Vector director de una recta

Transcripción

1 Vector director de na recta En la figra se observa n vector libre aplicado en distintos pntos. Cada na de las flechas resltantes proporciona na recta. Se tienen así las rectas r, r y r3 qe son paralelas y se dice qe es n vector director de estas rectas, qe las dirige o inclso qe las rectas son paralelas al vector. Recíprocamente, dada na recta es fácil hallar n vector director: basta tomar dos pntos calesqiera de ella, como A y B de la figra adjnta. Pero es evidente qe na recta tiene infinitos vectores qe la dirijan. En la figra anterior, v y w dirigen la recta r. También es claro qe todos los vectores qe dirigen na recta tienen la misma dirección: si es vector director de na recta también lo es calqier otro v qe cmpla v k. Ejemplo: Las rectas r y r de la figra parece qe son paralelas. Lo son realmente? A( 5, 5) A( 7, 5) r B(, ) r B( 6, ) Hallamos n vector director de cada recta. AB AB tiene por componentes: ( 5, 5) ( 7, 6) AB tiene por componentes: AB ( 67, 5) ( 3, 3 ) Como los cocientes 7 6 y son distintos, los vectores no tienen la misma dirección y las rectas no son paralelas (anqe por 3 3 poco). Ecaciones vectorial y paramétricas de la recta Ecación vectorial de la recta Dado qe calqier vector contenido en na recta r es n vector de dirección, tomemos como vector de dirección de r. I.E.S. Historiador Chabás -- Jan Bragado Rodrígez

2 Sea X n pnto calqiera de la recta r. El vector AX es proporcional al vector por estar en la misma dirección, es decir: AX t Sean a, b y x los vectores de posición de los pntos A, B y X respectivamente. De la figra adjnta se tiene: x a AX a t t R x a t Esta igaldad se llama ecación vectorial de la recta. A t se le denomina parámetro de la ecación y toma valores reales calesqiera. Un parámetro es na variable qe pede tomar distintos valores, los cales dan a s vez distintos valores a otras variables. Al darle distintos valores se obtiene n conjnto de vectores de posición de pntos qe pertenecen a la recta r. Ecaciones paramétricas de la recta Sean ( x, y), ( a, a), ( b, b) y (, ) las coordenadas de los vectores x, a, b y respectivamente, donde ba ( b, b) ( a, a) ( b a, b a ). Sstityendo en la ecación vectorial se tiene: ( x, y) ( a, a ) t(, ) ( a t, a t ) Igalando las componentes de ambos vectores se obtiene: xa t ya t Estas ecaciones se llaman ecaciones paramétricas de la recta. Para cada valor de t se obtiene n pnto de la recta. Para hallar las ecaciones paramétricas de na recta bastan n pnto y n vector director. Pero hay cantidad de pntos y vectores directores de na recta. Por eso, según el pnto o vector qe elijamos obtendremos distintas ecaciones paramétricas: na infinidad. Por eso se habla de nas ecaciones paramétricas y no de las ecaciones paramétricas. I.E.S. Historiador Chabás -- Jan Bragado Rodrígez

3 En la recta de la figra, si nos fijamos en el pnto A (, ) y en el vector de dirección BC de componentes (, ) ( 4, ) obtenemos las ecaciones paramétricas: x4s ys En cambio, si tomamos como pnto base el C(, ) y como vector de dirección el vector AB de componentes: (, ) (, ) obtenemos: x t y t Observa qe la letra qe indica el parámetro no es la misma en las dos ecaciones. Cómo saber si distintas ecaciones paramétricas lo son de la misma recta? En primer lgar hay qe ver si tienen los mismos vectores directores. Si es así las ecaciones representan rectas paralelas qe peden ser distintas o coincidentes. A continación se compreba si n pnto de na de ellas está en la otra: en caso afirmativo las ecaciones representan la misma recta. x 3k Ejemplo: Se tienen las rectas r y 4k de la misma recta? s x 6 t y68t Se trata en realidad Los vectores directores qe obtenemos de las ecaciones son: ( 34, ) y v ( 68, ) Está claro qe v por lo qe r y s tienen los mismos vectores directores. Veamos si el pnto base (, 6 ) de s está en r: 3k k 6 4k k por tanto las ecaciones representan la misma recta. I.E.S. Historiador Chabás -3- Jan Bragado Rodrígez

