de compatibilidad, por lo qe el desplaamiento del ndo debe ser único, e igal al desplaamiento en ese pnto de cada na de las barras concrrentes. Matri de rigide de na barra en coordenadas locales os términos de la matri K son los coeficientes de rigide k ij, qe relacionan la fera aplicada según el grado de libertad i con el desplaamiento según el grado de libertad j, en el spesto de qe los desplaamientos en los grados de libertad j sean nlos. Así: f i = k ij j expresa la fera qe se prodce en el grado de libertad i cando realiamos n desplaamiento nitario según el grado de libertad j. Veámoslo sobre la barra de la figra, en la qe consideramos los seis grados de libertad posibles: Y X Consideremos j=, prodciendo n desplaamiento nidad según el eje X en el extremo iqierdo de la barra, j =. a barra experimenta n acortamiento, con lo qe aparecen nas feras de compresión.

3 = f = k f Para dedcir k, de la le de Hooke: EA = ; = ; EA EA k = De la expresión f = k, considerando qe es en donde se prodce el desplaamiento, reslta: k = EA en concordancia con el criterio de signos elegido. El resto de las k i serán cero. Considerando ahora el grado de libertad (j =): j =, = = En la figra se pede apreciar como se deformaría la barra, apareciendo nos momentos asociados la deformación, qe son fácilmente calclables mediante las fórmlas de deformaciones en vigas. De: M EI = para =, reslta:

4 M = k M = k EI EI k = k = Con sólo esos momentos la barra no está en eqilibrio. Considerando los demás grados de libertad, aparece n par qe ha de eqilibrar a los momentos. f = k f = k T M EI = = de donde: EI EI k = k = Considerando grado de libertad j=: = Con esta deformada se prodcen nos momentos en los extremos: M A M B

5 Mediante las fórmlas de deformaciones en vigas: EI M A = EI M B = Y comparando con la notación empleada para el método matricial: M = k M = k Reslta: EI k = EI k = Igal qe en el caso anterior, vemos qe no es na sitación de eqilibrio. Considerando los demás grados de libertad: De las expresiones de los momentos: con lo cal, el valor de cada fera es: de donde: f = k f = k EI EI M = M T = EI k = k =

6 Como pede apreciarse, el término k es igal al k, calclado antes. Esto es consecencia de la simetría de la matri K (teorema de reciprocidad). as consideraciones para el grado de libertad son igales qe las del, excepto en los signos: = f = k f = k resltando: EA k = k = EA El grado de libertad es similar al, con la sigiente deformada: = Y el es análogo al : = inaliado el análisis de los grados de libertad de la barra considerada, reslta:

7 K AE = AE EI EI EI EI EI EI EI EI AE AE EI EI EI EI EI EI EI EI De la simple inspección de esta matri se pede apreciar qe es singlar de grado. as feras del vector no son independientes; por la forma en qe se han obtenido, están relacionadas por las condiciones de eqilibrio en el plano. a barra considerada carece de ligadras externas, por lo qe será posible fijar arbitrariamente de los términos de U (por ejemplo, los desplaamientos en n extremo), por lo qe U, además de contener los desplaamientos relativos entre los dos extremos de la barra, incle n desplaamiento de sólido rígido de la misma. os inconvenientes qe pdieran derivarse de estas circnstancias, qedarán reseltos como veremos más adelante. Rotación a ejes globales De la rotación de ejes en coordenadas cartesianas: Y Y X θ X = cos θ + senθ = senθ + cosθ =

8 Matricialmente: = cos cos sen sen θ θ θ θ Considerando los seis grados de libertad: la expresión completa de la rotación es: = cos cos cos cos sen sen sen sen θ θ θ θ θ θ θ θ ; Matri de rotación R De forma abreviada: U =RU, análogamente: =R Sstitendo estas expresiones en: =K U Reslta: R=K RU Premltiplicando esta expresión por R T, considerando qe: R T =R - (por ser el valor del determinante de la matri R), se verifica: R T R = R T K RU = R T K RU a relación entre feras desplaamientos en los extremos de la barra, en coordenadas globales es de la forma: = KU. Comparándola con la expresión obtenida, reslta finalmente: X Y

