Magnitudes escalares, son aquellas que quedan definidas por una sola cantidad que denominaremos valor del escalar.

Transcripción

1 Fa: Vectores: Vamos a distingir dos tipos de magnitdes: Magnitdes escalares, son aqellas qe qedan definidas por na sola cantidad qe denominaremos valor del escalar. Ej: Si decimos qe la masa de n cerpo es de 3kg, definimos perfectamente la cantidad de masas de dicho cerpo. Magnitdes vectoriales, son aqellas qe tienen n módlo, na dirección n sentido. Ej: Si decimos qe n avión tiene na velocidad de 30m/s, no sabemos s dirección ni s sentido, así qe la información no es completa; lo sería si aclaramos, 30m/s en dirección N-S, sentido Sr. Es por esto, qe para epresar magnitdes vectoriales correctamente necesitamos na neva identidad matemática, qe es el vector. Un vector es n segmento orientado en el plano o en espacio. En nestro caso, nos centraremos en el plano bidimensional (D) para el nivel qe nos ocpa. Y nada mejor para representarlos gráficamente qe n sistema de coordenadas cartesianas. Por lo tanto, para representar n vector tilizaremos n segmento orientado, a modo de flecha, co módlo será s longitd, s dirección, la línea recta sobre la qe se asienta el segmento, el sentido el qe señala la pnta de flecha.

2 Fa: origen etremo Si desplazamos el pnto origen hasta el origen de coordenadas, A(0,0), el nevo vector es semejante al inicial, a qe tiene el mismo módlo, dirección sentido, serán las coordenadas de B las qe definan el vector. A este vector se le llamará AB, se definirá con ss componentes, qe serán los valores de s proección horizontal vertical, es decir, 3, de este modo AB 3, 3i +. ( ) j La primera forma de indicarlo, AB ( 3,) el origen está en el (0,0)., es como coordenadas del etremo si La segnda forma, AB 3 i + j, como la sma de dos vectores perpendiclares, no de módlo 3 en sentido positivo de las X el otro de módlo en sentido positivo del eje Y (los vectores i j reciben el nombre de vectores nitarios, es decir, de módlo 1, el primero sobre el eje OX el segndo sobre el eje OY). Vemos así en este otro ejemplo: + - +

3 Fa: Para calclar el módlo del vector AB 3 i + j (s longitd), podemos sar el teorema de Pitágoras, a qe sabemos canto mide s proección horizontal, 3, la vertical,, (qe serán los catetos), las cales describen n triánglo rectánglo para el cal s hipotensa es precisamente la longitd qe bscamos, s módlo: AB Otra forma de definirlos es con s módlo el ánglo qe forma con respecto a no de los ejes. Ej: V 5 formando n ánglo de 60º con el eje OX Para poder calclar ss componentes a partir de esta información, debemos hacer na peqeña incrsión en la trigonometría. Trigonometría: Spongamos qe tenemos na circnferencia de radio R1:

4 Fa: Definiremos tres razones fndamentales para el triánglo rectánglo formado por el radio, qe será la hipotensa de valor 1, el cateto horizontal el cateto vertical: Coseno del ánglo α: cosα OA hipotensa OA 1 OA Seno del ánglo α: AP AP sen α hipotensa 1 AP Tangente del ánglo α: AP tg α OA BQ Estas razones están tabladas, para los distintos valores de α, así podemos generalizar los valores de las componentes horizontal vertical si la hipotensa no vale 1, a qe serán triánglos semejantes sólo habrá qe mltiplicar por las dimensiones de la neva hipotensa: 0º 30º 45º 60º 90º 180º 70º 360º sin 0 1 / / 3/ cos 1 3/ / 1/ tag 0 3/

5 Fa: Y los signos de las razones según el cadrante donde nos encontremos: sin cos tag 1º Cadrante º Cadrante º Cadrante coseno seno 4º Cadrante tangente Retomemos el ejemplo anterior: V 5 formando n ánglo de 60º con el eje OX. V o 5 cos 60º 5 (1/).5 V 0 5 sen 60º 5 ( 3/) 4.33 V (.5,4.33).5i j También podemos obtener el ánglo qe forma n vector con la horizontal si nos dan ss componentes gracias a la tangente:

