VECTORES EN EL ESPACIO

Transcripción

1 VECTORES EN EL ESPACIO Para poder isalizar los elementos de R 3 ={(x,y,z)/x,y,z R}, primero fijamos n sistema de coordenadas, eligiendo n pnto en el espacio llamado el origen qe denotaremos por O, y tres rectas por O, perpendiclares entre si, llamados ejes de coordenadas. Estas rectas se llamarán respectiamente eje X, eje Y, eje Z. Fijamos las nidades de longitd en cada no de los ejes y las direcciones positias, como mestra la figra. Este sistema se llama sistema de coordenadas de la mano derecha. O Dado n pnto P en el espacio, le asociamos na terna de números reales (a,b,c), llamada ss coordenadas así: trazamos por P rectas perpendiclares a los ejes X, Y,Z y denotamos por a,b,c los pntos de corte respectios, es decir, a es la distancia del pnto de corte de la perpendiclar al eje X trazada por P, al origen de coordenadas O, tomado con signo positio si el pnto de corte está en la dirección positia del eje X, en otro caso se toma negatio.

2 c P a b Análogamente, dada na terna de números reales (a,b,c), si sitamos a sobre el eje X, b sobre el eje Y, c sobre el eje Z y constrimos el paralelepípedo generado por los segmentos Oa, Ob y Oc, la diagonal de ese paralelepípedo qe comienza en O, termina en n pnto P cyas coordenadas son (a,b,c) c a P b Visalizar las coordenadas en MATLAB Así a cada pnto P en el espacio le asociamos na terna ordenada de números reales (a,b,c) R 3 y iceersa. Ordenada en el sentido de qe (a,b,c)=(x,y,z) si y solo si a=x, b=y, c=z. Esta correspondencia se llama

3 sistema de coordenadas rectanglares y escribiremos P(a,b,c) para denotar estas coordenadas o simplemente (a,b,c). El plano XY está determinado por los ejes X,Y y consta de todos los pntos de coordenadas (x,y,z) tales qe z=0 O Plano XY Análogamente, Plano XZ={(x,y,z) R 3 / y=0} y Plano YZ={(x,y,z) R 3 / x=0} Plano YZ

4 Plano XY Como definimos en el plano, n ector en R 3 es n segmento de recta dirigido OP, cyo origen está en O=(0,0,0) y cyo fin está en el pnto P(a,b,c). Por lo tanto a cada pnto del plano P(a,b,c) le asociamos el ector r =OP y lo denotamos r =(a,b,c). Debido a esta asociación podemos considerar los pntos del espacio como ectores y iceersa. Nos referiremos indistintamente a pntos del espacio como pntos o ectores P O

5 DEFINICION 1: Diremos qe los ectores =( 1,, 3 ) y =( 1,, 3 ) son igales si y solo si 1 = 1, = y 3 = 3. Generalizando la definición de magnitd de n ector para el caso del plano tenemos la sigiente DEFINICION : La magnitd o norma de n ector es la longitd del segmento, es decir, de acerdo al teorema de Pitágoras = Un ector de norma 1 se llama ector nitario. DEFINICION 3: Sean =( 1,, 3 ) y =( 1,, 3 ) ectores en el espacio y α n número real. Se define: el ector sma + como += ( 1 + 1, +, ) el ector prodcto por n escalar α como α=(α 1, α, α 3 ). Visalizar la sma y el prodcto por n escalar en R 3 Ejercicio Nº1: Encentre el ector nitario en la dirección del ector (,-,-1) (Ver Solción) Así como en el plano n ector estaba determinado por s magnitd y el ánglo formado con el eje X, no ocrre lo mismo para el espacio. Es decir,

6 hay infinitos ectores de norma 1, qe forman n ánglo de π/4 con el eje X. O Por lo tanto en R 3 se define na dirección como n ector nitario. DEFINICION 4: La dirección de n ector R 3 es el ector nitario = Si =(a,b,c), entonces γ α β a= cos α = cos α, también b= cos β y c= cos γ. cos α+cos β+cos γ = =1

7 DEFINICION 5: α, β, γ son llamados los ánglos directores del ector y cos α, cos β, cos γ son llamados los cosenos directores Los ectores nitarios i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) son las direcciones de los ejes X, Y, Z respectiamente. De manera similar a como se hizo en el plano se define el prodcto interior o prodcto escalar de dos ectores =( 1,, 3 ) y =( 1,, 3 ) como.= y también se define el ánglo entre dos ectores y como el ánglo no negatio ϕ mas peqeño entre y. DEFINICION 6: Diremos qe dos ectores son paralelos si el ánglo entre ellos es 0 o π. Diremos qe dos ectores son perpendiclares ortogonales si forman n ánglo de π/ TEOREMA 1: Sean y ectores no nlos y ϕ el ánglo entre ellos, entonces.= cos ϕ Interpretación geométrica del Teorema: -proy ϕ Proy Proy =. w = Proy. w =