9 K = R T K R. donde K es la matri de rigide de la barra considerada, expresada en coordenadas globales. Nótese qe la rotación de ejes no modifica el carácter singlar de la matri de rigide. Ensamblaje de barras Una ve obtenida la matri de rigide de cada barra en coordenadas globales habrá qe proceder a la operación de ensamblaje de barras, hasta definir la estrctra a partir de las barras qe la componen. Para facilitar la comprensión del método, comenaremos por ensamblar dos barras. Consideremos las barras - -, representadas en la figra. En el ndo, común a ambas, el desplaamiento es único:,,. as feras qe aparecen en el ndo como consecencia de dicho desplaamiento son las qe han de deformar la barra - más las qe han de deformar la - (de acerdo con la idea del método, recordemos: sponiendo nlos los desplaamientos en los ndos ). Para la barra -, de matri de rigide K, dichas feras vienen definidas por la sbmatri de filas,, colmnas,, (prodcto de dicha sbmatri de K por el vector:,, ). Análogamente, para la barra -, de matri de rigide K, las feras correspondientes vienen definidas por la sbmatri de filas,, colmnas,, de la matri K. Para expresar las feras,, en el conjnto de ambas barras, bastará smar los términos comnes a las dos sbmatrices anteriores (ona cadriclada en la figra). Qeda así definida na matri de orden qe relaciona los desplaamientos según los grados de libertad del conjnto con las feras correspondientes. Dicha matri es la matri de rigide del conjnto de las dos barras. = K K

10 A efectos de terminología, a la operación de sperponer matrices smar los términos qe ocpan lgares comnes, la llamaremos ensamblaje de matrices. Nótese qe las sbmatrices nlas qe resltan en el ensamblaje del caso expesto, tienen el significado de qe los desplaamientos en el ndo no generan feras en el viceversa. a operación de ensamblaje no ha reselto el problema de la singlaridad de K, citado en apartados anteriores. Por la forma de proceder, reslta qe al combinar las dos matrices no se ha dplicado el grado de singlaridad. a matri ensamblada sige siendo singlar de grado. Matri de Rigide completa de la estrctra A efectos de generaliar el procedimiento, se expone a continación el ensamblaje de barras en el ejemplo de referencia planteado al principio del tema. Y X Y X

11 =,,,,, Matri de Rigide completa de la estrctra A esta matri de rigide la llamamos completa a qe se refiere a todos los ndos qe forman parte de la estrctra. Matri redcida. Cálclo de las incógnitas En los ndos, son dato las feras e incógnita los desplaamientos, mientras qe en los ndos los datos son los desplaamientos (cero en caso de empotramiento perfecto, o valores especificados si se prodce, por ejemplo, n asiento en la sstentación) las incógnitas las feras (reacciones). Se pede hacer na partición en la matri, de la forma: donde los órdenes de las sbmatrices son: x x x x = II I II II I II II I I I II I U U K K K K,,,, datos incógnitas incógnitas datos

12 (entiéndase qe son órdenes con referencia a los ndos; a s ve, cada término es na sbmatri de x) Desarrollando la primera fila de la expresión matricial: I = K I,I U I + K I,II U II De esta expresión todo es conocido salvo U I, qe se pede despejar, a qe K I,I es invertible, al no ser singlar. A esta matri K I,I la denominaremos matri redcida de la estrctra. Una ve conocida U I, se pede calclar II : U I = K I,I - ( I -K I,II U II ) II = K II,I U I + K I,II U II Así, a son conocidos todos los términos de de U. a inversión de la matri redcida ha sido posible gracias a qe procede de sprimir algnas filas colmnas de la matri completa, desapareciendo así la singlaridad qe veníamos arrastrando desde el principio. a spresión de filas colmnas se corresponde con la aplicación de ligadras externas, qe inmovilian la estrctra. Observemos qe, como la singlaridad era de grado, ésta desaparece sprimiendo al menos filas colmnas; es decir, aplicando a la estrctra na sstentación qe sea al menos isostática. Generaliación: orma general de obtención de la matri redcida. Condiciones de contorno (En los ejemplos qe sigen, los grados de libertad se nmeran:,,, únicamente a efectos de simplificación. Entiéndase qe s nmeración sería la qe les correspondiera en la nmeración general de la estrctra). En el ejemplo de referencia se ha spesto empotramiento en los ndos. Spongamos ahora na sstentación con apoo fijo. Ahora f f son incógnitas f sería dato. De no existir momento aplicado en el extremo de la barra, consideraríamos f =. En canto a los desplaamientos, = = (o dato) incógnita. a separación en sbmatrices a no sería posible igal qe en el ejemplo de referencia. o mismo scedería si, en dicho ejemplo, en la nmeración de los ndos no hbiéramos dejado los empotramientos en último lgar.