4 Ecación de la recta en forma contina y general Ecación contina de la recta Si y, despejando t en las ecaciones paramétricas tenemos: t t x a y a x a y a x a y a La ecación anterior recibe el nombre de ecación contina de la recta. Casos particlares de la ecación de la recta Si y (, ) y la ecación contina no se pede escribir porqe no se pede dividir por cero. ( a, y ) 3 ( a, y ) ( a, y ) Al sstitir en las ecaciones paramétricas reslta x a. Esta ecación significa qe todos los pntos de la recta tienen la misma abscisa, a, es decir, la recta de ecación x a es paralela al eje OY. a Si y (, ) y análogamente de las ecaciones paramétricas se obtiene y a. a ( x, a ) ( x, a ) ( x3, a) Al sstitir en las ecaciones paramétricas reslta y a. Esta ecación significa qe todos los pntos de la recta tienen la misma ordenada, a, es decir, la recta de ecación y a es paralela al eje OX. I.E.S. Historiador Chabás -4- Jan Bragado Rodrígez

5 Ecación general de la recta Operando y simplificando en la ecación de la recta en forma contina se tiene: ( xa ) ( ya ) x y a a Llamando A B C a a tenemos: Ax By C La igaldad anterior recibe el nombre de ecación general de la recta o también ecación implícita de la recta. Un vector director de esta recta cmple la condición: B y A, por tanto: ( B,A) Si A By C C y qe es la ecación de na recta paralela al eje B OX. Si B Ax C C x qe es la ecación de na recta paralela al eje A OY. A y B no peden ser simltáneamente nlos, ya qe al ser A y B entonces el vector de dirección de la recta (, ) sería el vector nlo (, ) qe como sabemos no determina ningna dirección. Pendiente de na recta Sabemos qe na recta está determinada por dos pntos, por n pnto y na paralela, por n pnto y n vector director, etc. Existe otra forma de determinar na recta: consiste en dar n pnto y el ánglo qe la recta forma con la dirección positiva del eje de las X (s inclinación). La inclinación de na recta no pede ser mayor qe 8º. Por otro lado, n ánglo comprendido entre º y 8º está totalmente determinado por el valor de s tangente trigonométrica. Para nosotros es más cómodo tilizar el valor de tg qe el propio valor de, y por ello damos la sigiente definición: I.E.S. Historiador Chabás -5- Jan Bragado Rodrígez

6 Se llama pendiente de na recta a la tangente del ánglo qe forma la recta con la dirección positiva del eje X. Por costmbre se sa la letra m para designar la pendiente. Observa qe las rectas de ecación x k no tienen pendiente, pesto qe son paralelas al eje Y y por lo tanto forman con el eje X n ánglo de 9º (no existe tg 9º ). Las rectas con inclinación mayor qe 9º tendrán na pendiente negativa. Ecación pnto pendiente de na recta Existe na relación entre la pendiente de na recta y ss vectores de dirección. Está claro qe la pendiente en todos los casos es: m tg En la recta de la derecha, 9º y la pendiente es negativa es mayor qe Si el vector (, ) es n vector director de la recta r, s pendiente es m. m tg Como todos los vectores directores de na recta r tienen la misma dirección, el ánglo qe forman con el eje X es el mismo y la tangente de ese ánglo (pendiente) también. Partiendo de la ecación contina de la recta tenemos: x a y a ya ( xa) m( xa) y a m(x a ) I.E.S. Historiador Chabás -6- Jan Bragado Rodrígez

7 La ecación anterior es la ecación de la recta qe pasa por el pnto Aa (, a) y tiene por pendiente m, por eso se conoce como ecación pnto-pendiente de na recta ya qe se obtiene conociendo n pnto y la pendiente. Ecación explícita de la recta Si operamos en la ecación de la recta en la forma pnto-pendiente se obtiene: y mxa ma Haciendo n a ma tenemos: y mx n donde m representa la pendiente de la recta y n es el valor de la ordenada para se llama ordenada en el origen. x, por ello Esta ecación reslta my cómoda siempre qe conozcamos la pendiente de na recta, o si tratamos de resolver problemas de paralelismo. A partir de la pendiente, no de los vectores de dirección es (, m), pes: m tg m Pendiente: m Vector de direccion: (,m) I.E.S. Historiador Chabás -7- Jan Bragado Rodrígez

