Álgebra Manuel Hervás Curso

Transcripción

1 Álgebra Manel Herás Crso 0-0 ESPACIO EUCLÍDEO Introdcción El estdio de los espacios ectoriales es na generalización de los ectores geométricos a otros casos qe responden también a la estrctra de espacio ectorial. Este estdio se completa definiendo el prodcto escalar qe conierte n espacio ectorial en Eclídeo, en el qe se peden definir longitdes, distancias y ánglos. Prodcto escalar en R 3 En el espacio ectorial 3 se da la base B e, e, e 3 Dados dos ectores e e e e e 3e3 3 3 e e 3e3 e e 3e3 e e e e 3e e3 + e e e e e e e e e e e e Qe se pede expresar matricialmente ( e e ) ( e e ) ( e e3) 3 ( e e ) ( e e ) ( e e3) ( e e ) ( e e ) ( e e ) G ; t A la matriz G de prodctos escalares de los ectores de la base se denomina Matriz de Gram, siendo el prodcto escalar g ( e e ) ; g ( e e ). ij i j ii i i ( e e ) ( e e ) ( e e3) g g g3 G ( e e ) ( e e ) ( e e ) g g g 3 3 ( e e3) ( e e3) ( e3 e3) g3 g3 g 33 La matriz de Gram es simétrica ya qe ( e e ) ( e e ) g g i j j i ij ji Si la base es normal (ectores de la base nitarios): Aparecen nos en la diagonal. ( e e ) ( e e ) ( e e ) 3 3

2 Álgebra Manel Herás Crso 0-0 g g G g g g3 g3 3 3 ( e e ) ( e e ) ( e e ) 0 Si la base es ortogonal: 3 3 g 0 0 G 0 g g 33 Todos los elementos qe no están en la diagonal son nlos. Si la base es ortonormal (ectores de la base nitarios y ortogonales: ( e e ) ( e e) ( e3 e3) ; ( e e) ( e e3) ( e e3) 0. La matriz de Gram, en este caso es la MATRIZ IDENTIDAD y entonces el prodcto escalar se realiza coordenada a coordenada. 0 0 G I ( ) I Otra forma de definir el prodcto escalar: Sean dos ectores no nlos, E ( ) cos El prodcto escalar será positio o negatio según qe sea agdo obtso. El prodcto escalar es nlo si los ectores son ortogonales ya qe cos 0. Ejemplo Físico: Trabajo de na ferza es el prodcto escalar de la ferza por el desplazamiento. ( ) cos W F d F d Siendo el ánglo qe forma la ferza F con el desplazamiento.

3 Álgebra Manel Herás Crso 0-0 Ánglo de dos ectores Sean dos ectores no nlos, E cos PRODUCTO ESCALAR (General) Sea E n espacio ectorial sobre se denomina PRODUCTO ESCALAR a la x, y E se hace forma bilineal : EE qe al par de ectores corresponder n escalar xy qe cmple los axiomas:. Positiidad: x E x x 0. Sólo 0 si x 0. Simetría (Conmtatia): x E x y y x 3. Homogénea (Asociatio el escalar): ( x y) ( x) y x ( y) 4. Distribtia respecto a la sma de ectores: x, yv ; x y z x z y z Un espacio ectorial sobre E;( ) en el qe se ha definido n prodcto escalar es n espacio Prehilbertiano. En el caso de ser finito dicho espacio ectorial se denomina EUCLÍDEO. Expresión del prodcto escalar Sea E n espacio ectorial Eclídeo sobre referido a la base e e nen B e, e,, en. Sean los ectores, E e e nen g g g n g g g G g n n t n ij i j i, j g g g n n nn n G es la matriz de Gram o métrica del prodcto escalar qe es simétrica y definida positia. En la qe g ( e e ) ; g ( e e ) ij i j ii i i 3

4 Álgebra Manel Herás Crso 0-0 En otra base del espacio Eclídeo existe otra matriz de Gram: t G' P G P en la qe P es la matriz de cambio de base ó de paso. Es deseable encontrar na base en la qe la matriz de Gram reslta la matriz identidad. Propiedades: G es Matriz simétrica: ij ji g g g ( e e ) Prodctos Escalares de los ectores de la base. ij i j En la diagonal, las normas al cadrado: g ( e e ) e ii i i i G : definida positia ( ) t G 0, 0 Norma de : ( ) Volmen del paralelepípedo formado por los ectores de na base: V det( G) Norma Sea E n espacio ectorial sobre aplicación : E Se denomina NORMA sobre E a la tal qe x E se le asocia n número real no negatio x qe cmple las condiciones:. x 0 Sólo 0 si x 0. x E x x 3. x, ye x y x y Al espacio ectorial sobre :E; se denomina Espacio ectorial normado. Norma Eclídea Es na generalización del módlo de n ector geométrico qe representa s longitd. La norma: :V tal qe x V se asocia x ( x t Gx) se denomina Norma asociada al prodcto escalar o norma eclídea. En el caso particlar qe la matriz de Gram sea la matriz identidad: 4