13 Tratar de bscar na nmeración de g.d.l. qe permita la separación en sbmatrices como en el ejemplo anterior, resltaría engorroso, tanto más en el caso de estrctras más complejas. Notemos qe la matri redcida no tiene por qé ser na sbmatri en el sentido de partición de la matri completa. De forma más general, pede obtenerse sprimiendo las filas colmnas qe corresponden a las feras incógnita desplaamientos dato. Se obtiene la misma sbmatri qe resltaría de nmerar los g.d.l. de la forma antes indicada, pero sin llegar a hacerlo. Para el caso del apoo fijo, eliminaríamos las filas colmnas correspondientes a los grados de libertad, mantendríamos las correspondientes al grado de libertad. Análogamente, para el caso de n apoo móvil: Datos:, f, f Incógnitas:,, f Eliminaríamos la fila la colmna correspondientes al g.d.l.. Si son dos las barras qe concrren en n apoo, los giros en las mismas son, en general, distintos, reqiriendo dos g.d.l. independientes. Datos:,, f, f Incógnitas: f, f,, Eliminaríamos la filas las colmnas correspondientes a los g.d.l.. Si las dos barras están nidas rígidamente entre sí, es el conjnto de ambas el qe se ne al apoo, ambas tendrán el mismo giro. Sólo ha qe considerar n g.d.l. para el giro. En el caso de na articlación interna también son dos los g.d.l. de giro a considerar Incógnitas:,,,

14 Algnos casos más:

15 Como ejemplo de lo expesto: Incógnitas. Tras eliminar las filas colmnas correspondientes a los desplaamientos dato (feras incógnita) reslta n sistema de ecaciones qe permite determinar los desplaamientos incógnita. inalmente, el cálclo de las feras incógnita pede hacerse con: = f f f f f f f f f

16 f f f f = K I,I K I,II U I U D donde, sb-d: datos, sb-i: incógnitas. De forma abreviada: D =K I,I U I + K I,II U D Nótese qe la reordenación de filas colmnas, la partición efectadas son innecesarias. Bastaría efectar: =K U con la matri completa, anqe algnas de las f i así calcladas feran dato. Smandos del vector Hasta el momento se ha spesto implícitamente qe todas las feras actúan sobre los ndos de la estrctra; no obstante, las feras peden actar también a lo largo de las barras, bien como cargas pntales o como cargas repartidas. Notemos también qe la sitación inicial spesta para la estrctra es con los ndos sin giros ni desplaamientos, hallando despés el sistema de éstos qe consige el eqilibrio de la estrctra. Consideremos la barra de la figra, entre dos ndos qe sponemos sin giro ni desplaamiento, sometida a nas cargas:

17 as condiciones son las mismas de na barra biempotrada, en la qe aparecen además nas reacciones de empotramiento: B lamando B al sistema de feras qe actúan sobre no de los extremos de la barra, en el ndo correspondiente actará el sistema: B. - B Se ha pesto el sbíndice para señalar qe dichas feras se obtienen habitalmente en las coordenadas locales de la barra; transformadas a coordenadas globales serían B. Por otra parte, sobre el ndo pede actar además n sistema de feras externo N. En total, las feras a considerar en el ndo serían: = N - B os dos smandos representan las feras qe llegan al ndo directamente: N, más las feras qe llegan al ndo a través de la barra: - B. Solicitaciones en los extremos de las barras Una ve obtenidos los desplaamientos en los ndos, por tanto, en los extremos de las barras, la relación =KU entre feras desplaamientos en los extremos de cada barra proporciona las feras debidas a dichos desplaamientos en coordenadas globales, siendo K la matri de rigide global de la barra considerada. Para qe dichas feras coincidan con las solicitaciones (esfero normal, esfero cortante momento flector) deben venir expresadas en coordenadas locales. Recordando qe: =R, sstitendo la expresión anterior: =RKU También pede hacerse primero el cambio de los desplaamientos a coordenadas locales: U =RU, sstitir despés en: = K U, resltando: = K R U

18 Por spesto, las dos expresiones obtenidas son idénticas. Recérdese qe: K = R T K R qe: R T R = RR T = I. Veamos de forma más detallada la correspondencia entre los resltados del método matricial las solicitaciones provocadas en los extremos de la barra por los desplaamientos de los ndos. Y X f = - N x f = N x f = - T f = T f = - M f =M A las solicitaciones anteriores, debidas únicamente a los desplaamientos, hemos de sperponer las prodcidas en la sitación inicial, cando se hio el spesto de ndos sin desplaamiento; es decir, de barras biempotradas: B. En total: = K R U + B Debe prestarse especial atención al criterio de signos antes expesto; es decir, los signos negativos del extremo primero de la barra. Nmeración de ndos El orden en qe se nmeren los ndos tiene inflencia en el tiempo de comptación para la inversión de la matri, qe pede ser importante en el caso de estrctras con mchos ndos. Se define el ancho de banda de na matri como el número de diagonales paralelas a la diagonal principal, inclida ésta, en las qe no son ceros todos ss elementos. El tiempo necesario para la inversión es menor canto más peqeño sea el ancho de banda.