8 Variación de las inclinaciones según los valores de m y x y x y x y y x y x x Las gráficas mestran por sí solas los efectos de los cambios de pendiente: Las rectas son ascendentes si m y descendientes si m. Además s verticalidad amenta a medida qe lo hace m en valor absolto. Como el valor de n no inflye en la inclinación se ha spesto qe n. Hay qe exceptar no obstante el caso de las rectas verticales. Al ser la inclinación 9º, no existe tg 9º, y por ello, no peden expresarse en forma explícita. Observación El vector (, m) da na imagen geométrica rápida de la inclinación. Por ejemplo, si y x, basta dibjar el vector director (, ). Si la recta es y x 3 n vector director es,, y en 3 caso de considerar molestas las componentes fraccionarias tomamos, en vez de, el vector, de componentes ( 3, ). 3 Otra forma de obtener la ecación explícita de la recta es a partir de la ecación general. Despejando la y tenemos: Ax By A C y B x C B x C B mx n I.E.S. Historiador Chabás -8- Jan Bragado Rodrígez

9 Ecación de la recta en forma segmentaria Si na recta corta a los ejes en los pntos A( a, ) y B(, b) la igaldad: x a y b recibe el nombre de ecación de la recta en forma segmentaria, ya qe se obtiene en fnción de los segmentos orientados a y b. Ejemplo: Ecación de la recta qe pasa por B ( 4, 6) y C(, 4) en ss distintas formas. Qé ánglo forma la recta con el eje de abscisas? Si cogemos el pnto X ( x, y) encima de B tenemos: x c CX c t CB Ec. Vectorial CB b c ( 4, 6) (, 4) (, ) (, ) (, 5) Vector de dirección xt ( x, y) (, 4) t(, 5 ) Ecaciones paramétricas y45t Qé significan las ecaciones paramétricas? Significan qe, para cada valor qe le demos al parámetro t obtenemos n pnto ( x, y ) qe pertenece a la recta, como se compreba a continación: I.E.S. Historiador Chabás -9- Jan Bragado Rodrígez

10 t x y 4 5 ' ' ' x y 4 5 Ecación contina 5x y 4 Ecación general o implícita y 5x 4 Ecación explícita El ánglo qe forma la recta con el eje de abscisas lo calclamos a través del vector de dirección. 5 ( 5, ) tg 5 arctg( 5) 39 ' º Si cogemos el pnto X ( x, y) debajo de C tenemos: x b BX b t BC Ec. Vectorial BC c b (, 4) ( 4, 6) (, ) v (, ) (, 5) Vector de dirección x4 t ( x, y) ( 4, 6) t (, 5 ) Ecaciones paramétricas y65t x 4 y 6 5 Ecación contina 5x y 4 Ecación general o implícita y 5x 4 Ecación explícita El ánglo qe forma la recta con el eje de abscisas lo calclamos a través del vector de dirección. v 5 (, 5) tg 5 arctg( 5) 39 ' º I.E.S. Historiador Chabás -- Jan Bragado Rodrígez

11 Ecación normal de la recta Ecación normal de la recta La ecación de la recta qe pasa por n pnto y es perpendiclar a n vector pede obtenerse a través del prodcto escalar. Sea P n pnto de la recta r. Calqier pnto X de la recta determina con P n vector PX. Si representamos por n n vector perpendiclar al vector director de la recta se verifica: PX n Si Xx (, y) y Pp (, p) son las coordenadas de los pntos X y P respectivamente y n ( A, B), sstityendo estas coordenadas en la expresión vectorial anterior, se tiene: PX n ( x p, y p ) ( A, B) A ( x p ) B( y p ) Ax By Ap Bp En la ecación de la recta qe hemos obtenido se observa qe las componentes del vector perpendiclar pasan a ser precisamente los respectivos coeficientes de x e y. Esta ecación donde aparecen agrpados en n sólo miembro todos los términos recibe el nombre de ecación general. Si llamamos C al término independiente toma la forma: Ax By C Se tiene qe n Observación (A,B) es n vector perpendiclar a la recta Ax By C. Conocido ya qe los coeficientes de x e y forman n vector perpendiclar, la ecación general de la recta qe pasa por P( 5, 4) y es perpendiclar a n (, 3 ) pede obtenerse también así: I.E.S. Historiador Chabás -- Jan Bragado Rodrígez

12 Basta poner x 3y c. Para hallar C imponemos qe pase por P( 54, ) : de donde la ecación es x 3y C C Ecación normal canónica de la recta Si dividimos por el módlo del vector n la ecación normal recibe el nombre de ecación normal canónica de la recta. n n PX Para obtener la expresión analítica de la ecación normal canónica dividiremos por el módlo del vector normal. A A B x A B B y A C B Resmen Ecación explícita y mx n Pasa por (, n) Pendiente m Vector director: v (, m) Vector perpendiclar: n ( m,) Ecación general Ax By C Vector director: v ( B, A) Vector perpendiclar: n (A, B) A Pendiente: m B I.E.S. Historiador Chabás -- Jan Bragado Rodrígez

