Lección 3. Cálculo vectorial. 4. Integrales de superficie.

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1 GRAO E INGENIERÍA AEROEPACIAL CURO 0 MATEMÁTICA II PTO E MATEMÁTICA APLICAA II 4 Integrales de sperficie Nestro último paso en la etensión del concepto de integral es el estdio de las integrales de sperficie, esto es, integrales en las qe el conjnto sobre el qe se integra es na sperficie parametrizada y el integrando es n campo escalar o ectorial Estas integrales son la base para ennciar los teoremas de tokes y Gass qe estdiaremos en las sigientes secciones Integral de sperficie de n campo escalar Comencemos recordando cómo definimos el área de na sperficie parametrizada simple y reglar y z :(, ) (, ) = ( (, ), (, ), (, )) abemos qe (, ) = ( (, ), y(, ), z(, )) y ( y z ) (, ) = (, ), (, ), (, ), con lo qe el ector normal nitario en el pnto (, ) es N (, ): = Habíamos definido el área de mediante la fórmla área( ) = dd A la epresión (, ) (, ) dd le llamaremos diferencial de sperficie y se sele denotar por d EFINICIÓN ea n campo escalar contino :(, ) (, ) na sperficie simple y reglar y consideremos f :(, y, z) f(, y, z) La integral de sperficie de f sobre se define como f d : = f ( (, )) (, ) (, ) dd Obsera qe si f es la fnción constantemente igal a, la integral de sperficie de f sobre nos proporciona, como ya hemos isto, el área de EJEMPLO Vamos a calclar la integral de sperficie de f ( yz,, ) = + y + z en la sperficie compesta por el hemisferio sperior de la esfera de ecación + y + ( z ) = Consideremos la región : = {(, y) : + y }, qe es la proyección de sobre el plano OXY Tomamos como parametrización de, la fnción Entonces Por tanto, y y y h y y y :(, ) (, ) =,, (, ) =,,+ y y y y (, ) y(, ) = + (, ) + y(, ) = + + = y y h y h y

2 GRAO E INGENIERÍA AEROEPACIAL CURO 0 MATEMÁTICA II PTO E MATEMÁTICA APLICAA II ( ) = rcosθ fd= + y + + y ddy= y y rsenθ = π = r + ( + r ) rdrdθ = π ( r + + r + r ) rdr r r = π ( + r ) rdr = 4π + rdr = 6 π 0 0 r r OBERVACIÓN ) Como en el ejemplo anterior, cando la sperficie iene dada por na ecación eplícita z = h(, y) con (, y), entonces la epresión para la integral de sperficie es ( ) ( y ) f ( yzd,, ) : = f( yhy,, (, )) + h( y, ) + h( y, ) ddy ) Las integrales de sperficie erifican propiedades de aditiidad, monotonía y linealidad análogas a las qe ya hemos estdiado para integrales simples, dobles, triples y de línea Integral de fljo de n campo ectorial pongamos qe qeremos calclar el olmen de aire qe crza na entana crilínea qe tiene la forma de na sperficie parametrizada :(, ) (, ) ea F el campo ectorial qe mide, en cada pnto de, la elocidad de na partícla de aire enotemos por N (, ) = el campo de ectores normales nitarios de la sperficie Obseremos qe F( (, ) ) N(, ) mide el módlo de la elocidad en el pnto (, ) en la dirección de N (, ) Esta cantidad se mide en nidades de espacio/tiempo, digamos m/ s Mltiplicando por el elemento de sperficie dd (qe se mide en m ) e integrando ob- tenemos la integral F( (, )) N(, ) (, ) (, ) dd = F (, ) (, ) (, ) dd, qe mide el olmen de aire por nidad de tiempo (en m / s) qe crza la entana A esta cantidad se le llama fljo de aire qe crza la entana En general tenemos la sigiente definición EFINICIÓN ea :(, ) (, ) na de na sperficie parametrizada simple y reglar y sea N (, ) = el campo de ectores normales nitarios de la sperficie (, ) (, ) ado n campo ectorial contino F: consideremos el campo escalar dado por f = F N, qe reslta de proyectar F en la dirección del ector normal N La integral de sperficie de f sobre se llama integral de fljo del campo ectorial F sobre y iene dada por F N d : = F (, ) (, ) (, ) dd