5 Álgebra Manel Herás Crso 0-0 Desigaldad de Schwartz x x x x n Se demestra qe el alor absolto del prodcto escalar de dos ectores es menor o igal qe el prodcto de ss normas. Sean, x y E x y x y A partir de la desigaldad de Schwartz es posible definir el ánglo qe forman dos ectores x y x y x y x y x y diidiendo por x y reslta x y x y cos ya qe es el caso qe se erifica si 0 x y x y Desigaldad de Minowsi Esta desigaldad indica qe la norma de na sma de ectores es menor o igal qe la sma de ss normas. Sean, x y E x y x y DISTANCIA Sea E n conjnto calqiera. Se denomina DISTANCIA d definida sobre E a toda aplicación : xy, de E d E E tal qe a la pareja de elementos se le asocia n número real no negatio qe erifica las condiciones x, y, z E. d( x, y) 0 x y Axioma de Separación. d( x, y) d( y, x) Axioma de Simetría 3. d( x, y) d( x, z) d( z, y) Desigaldad Trianglar Ejemplos: En R: d f ( x, y) x y Distancia fndamental 5

6 Álgebra Manel Herás Crso 0-0 En R : d( x, y) x y x y x ( x, x) d( x, y) ( x y) ( x y) eclídea y ( y, y) d 3( x, y) max x y, x y Todo conjnto (E,d) dotado de na distancia es n Espacio métrico. El conjnto (R,d f ) es la Recta Real. Todo esto se generaliza para R n. En el espacio Eclídeo R n ortonormal se erifica: con prodcto escalar y referido a na base. Norma o Longitd de : ( ) n. Distancia entre y : d(, ) ( ) ( ) d(, ) ( ) ( ) ( ) n n 3. Dos ectores son ortogonales si ( ) 0 4. Si tres ectores son coplanarios el prodcto mixto es 0. ORTONORMALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT Dos ectores son ortogonales si ( ) 0 y n Sistema es ortogonal si cada i j. dos ectores del Sistema son ortogonales: 0, i j El teorema de Pitágoras para dos ectores ortogonales: Si el Sistema:,, es ortogonal se erifica qe es Libre. Un sistema de ectores ortogonales nitarios, es decir con norma, es sistema ortonormal: i j 0, i j i, i En el sbespacio ectorial eclídeo n W referido a B,,, qe es na base arbitraria. Se desea obtener na base ortonormal. Para lo cal se sige el procedimiento de Gram-Schmidt 6

7 Álgebra Manel Herás Crso 0-0 Paso Paso Así scesiamente. Spesto obtenido Paso Finalmente e, e,, e Los ectores obtenidos B e e e ortonormal PROYECCIÓN ORTOGONAL A C B B ',,, forman na base de W qe es Sean los ectores AB ; AC. AB ' w proy ( ) La proyección ortogonal de sobre es el segmento AB = ector proyección tiene de módlo cos cos. El en la dirección del ector nitario. Es decir se pede descomponer w w ; w proy ( ) Se dice qe para proyectar ortogonalmente n ector sobre otro se mltiplica escalarmente por el nitario en la dirección, resltando el segmento AB = cos. w proy ( ) ( ) w 7

8 Álgebra Manel Herás Crso 0-0 ( ) w cos w Proyección ortogonal sobre n sbespacio Proyección ortogonal de n ector sobre n sbespacio W referido a B,,, Base ortogonal proyw( ) perp ( ) proy ( ) W W La mejor aproximación de mediante ectores de W reslta ser la proyección ortogonal de sobre W Sbespacios ortogonales Sean U, U W dos sbespacios de n espacio ectorial eclídeo. Se dice qe son ortogonales si U U, 0. Se erifica qe si dos sbespacios son ortogonales s intersección es el ector cero y por tanto s sma es directa. Sbespacio ortogonal a no dado Sea U n sbespacio del espacio ectorial eclídeo W. Se llama sbespacio ortogonal de U al mayor sbespacio de W qe es ortogonal a U. U x W / x 0, U 8