13 Ecaciones paramétricas xa t ya t Pasa por (a, a ) Vector director: v (, ) Pendiente: m Vector perpend.: n (, ) Posiciones relativas de dos rectas en el plano Si trazamos dos rectas calesqiera en el plano pede ocrrir qe: sean secantes, paralelas o coincidentes. Dos rectas son secantes si sólo tienen n pnto común, son paralelas si no tienen ningún pnto común y son coincidentes si tienen todos los pntos comnes. Para averigar si las rectas son secantes, paralelas o coincidentes hallaremos s intersección, resolviendo el sistema qe forman ss ecaciones, de manera qe: Si tiene na solción las rectas se cortan. Si no tiene solción las rectas son paralelas. Si tiene infinitas solciones las rectas son coincidentes. Dos rectas de distinta pendiente necesariamente se cortan y dos rectas cya pendiente es la misma peden ser paralelas o coincidentes. Veamos cómo saber la posición relativa de dos rectas sin necesidad de resolver el sistema qe forman. Forma explícita r: y mx n s: y mx n Forma implícita r: Ax By C s: Ax By C Paramétricas r: x p t d s: x q t d r y s Secantes m m A A B B d kd r y s Paralelas m m y n n r y s Coincidentes m m y n n A B C A B C A B C A B C d kd y p q k d d kd y p q k d I.E.S. Historiador Chabás -3- Jan Bragado Rodrígez

14 Ánglo de dos rectas A través de los vectores directores El ánglo formado por dos rectas es el formado por dos vectores directores de las mismas y pede calclarse a través del prodcto escalar. Sean y los vectores directores de las rectas r y r respectivamente. Se llama ánglo formado por las rectas r y r al menor de los ánglos qe determinan dichas rectas y coincide con el ánglo qe forman ss vectores directores. cos( rr, ) cos(, ) cos El valor absolto del prodcto escalar asegra qe el ánglo hallado es 9º. arccos Sean las rectas r y r cyas ecaciones en s forma general son: r: Ax By C ( B, A) r: Ax By C ( B, A) arccos AA BB A B A B Rectas perpendiclares Dos rectas son perpendiclares cando el ánglo qe forman es de 9º. Entonces el prodcto escalar de ss vectores directores es cero, es decir: r r AA BB I.E.S. Historiador Chabás -4- Jan Bragado Rodrígez

15 A través de las pendientes Sean y los vectores directores de las rectas r y r respectivamente. Se llama ánglo formado por dichas rectas secantes al menor de los ánglos qe determinan dichas rectas y coincide con el ánglo qe forman ss vectores directores. Sea la pendiente de la recta r m tg Sea la pendiente de la recta r m tg El ánglo formado por las rectas r y r es 8º 8º tg tg m m tg ( r, r) tg tg ( ) tgtg mm arctg m m mm donde m es la pendiente de la recta qe tiene mayor inclinación (mayor ánglo) respecto del eje de abscisas. Rectas perpendiclares Si las rectas son perpendiclares, entonces 9º y tg mm, lego: m m Ejemplo: Dado el triánglo de vértices A(, 4), B( 4, ) y C(, ), calclar los ánglos del triánglo. I.E.S. Historiador Chabás -5- Jan Bragado Rodrígez

16 Para hallar las pendientes de las rectas calclamos primero las componentes de los vectores directores. v v v AB AC BC ( 6, ) mab 6 3 (, 4) mac 4 mbc ( 4, ) 4 mac mab tg A 3 A arctg º mac mab 45 3 Para calclar el ánglo B es preciso recordar qe la fórmla de la tangente nos da el ánglo qe forman las rectas orientado hacia el eje de abscisas, es decir en este caso 8 º B. mbc mab tg( 8º B) 3 8º arctg( ) 35º 45º B B mbc mab 3 Como A B C 8º C 8º ( A B ) 8º ( 45º 45º) 9º, o también: 5 mbc mac tg C C º mbc mac 9 Distancia entre dos pntos Dados dos pntos A y B del plano, se llama distancia de A a B al módlo del vector coordenadas de A y B son ( a, a ) y ( b, b ) respectivamente tenemos: AB. Si las I.E.S. Historiador Chabás -6- Jan Bragado Rodrígez