8 TEOREMA : Sea n ector no nlo, entonces para calqier ector, el ector. w= es ortogonal a Preba:. w. = ( ). =. - (.) (.) (.) =.- = 0. es el ector proyección de sobre y se denota Proy. Además, Proy es n ector en la dirección de y s norma es./norm() Ejercicio Nº: Hallar la proyección de =i+3j-k sobre =i-j+3k. (Ver solción) Ejercicio Nº3: Sean =(1,0,0), =(0,1,1) y w=(3,0,0). Encentre el ánglo entre y, y w, y w. (Ver solción) Ejercicio Nº4: Encentre todos los ectores ortogonales a (1,-1,) y (0,1,-) (Ver solción) PRODUCTO VECTORIAL

9 El prodcto ectorial o prodcto crz fe definido por Hamilton (1848) y solo está definido para R 3. Qeremos definir n prodcto de ectores en R 3 cyo resltado sea n ector en R 3 perpendiclar a ambos factores, de manera qe se mantenga el sistema derecho (Ver). Una manera de hacerlo es definir el prodcto en los ectores nitarios en la dirección de los ejes coordenados i, j, k. Por lo tanto definimos: ixi=0 jxj=0 kxk=0 ixj=k jxi=-k kxj=j ixk=-j jxk=i kxj=-i Sean = 1 i+ j+ 3 k = 1 i+ j+ 3 k x = 1 1 ixi+ 1 ixj ixk + 1 jxi+ jxj+ 3 jxk+ 3 1 kxi+ 3 kxj+ 3 3 kxk = x = 1 k j - 1 k+ 3 i- 3 1 j- 3 i = x = ( 3-3 )i- ( )j +( 1-1 )k DEFINICION: Sean =( 1,, 3 ) y =( 1,, 3 ) dos ectores en R 3. Se define el prodcto ectorial o prodcto crz de y, y se denota x como el ector R 3 x =( 3-3, , 1-1 ) Una regla nemotécnica para recordar la definición de prodcto ectorial i j k es escribir x como el determinante 1 3 y calclar el mismo 1 3 por cofactores de la primera fila. Tomando en centa qe no es n determinante pesto qe ss entradas no son números reales. Es decir,

10 i j k x = 1 3 = i j x = ( 3-3 )i- ( )j +( 1-1 )k k Visalización del prodcto crz de dos ectores TEOREMA 3: Sean,,w ectores en R 3 y α n número real, entonces: i) x0 = 0x = 0 ii) x = - x (propiedad anticonmtatia) iii) (α)x = α(x) = x(α) i) x(+w) = x + xw (propiedad distribtia) ).(x) =.(x) = 0, es decir, x y x i) x = 0 si y solo si. ii) (x).w =.(xw) (prodcto triple) Ejercicio Nº5: Comprebe cada na de las proposiciones anteriores con MATLAB y despés prébelas sando las propiedades de los determinantes. TEOREMA 4: Si ϕ es el ánglo entre los ectores y, entonces x = sen ϕ Preba: x = (.)

11 INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CRUZ sen ϕ ϕ Area del paralelogramo generado por los ectores y w Area de la base = x Volmen = x Proy x w Volmen = w.(x) Volmen del paralelepípedo generado por los ectores, y w

12 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Solción1: = = 3, por lo tanto = (,-,-1) = (,, ) es el ector bscado En efecto, (,, ) = + + = Solción:. (,3, 1).(, 1,3) Proy = = (, 1,3) = (, 1,3) Proy = Solción3:, , 7.=0,.w=0, de donde y w (forman n ánglo de π/). Por otro lado,.w=3, = 1 y w = 3, por lo tanto.w= w de donde w (el ánglo es cero ya qe tienen la misma dirección) Solción4: =(a,b,c) es ortogonal a (1,-1,) y (0,1,-) si a-b+c=0 b-c=0

13 El sistema de ecaciones anterior es n sistema homogéneo cya matriz 1 1 R asociada es 1 R 1 R de donde la solción iene dada por a=0; b=t; c=t, t R, es decir, todos los ectores de la forma (0,t,t).