3 GRAO E INGENIERÍA AEROEPACIAL CURO 0 MATEMÁTICA II PTO E MATEMÁTICA APLICAA II EJEMPLO ea = {(, y, z) :+ y+ z = 4, 0, y 0, z 0} la sperficie trianglar Consideremos el campo ectorial F(, y, z) = ( z,0, y) Vamos a calclar la integral F Nd En primer lgar describimos na parametrización de la sperficie Para ello consideremos la proyección de la sperficie sobre el plano OXY y qe podemos describir de la sigiente forma : = {(, y) :+ y 4, 0, y 0 } Ahora consideramos la parametrización de definida por :(, y) (, y) =, y, (4 y) Con esta parametrización obtenemos qe (, y ) = (,0, ) y y (, y) = 0,,, con lo qe el prodcto ectorial fndamental es (, y) y(, y) =,, Con todo esto tenemos qe ( ) = ( ) = ( + + ) F (, y) (4 y),0,y y,0, y, lego Fy ( (, )) = + + y+ y= + + y Entonces y 4 8 F N d = ( + + y) ddy = ( + + y) dy d = 0 0 OBERVACIÓN El alor absolto de la integral de fljo no depende de la parametrización elegida para calclar la integral, pero s signo sí depende, ya qe pede haber dos parametrizaciones de la misma sperficie cyos ectores normales nitarios tengan direcciones opestas, en cyo caso las integrales tienen signos opestos NOTACIÓN i samos las componentes del campo ectorial F = ( P, Q, R) y epresamos el prodcto ectorial fndamental en términos de los determinantes jacobianos ( y, z) ( z, ) (, y) =,, (, ) (, ) (, ) para efectar el prodcto escalar qe aparece en la definición de integral de fljo, obtenemos esta otra epresión de la integral de fljo ( yz, ) ( z, ) ( y, ) F N d = P( (, )) + Q( (, )) + R( (, )) dd (, ) (, ) (, ) Tradicionalmente, el segndo miembro de la epresión anterior se sele escribir como Pdy dz + Qdz d + Rd dy El orden dy dz, dz d y d dy de los diferenciales es importante porqe reflejan las colmnas de los correspondientes determinantes jacobianos

4 GRAO E INGENIERÍA AEROEPACIAL CURO 0 MATEMÁTICA II PTO E MATEMÁTICA APLICAA II EJERCICIO Calcla las integrales de sperficie sperficies qe se indican f d de las sigientes fnciones f en las () f ( yz,, ) = + y+ zy la sperficie esférica de radio nidad y centro el origen () () f ( yz,, ) f(, y, z) = = z y es la sperficie cilíndrica de ecación ( ) + y + z + y = con z y es el octante positio de la sperficie esférica nidad (4) 4 4 f(, y, z) = y + y z z + y es la porción del cono dado por la ecación z = + y qe es interior al cilindro de ecación + y = (5) f ( yz,, ) ( ) y z = + + y es el octante positio de la sperficie esférica nidad (6) f(, y, z) = + y + y es la sperficie helicoidal parametrizada por la fnción ( ) (, ) = cos, sen, con 0 y 0 π EJERCICIO ea la región del plano OXY qe está contenida en el primer cadrante, es eterior a la cardioide de ecación r = + cosθ y es interior a la circnferencia de ecación r = cos θ () Esboza la región () Calcla la integral doble y + y ddy () ea la sperficie contenida en el plano de ecación y+ z = 8 cya proyección sobre el plano y OXY es la región descrita antes Calcla la integral de sperficie d + y EJERCICIO Calcla las sigientes integrales de fljo (tomando la orientación eterior a la sperficie) () (, y, z ) Nd, donde es la sperficie eterior del cbo [0,] [0,] [0,] () (, y,0) Nd, siendo la semiesfera de ecación + y + z = con z 0 () ( z, yz, z ) Nd, donde es la esfera de ecación + y + z = 4 (4) z dy dz + yz dz d + z d dy, siendo el octante positio de la sperficie de la esfera nidad (5) zd dy, siendo la sperficie de la esfera de radio con centro en el origen 4

5 GRAO E INGENIERÍA AEROEPACIAL CURO 0 MATEMÁTICA II PTO E MATEMÁTICA APLICAA II EJERCICIO 4 ados el campo ectorial F(, y, z) = ( + y 4, y, z + z ) y la sperficie definida por + y + z = 6, z 0 y tomando la orientación de la sperficie dada por la normal inte- rior a la esfera, calcla rot F Nd EJERCICIO 5 ea la sperficie formada por las cinco caras speriores del cbo definido por 0, 0 y, 0 z y consideremos el campo ectorial F(, y, z) = ( y,0, z ) Calcla la integral de sperficie F Nd, donde N representa el ector normal eterior al cbo EJERCICIO 6 Calcla yz d, siendo la esfera + y + z = 5 EJERCICIO 7 Calcla + y + z = 4 tales qe z y zd, siendo la sperficie formada por los pntos de la esfera EJERCICIO 8 ea V el sólido contenido en el primer octante limitado por los planos =, y = y z = y por el cono + y = z y llamemos a s sperficie eterior Calcla ( ) + sen z, + 4 yz, + 4 y Nd, siendo N el campo de ectores normales eteriores a EJERCICIO 9 ea la sperficie eterior de la pirámide formada por los planos coordenados y el plano 6+ y+ z = 6 y considera el campo ectorial F(, y, z) = ( z, y, yz) () Calcla el fljo F Nd () Calcla, mediante integración, el olmen de la pirámide 5