17 d(a, B) AB (b a ) (b a ) La distancia entre dos pntos es siempre n número positivo o nlo por serlo el módlo de n vector. Distancia de n pnto a na recta Dado n pnto P y na recta r, llamamos distancia de P a r a la longitd del segmento perpendiclar, trazado desde P a r. Se simboliza por d ( P, r) y coincide con el módlo PQ del vector, siendo Q el pnto de intersección de r con la recta perpendiclar a r qe pasa por P. d(p, r) PQ Como el vector escalar es: PQ y el vector normal n de la recta tienen la misma dirección, s prodcto n PQ n PQ cos º n d( P, r) A B d( P, Q) Como las coordenadas de los vectores n y PQ son ( A, B) y ( x x, y y) tenemos: n PQ ( A, B) ( x x, y y ) A( x x ) B( y y ) Ax By Ax By Como Q( x, y) r se verifica: Ax By C C Ax By Ax By C es decir: n PQ Ax By C Igalando las dos expresiones del prodcto escalar: Ax By C A B d( P, r) Ax By C d( P, r) A B I.E.S. Historiador Chabás -7- Jan Bragado Rodrígez

18 Al ser dpr (, ) na distancia, desechamos los posible valores negativos. d(p, r) Ax By C A B Ejemplo: Hallar la distancia del pnto P(, ) a la recta x t y 3t Escribimos la ecación de la recta en s forma general para aplicar la fórmla. x t y 3t y x 3 3x y5 donde A 3 B y C 5 3 d ' 9486 Distancia entre dos rectas paralelas Para hallar la distancia entre dos rectas ry r paralelas bastará considerar n pnto calqiera de na de ellas y calclar s distancia a la otra recta. Sean r: Ax By C y r: Ax By C dos rectas paralelas y distintas ( C C ). Si Px (, y) es n pnto de r, entonces: dr (, r) dpr (, ) Ax By C A B C C A B ya qe A x By C. Por tanto, para hallar la distancia entre dos rectas paralelas basta hallar el valor absolto de los términos independientes dividido por el módlo del vector normal. Para esto es preciso simplificar las ecaciones de las rectas de manera qe ambas tengan los mismos coeficientes para las variables x e y. I.E.S. Historiador Chabás -8- Jan Bragado Rodrígez

19 Ejemplo: Hallar la distancia entre las rectas: a) r: x 3y 5 r : x 3y 7 b) x 3t r: y t x 3 y 5 r: 3 a) Lo primero es comprobar qe las rectas son paralelas: d ' 38 b) Ponemos las ecaciones en la forma general: x y r: x 3y5 r: x 3y8 3 Como las rectas son paralelas. d ' 73 Ejemplo: Halla n pnto qe diste 8 nidades de la recta x y. cya distan- Es evidente qe no podemos esperar na solción única. Sea cia a la recta es 8. Debe verificarse: P( x, y ) 8 x y x y La expresión entre barras debe ser 4 ó 4. x y 6 4 x y 4 en cyo caso x y 3 o bien x y 4 en cyo caso x y 5 Se obtienen las ecaciones de dos rectas paralelas I.E.S. Historiador Chabás -9- Jan Bragado Rodrígez

20 Ejemplo: El término independiente de la ecación general Ax By C cando el vector n (A,B) es nitario, tiene na clara interpretación geométrica. Compreba qe la distancia de la recta r: Ax By C al origen es precisamente C, si n (A,B) es nitario. dp(, ), r A B C A B C I.E.S. Historiador Chabás -- Jan Bragado Rodrígez

21 Lgares geométricos Se llama lgar geométrico a n conjnto de pntos del plano qe cmplen na determinada propiedad. Ejemplo: El lgar geométrico de los pntos del plano qe distan r nidades de n pnto fijo P es na circnferencia. Ejemplo: El lgar geométrico de los pntos del plano cya distancia a P es inferior a r nidades es n círclo. Ejemplo: Dados los pntos A y B, cya distancia es AB, cál es el lgar geométrico de todos los pntos del plano qe hacen qe el área del triánglo APB sea la nidad? El lgar geométrico está formado por las rectas r y r. h h En efecto, como el área es: h S AB h h h El pnto P ha de sitarse de modo qe la altra sobre AB sea. Esto da lgar a las rectas r y r. Ejemplo: Calcla el lgar geométrico de los pntos del plano tales qe el cadrado de s distancia a la recta x y sea igal al cadrado de la sma de ss distancias a los ejes. x y dpr (, ) dpx (, ) x dpy (, ) y x y ( x y) x y 6xy 4x 4y 4 I.E.S. Historiador Chabás -- Jan Bragado Rodrígez

