Regla de la cadena. Regla de la cadena y. son diferenciables, entonces: w w u w v y u y v y. y g. donde F, w w u w v x u x v x

Transcripción

1 Regla de la cadena Una de las reglas qe en el cálclo de na variable reslta my útil es la regla de la cadena. Dicho grosso modo, esta regla sirve para derivar na composición de fnciones, esto es, na fnción qe depende de na variable qe a s vez depende de otra variable. Anqe en el caso de varias variables, el aspecto qe pede tomar dicho resltado pede parecer my variado y mcho más complicado, es posible presentarlo con el mismo aspecto. Así, nestra intención en la sigiente discsión no será demostrar dicho resltado (lo qe cae fera del nivel de este crso), sino mostrar cómo se le pede plantear bajo n artificio de tipo nemotécnico. Mostramos el resltado en n caso particlar qe corresponde al de na fnción de dos variables mismas qe dependen a s vez de otras dos variables, insistimos no obstante qe el resltado pede y de hecho tiene variantes a esta presentación. Regla de la cadena w F, v f x, y Si, y v g x, y donde F, w w w v x x v x & f y g son diferenciables, entonces: w w w v y y v y El resltado anterior y otros, peden ser recordados nemotécnicamente por medio de n símil del diagrama de árbol tilizado, por ejemplo, en probabilidad. La idea es simple: se inicia con la fnción w y de ahí se van marcando (con líneas) hacia la derecha las variables de las qe depende. osteriormente, cada variable de la qe depende w se pone bajo la misma idea en dependencia de ss propias variables. Ahora, cada segmento niendo variables se marca con na derivada parcial, ésta es la derivada parcial de la variable a la izqierda con respecto a la variable a la derecha. De manera más concreta, considera el sigiente diagrama: Esqema nemotécnico para la regla de la cadena

2 Derivada direccional Hemos hablado ya de la derivada parcial, y con ello tenemos la herramienta matemática qe nos permite determinar la razón de cambio de na fnción cando variamos na variable a la vez dando n paso en calqiera de las direcciones determinadas por algno de los vectores de la base canónica de R n. Claro, debes leer aqí n paso relacionándolo con la magnitd de los vectores de la base canónica de R n, todos los cales sin distinción son vectores nitarios. Sin embargo, es frecente qe reqiramos determinar la razón de cambio de na fnción en calqier dirección. Es de esperar qe lo qe ganaremos en la generalización de este concepto, lo perderemos en la facilidad de cálclo de na derivada parcial. Nestro trabajo en esta sección será, no obstante, mostrar qe podemos ganar la citada generalización sin incrrir en cálclos complicados. ara lograr nestro cometido nos apoyaremos en la regla de la cadena. En primer lgar echemos n vistazo a la definición de derivada parcial, ésta es: f x j j f he f lim h h Con base en lo anterior, nestra definición ahora es my simple, se basa únicamente en modificar el vector nitario particlar de la base canónica por calqier vector nitario De esta manera tenemos: Definición. Derivación direccional Sean U n conjnto abierto de R n, x1, x,..., x n U y f: U R na fnción de varias variables. Si es calqier vector nitario de R n, la derivada direccional de la fnción f en y en la dirección de se define por: D f f h f lim h h Dada la importancia del anterior concepto, vale la pena insistir en lo sigiente: la derivada direccional mide la razón de cambio de la fnción f cando al estar en se da n paso en la dirección del vector nitario. Ahora tenemos qe resolver n asnto: cómo podemos calclar na derivada direccional? Es claro qe qisiéramos mantener de algna manera la comodidad qe teníamos en el cálclo de derivadas parciales. La bena noticia es qe esto pede hacerse con ayda de la regla de la cadena. ara lograr nestro cometido, introdzcamos la fnción g: R R definida por: g t f t