19 Veamos en n ejemplo el ancho de banda qe reslta para distintas nmeraciones de ndos: Nmeración I Ancho de banda

20 . Nmeración II

21 Nmeración III Ancho de banda Como se pede apreciar, la nmeración III es la mejor, a qe se obtiene n menor ancho de banda. El valor del ancho de banda para cada caso reslta: NUMERACIÓN ANCHO DE BANDA I II III a determinación de la nmeración óptima sólo es sencilla para estrctras simples. Para estrctras más complicadas es necesario el so de algoritmos específicos. Generalmente, los programas peden realiar esta parte del proceso de manera qe el sario introdca na nmeración, el programa emplee la sa propia (óptima) al final presente los resltados asociados a la nmeración definida por el sario.

22 Método matricial para estrctras articladas En general, en las estrctras articladas el giro de las barras no tiene interés, lo qe permite prescindir de los grados de libertad correspondientes a los giros, simplificando el procedimiento. Por lo demás, el desarrollo del método es análogo al segido para las estrctras reticladas. Ahora el número de grados de libertad de na barra es catro: Y X De la misma manera qe en las estrctras reticladas, plantearemos: =K U, donde la neva matri de rigide local es de la forma: K = EA EA EA EA a matri de rotación es: cosθ R = senθ senθ cosθ cosθ senθ senθ cosθ Matri de rotación R Esta matri se obtiene de misma la figra qe a se empleó para las estrctras reticladas.

23 a relación U =RU reslta: cosθ senθ = senθ cosθ cosθ senθ senθ cosθ os resltados a esperar serán los propios de este tipo de estrctras, es decir, las barras estarán sometidas únicamente a tracción o compresión. El vector local de feras será de la forma: = as expresiones qe relacionan las coordenadas locales globales de feras desplaamientos, así como el procedimiento de ensamblaje, la matri redcida el resto del método, son igales qe en las estrctras reticladas. Efectos térmicos errores de constrcción Para la formación del vector de cargas: = N - B Y recordando la hipótesis de desplaamientos iniciales nlos en los ndos: Incremento de temperatra: T = α T = EA = α T EA Esta fera la introdciremos en el término B

24 Error de constrcción: = = EA EA Esta fera también la sitaríamos en el término B Apoo elástico El efecto es similar al de sitar n melle en el apoo. Por ejemplo, es na manera de representar n selo qe no peda sponerse rígido. En el ejemplo de referencia, sponiendo apoos elásticos según los grados de libertad : Se peden segir distintos procedimientos. Posiblemente el más sencillo consiste en añadir n nevo ndo e interpretar el melle como na biela. Se pede apreciar el paralelismo: EA = (biela) = k (melle)

25 Un melle de constante elástica k se pede representar por na barra con valores E, A, adecados. a matri de rigide local del melle es: K = k k k k a constante elástica de n terreno se pede determinar mediante n ensao de carga, comparando el valor de P con el asiento δ prodcido. P = k δ = k P δ Método matricial D Para n caso tridimensional, el número de grados de libertad a considerar en cada ndo es : na traslación na rotación sobre cada na de las direcciones X, Y, Z. Corresponden, por tanto, grados de libertad en cada barra. Igal qe ocrría en el caso D, prodciendo n desplaamiento nidad sobre cada no de los grados de libertad, a la ve qe se impide el desplaamiento en los demás, se obtienen los términos de la matri de rigide de la barra. En la figra sigiente se esqematia el efecto de los desplaamientos nidad.

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27 a matri de rigide de la barra es: E I E I E I E I E I E I E I E I G I G I E I EI EI E I EI E I EI EA EA E I E I E I E I E I E I E I E I G I G I E I EI E I EI E I E I E I EI EA EA * * * * * I es el momento de inercia polar eqivalente. En secciones circlares: * I I = a matri de rotación en D es: R = cosγ cosγ cosγ cosβ cosβ cosβ cosα cosα cosα Z Y X X G Y G Z G B A

28 Notemos qe, tanto en D como en D, las expresiones de feras momentos tiliadas para el cálclo de los términos k ij sólo son aplicables cando los ejes Y-Z sobre la sección son los principales de inercia. En el ejemplo sigiente la estrctra articlada representada pdiera parecer plana, pero realmente es tridimensional. os ejes a considerar en la sección son los principales de inercia: Y X Z as articlaciones, qe aparecen como dos círclos, realmente son: Y Y Z X Z X

29 De acerdo con las figras anteriores, para considerar adecadamente las feras de ligadra, los ejes globales a considerar son: Y X Z