6 Fa: Ej: Cál será el ánglo qe forma este vector con el eje OX? Sea el vector A ( 3, 3) 3i 3j tgα Si miramos en la tabla antes presentada los signos de las razones según los cadrantes, el ánglo será -45º o lo qe es lo mismo (360º-45º) 315º, también podría ser 135º, pero como la componente es negativa, debe estar por debajo del eje X. Si el resltado de la tangente no estviera en la tabla, podemos recrrir a la calcladora sando la tecla tan 1, es decir calclar la arcotangente (arctg), el ánglo ca tangente nos da el número resltante del cociente. Sma de vectores: Matemáticamente sólo tenemos qe smar por n lado las dos componentes horizontales por el otro las dos verticales, el resltado será otro vector. A Ai + Aj B Bi + Bj R A + B A ( + B ) i + ( A + B ) j Ri + R j

7 Fa: Gráficamente, debemos poner el origen de B en el etremo de A el resltado R será la nión del origen de A con el etremo de B. Resta de vectores: Matemáticamente es similar qe antes, sólo tenemos qe restar por n lado las dos componentes horizontales por el otro las dos verticales, el resltado será otro vector. A Ai + Aj B Bi + Bj R A B A ( B ) i + ( A B ) j Ri + R j Gráficamente, debemos poner el origen de B en el origen de A el resltado R será la nión de los etremos desde B hacia A. Comparación de ambas operaciones:

8 Fa: Prodcto de n vector por n escalar: El resltado será n nevo vector con la misma dirección sentido, de tamaño tantas veces más grande qe el original, como indiqe el número por el qe lo hemos mltiplicado: Prodcto escalar de dos vectores: Si tenemos dos vectores i + j v v i + v j, el prodcto escalar de ambos será el prodcto de ss componentes horizontales más el prodcto de v v + v, por lo tanto, el resltado ss componentes verticales, ( ) ( ) será n escalar. También podemos calclarlo como el prodcto de ambos módlos por el coseno del ánglo qe forman entre ellos. v ( v ) + ( v ) v cosα Esto nos pede permitir calclar el ánglo si conocemos ss componentes: cosα ( v ) + ( v ) v

9 Fa: También podemos comprobar si dos vectores no nlos son perpendiclares, a qe dada la definición de prodcto escalar v v cosα Si son perpendiclares, el ánglo qe forman es de 90º el coseno de 90º es 0, lo cal nos indica qe son perpendiclares si sólo si s prodcto escalar es igal a cero. v ( v ) + ( v ) 0 Obtención de n vector nitario en la misma dirección sentido qe n vector: Se el vector i + j ; para calclar n vector nitario en la misma dirección sentido qe él, bastara dividir dicho vector por s módlo, es decir: nitario i + j i + + j + i + + j Ejercicios ejemplo: 1) Calclar la sma de los vectores de la figra adjnta. Para smar varios vectores ha qe determinar las componentes cartesianas de cada vector smarlas. A 10 i B 1. cos 60 i + 1. sen 60 j 6 i + 10'39 j C - 6 i D - 8. cos 40 i - 8. sen 40 j - 6'13 i - 5'14 j E - 9 j

10 Fa: R A + B + C + D + E ( '13) i + (10'39-5'14-9) j 3'87 i - 3'75 j R (3'87 + 3'75 ) 1/ 5'39 α arc tg (- 3'75 / 3'87) - 44'1 º 315'9 º, carto cadrante ) Dados los vectores (, k) (3, - ), calcla k para qe los vectores sean: 1 Perpendiclares. Paralelos. 3 Formen n ánglo de Perpendiclares. Paralelos.

11 Fa: Formen n ánglo de 60. 3) Hallar n vector nitario de la misma dirección del vector:.