1.3 Estudio de los tensores de segundo orden

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1 1.3 Estudio de los tensores de segundo orden Inariantes tensoriales: determinante y traza olumen deformado Tg 1,Tg 2,Tg 3 dett :=, "{g i }= base de (no depende de la base) olumen sin deformar g,g,g Ejemplo: det1 = 1 a,, b : tr(ab) := a b = tr(ba) ; trt se define por linealidad. Ejemplo: tr1 = 3. Transpuesto e Inerso de un tensor regular (o automorfismo). "TÎ (2) $!T t Î (2) / "Î : T t = T "TÎ (2), regular, $!T 1 Î (2) / T T 1 = T 1 T = 1 (Grupo tensores regulares (n,) (2) ) Autoalores y autoectores Si T Î (2) y Î se dice que es un autoalor de T si $Î, 0, / T = Î ker(t 1) := ) = -autoespacio; := -autoector Cálculo de autoalores: raíces polinomio característico del tensor, () := det(t 1). Coeficientes = inariantes de Jordan. Determinación de autoectores por los núcleos ). Aplicaciones: funciones elementales aplicadas a tensores de segundo orden: T, log(t)... Tensores simétricos y antisimétricos S es simétrico S t = S ; A es antisimétrico A t = A. Tensores ortogonales: rotaciones y simetrías T es ortogonal T t = T 1 ; R(;e) = cos1 + (1cos)ee + sene ; H(e) = 1 2ee El teorema de descomposición polar* Todo tensor regular T se pude descomponer en la 1 forma: T = S Q, donde S = (T t T) 1/2 es simétrico, y Q = S -1 T es ortogonal. Inariantes: a) Determinante; b) Traza Definición intrínseca determinante dett := coeficiente de deformación de olumen entre una base deformada {T g i } y la base sin deformar {g i } Tensor regular (dett 0 kert = {0}) y tensor singular (dett = 0 kert {0}) traza tr(ab) := a b trt se define por linealidad y resulta trt = T ij tr(e i e j ) = T ij ij = T ii nota: trt = T 1 (doble contracción) Cálculo Propiedades dett = det[t ij ] = ijk T i1 T j2 T k3 = ijk T 1i T 2j T 3k algoritmos clásicos: Sarrus, Laplace... det(t) = n dett det(s T) = dets dett det(t t ) = dett det(t 1 ) = 1/detT Inariante por c. de base: dett no cambia de alor aunque cambie la base ( = es el término independiente, coeficiente J 3, del polinomio característico de T) trt = T ii = T 11 + T 22 + T 33 tr(t) = trt tr(s T) = S T t = S t T tr(a + B) = tra + trb tr(t t ) = tr(t) Inariante por c.d.b.: trt = (es el coeficiente de, J 1, en el polinomio característico de T) 2 Curso

2 c) Tensor traspuesto d) Tensor inerso de uno regular Traspuesto T Inerso T 1 Definición Cálculo "TÎ (2) $!T t / "Î : T t = T Ejemplo: (ab) t = ba S = T t S ij = T ji [S ij ] = [T ij ] t Algoritmo de trasposición: intercambio de filas por columnas "TÎ (2), regular, $!T -1 / T T -1 = T -1 T = 1 Ejemplo:Siab : (1 + ab) 1 = 1 ab [T 1 ij] = [T ij ] 1 Algoritmos de inersión (Gauss, Adjunta traspuesta determinante, ) Propiedades Idempotencia: (T t ) t = T Idempotencia: (T 1 ) 1 = T linealidad: (S + T) t = S t + T t (S T) t = T t S t det(t t ) = dett (T 1 ) t = (T t ) 1 = T t (A) -1 = (1/) A -1 (S T) 1 = T 1 S 1 det(a 1 ) = 1/detA (T t ) 1 = (T 1 ) t := T -t 3 Ejemplos y ejercicios de a), b), c) y d) 1. Calcular el traspuesto y el inerso de T = 1 + ab, siendo a = 2i + k, b = 2j 2. Calcular el determinante y la traza del tensor anterior si b = 2j + k 3. Probar (ab) t = ba aplicando la definición i ió intrínseca 4. Probar (S T) 1 = T 1 S 1 5. Probar que T T (2) el tensor A = T t T es un tensor simétrico; si además T es regular, A es definido positio. Misma cuestión para el tensor A* = T T t. 6. Calcular l W t siendo W = y un ector dado d no nulo. 4 Curso