22 Mediatriz de n segmento Px (, y) Ax (, y) Bx (, y ) Es el lgar geométrico de los pntos del plano qe están a igal distancia (eqidistan) de los extremos del segmento. Este lgar geométrico es na recta perpendiclar al segmento por s pnto medio y los pntos P del lgar geométrico verifican: PA PB n pnto calqiera de la media- Sea el segmento de extremos triz. Se verifica: A( x, y), B( x, y ) y P( x, y) d( P, A) d( P, B) ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y Elevando al cadrado y simplificando se obtiene la ecación de la mediatriz del segmento AB. Ejemplo: Calcla la mediatriz del segmento de extremos A(, ) y B(4, 3). er Método Aplicando la definición. dpa (, ) dpb (, ) ( x) ( y ) ( x 4) ( y ) ( x) ( y) ( x4) ( y3) 3xy o Método Ecación de la recta perpendiclar al segmento AB por el pnto medio. ) 3 Pnto medio del segmento AB P( 5 ', 5 ' ) Pendiente de rab vab ( 3, ) mab mab 3 3 Ecación de la recta perpendiclar al segmento AB por s pnto medio: y 5 ' 3( x 5 ' ) 3x y Bisectrices de los ánglos determinados por dos rectas Se llama bisectriz de n ánglo a la semirrecta qe tiene por origen el vértice del ánglo, y divide a éste en dos partes igales. I.E.S. Historiador Chabás -- Jan Bragado Rodrígez

23 b Bisectriz de n ánglo es el lgar geométrico de los pntos del plano qe están a igal distancia (eqidistan) de las rectas qe forman el ánglo. La propiedad qe cmplen todos los pntos de la bisectriz es qe: b d(p, r) d(p, s) Sean r: AxByC y s: Ax By C las ecaciones de dos rectas secantes y Px (, y) n pnto calqiera de la bisectriz de no de los ánglos qe determinan las rectas. Por ser P n pnto de la bisectriz se verifica: dpr (, ) dps (, ) Ax By C A B Ax By C A B Para qe sea cierta la igaldad anterior se ha de cmplir: Ax By C Ax By C A B A B y Ax By C Ax By C A B A B ya qe cando dos números a y b son igales en valor absolto: a a b. Estas dos igaldades son las bisectrices qe forman dos rectas secantes. b, o bien a b o bien b Las bisectrices son dos rectas perpendiclares qe se cortan en el mismo pnto qe r y s. b Sean y los ánglos qe forman las rectas r y s. Evidentemente 8º. Como las bisectrices dividen a los ánglos en partes igales, se tiene: 8 9 ( ) º º I.E.S. Historiador Chabás -3- Jan Bragado Rodrígez

24 Ejemplo: Dadas las rectas x 5y y 4x 3y calclar las ecaciones de ss bisectrices. x5y ( 5) 4x 3y 4 ( 3) x5y ( 5) 4x 3y 4 ( 3) y x 5y ( 5) 4x 3y 4 ( 3) 6x 5y5 5x 39y 6x 5y5 5x 39y 8x4y5 x 64y5 4x 7y 5 56x 3y 5 La pendiente de la primera recta es v 4 ( 7, 4) m 7 La pendiente de la segnda recta es v ( 3, 56) m Se observa qe Las dos bisectrices son perpendiclares. 7 4 Incentro, Baricentro, Ortocentro y Circncentro de n triánglo. La recta de Eler Incentro: Baricentro: Ortocentro: Circncentro: Es el pnto donde se cortan las bisectrices de n triánglo y coincide con el centro de la circnferencia inscrita. Es el pnto donde se cortan las medianas de n triánglo y dista /3 del vértice y /3 de la base. Es el pnto donde se cortan las altras de n triánglo. Es el pnto donde se cortan las mediatrices de n triánglo y coincide con el centro de la circnferencia circnscrita. Leonard Eler (77-783) demostró qe el baricentro (G), el ortocentro (H) y el cicncentro (M) de n triánglo están alineado. A dicha recta se le llama recta de Eler. Además se verifica qe el baricentro está sitado entre el ortocentro y el circncentro, y a doble distancia del primero qe del segndo. I.E.S. Historiador Chabás -4- Jan Bragado Rodrígez