3 Observa qe g f y por consigiente: f h f g h g lim lim g h h h h Éste, es n gran adelanto qe vale la pena considerar porqe hemos hallado na forma para calclar derivadas direccionales sin necesidad de recrrir a s definición. Así, antes de avanzar a la sigiente idea veamos cómo se le pede aplicar. Ejemplo. Sean n vector nitario calqiera y para todo x ε R n. n vector fijo. Calcla D f si f x x Solción: En primer lgar definimos nestra fnción axiliar g t f t nestro caso particlar qeda: g(t) = f( + t ) = + t Entonces: t t t t t t t t g t f t t, ésta aplicada a, pesto qe 1. NOTA: El símbolo indica prodcto pnto (o escalar) entre vectores. El resto tampoco es complicado, sólo nos resta derivar con respecto a t en t. Tenemos: y evalar la derivada g t t Finalmente D f g, pes. y son constantes. Anqe nestro procedimiento fncionó my bien, bscaremos ahora na idea alterna qe nos permita ver en breve la conexión existente entre derivada parcial y direccional (qe con el enfoqe anterior no logra apreciarse). Utilizamos ahora la misma idea pero añadiremos a nestra estrategia la regla de la cadena. No pierdas de vista qe deseamos hallar g. rimero nestro esqema (qe limitaremos a na fnción de dos variables).

4 Sponemos en lo qe sige qe es n vector direccional fijo y qe x, y a, b es calqier pnto, entonces g t f t f x at, y bt. Nota qe las x y coordenadas en la primera y segnda entradas de f son variables a las hemos denotado en la forma habital,, y qe éstas dependen a s vez de la variable. Entonces: x y t De este esqema dedcimos qe: g t x f t f t y x t y t Como x x at, y y bt reslta qe x a, y t y t b. En otras palabras: De donde: f t f t g t a b, x y f f D f g a b x y f f, ab, x y Nada mal, porqe reslta qe el primero de los vectores se compone de derivadas parciales. Dada s importancia (no sólo en este tema) se le da n nombre especial, a este vector lo llamaremos el vector gradiente. El segndo vector es la dirección dada por el vector. or lo tanto hemos obtenido n importante resltado: Teorema. Sobre el cálclo de la derivada direccional Si f es na fnción diferenciable en na región abierta qe contiene a, entonces: D f f

5 Donde f( ) = ( f( ) x, f( ) y ) Es el vector gradiente de la fnción f en. El resltado anterior tiene cando menos las sigientes dos consecencias importantes, a saber: a) Como A B A B cos es, se dedce qe: 1 ya qe f cos f cos D f f es n vector nitario. Ahora, como la máxima razón de cambio de f (igal a f, 1 cos 1, dedcimos qe ) se obtiene cando cos 1, es decir, cando, esto es, cando la dirección de coincide con la del vector gradiente, en otras palabras, cando (igal a f f f ) se obtiene cando cando la dirección de cando f f.. De manera similar, la mínima razón de cambio cos 1, es decir, cando, es decir, coincide con la del vector menos gradiente, en otras palabras, b) La sigiente consecencia es jnto con la del inciso a) la base sobre la cal se apoya el importante teorema de Lagrange sobre extremos de fnciones con restricciones (mltiplicadores de Lagrange) qe veremos más adelante. ara fijar ideas, spón qe, :, e imagina qe r t xt, yt N f C x y D f x y N es na crva de nivel N para f ; t I, donde I es cierta parte del dominio de la fnción vectorial es na representación vectorial de tal crva de nivel, es decir qe: f x t, y t N. Entonces, al sar la regla de la cadena y derivar con respecto a t r encontramos: f x dx dt + f y dy dt = dn dt =

6 Es decir: f. r (t) = Como r (t) es n vector tangente a la trayectoria, esto significa qe el vector gradiente es perpendiclar a esta trayectoria. Además, ya qe f(x, y) = N es na crva de nivel, podemos decir qe el vector gradiente se pega a las crvas de nivel en n mapa de contorno de forma perpendiclar. El vector gradiente se pega a calqier crva de nivel de forma perpendiclar a ésta. Ésta es la conclsión importante, si consideramos los últimos dos incisos: El vector gradiente (menos gradiente) apnta siempre en la dirección del máximo (mínimo) de na fnción y al pegarse a na crva de nivel lo hace de forma ortogonal a ésta. El vector gradiente (menos gradiente) localiza el máximo (mínimo) de na fnción con restricciones paso a paso, pegándose en todo momento de forma perpendiclar a las crvas del mapa de contorno.