3 e) Autoanálisis de un tensor: autoalores y autoectores Objetio: describir geométricamente la acción de un tensor arbitrario T de (2). Definiciones Dado T (2) si $Î, 0 y $Î / T =, se llaman = autoalor de T y = - autoector. Espectro de T, (T) = {Î / = autoalor de T} El conjunto de autoectores asociados a un mismo autoalor, es el subespacio ectorial () := (ker(t l) y se llama -autoespacio o s.. propio asociado a. Cálculos (T) det(t 1) = 0 : ecuación característica de T. O sea: = autoalor de T es raíz de la ec. característica. El polinomio característico () = det(t 1) es inariante por c. de b.; sus coeficientes se llaman inariantes de Jordan de T, denotados J i (T) y son los escalares: J 1 (T) = trazat, J 2 (T) = suma menores es ppales. es.de 2º orden, ode,j 3 (T) = dett. Obs: los autoalores se relacionan con los inariantes de Jordan: dett = 1 2 3, trazat = , J 2 (T) = = -autoector Î ker(t 1) := ) = -autoespacio (subespacio ectorial asociado al autoalor ; es inariante por la acción del tensor: en él T se comporta como una homotecia de razón ). Índice de Jordan de, () := dim(); orden de multiplicidad de = N(). T diagonalizable () = (). 5 Aplicaciones (1): diagonalización de un tensor Un tensor T es diagonalizable: si existe una base de formada por autoectores de T (autobase o base propia). Porque en tal base T tiene una matriz diagonal: ˆ 1 t T ij eˆ ˆ ˆ 1 e2 e T T T C Thk CQ Thk Q ˆ i 0 0 e 3 de modo que la matriz dada que se tenga de T es semejante a una matriz diagonal: Son diagonalizables con certeza los tensores con tres autoalores reales simples (distintos) y también los tensores simétricos (en este caso la autobase es además ortogonal y sus unitarios se llaman direcciones principales del tensor) Son dudosos los tensores con autoalores reales múltiples. Se estudia si J() = N(); si J() < N() el tensor no es diagonalizable. No son diagonalizables sobre los tensores con autoalores complejos. Ventajas de la forma diagonal, en particular si la base de autoectores es ortonormal: interpretación geométrica de la acción de un tensor: figura siguiente Ejemplos de simplificaciones: Algunos autoanálisis pueden hacerse por consideraciones geométricas (sin cálculos): 1) rotación de ángulo alrededor de un eje e; 2) simetría respecto de un plano {e} (diapos. 8) 6 A eces la matriz de T permite deducir un autoector: 3) PR1.20: e 1 y e 2 son autoec. de T. Curso

4 Aplicaciones (2): interpretación geométrica de los autoectores y autoalores Los autoectores se corresponden con direcciones que se conseran al actuar el tensor (incluyendo o no el sentido). La recta generada por el autoector, se consera tras la acción del tensor: recta inariante. El tensor sobre una recta inariante se comporta como una homotecia de razón el autoalor. w 2 Si se dispone de una base de autoectores, {w i },se puede calcular gráficamente la imagen de cualquier ector, como se indica en la figura: se descompone en la autobase, = ; luego, se calculan por homotecias de 2 T 1 1 ) w 1 razones i las imágenes T 1 y T 2 ; finalmente T = T 1 + T 2, por la linealidad de T. En dimensión 3, si hay un autoalor doble con índice de Jordan 2, su autoespacio () será un plano ectorial y en ese plano el tensor T uele a comportarse como ina homotecia de razón el autoalor. 7 Ejemplos / e) Autoalores, autoectores y aplicaciones Ejemplo 1: (interpretación geométrica o intrínseca) Aplicando el concepto, determinar los autoalores y autoectores de una rotación R(; e) una simetría respecto de un plano {e} el tensor unidad 1 (uso de la definición directamente) una simetría respecto de un eje ({e}) (ejercicio de razonamiento geométrico) el tensor 1 + ee (uso de ambos métodos: geométrico-intrínseco y analítico o en componentes) Cálculo gráfico de T en términos de autoalores y autoectores de T. Obseración(!): = 0 (T) kert {0} y entonces (0) = kert Problemas: PR1.11, PR1.13, PR1.14, PR1.16. También, PR1.21, apartado 1). Ejemplo 2: Probar que si  = C -1 A C (matrices semejantes) entonces  m = C -1 Am C para cualquier potencia mî 2 a 0 a 0 Ejemplo 3: Calcular y deducir el alor de supuesto a, b > 0 0 b 0 b m a 0 Ejemplo 4: Calcular la matriz donde m es un entero (ejercicio) 0 b Ejemplo 5: Calcular la matriz M = 2 2 A, siendo A Curso

5 f) Tensores simétricos, antisimétricos y ortogonales Tensores simétricos y su descomposición espectral Definición y caracterización: S es simétrico S t = S " : S = S "u, : u S = S u Teorema de descomposición espectral: todo tensor simétrico admite una base ortonormal de autoectores {ê i } y autoalores reales de modo que: S = 1 ê 1 ê ê 2 ê ê 3 ê 3 Aplicaciones: Ali i signatura de una forma cuadrática y su clasificación; ió utilidad d de las direcciones i principales Tensores antisimétricos y su ector axial Definición y caracterización: A es antisimétrico A t = A " : A = A "u, : u A = A u Teorema del ector axial: todo tensor antisimétrico A admite un ector axial tal que : A =. El ector axial kera Descomposición de tensores en suma parte simétrica ½(T+T t ) y parte antisimétrica, ½(TT t ) Tensores ortogonales Definición y caracterización: Q es ortogonal Q t = Q 1 Q consera el producto escalar: " u, : (Q u) (Q ) = u (aplicación conforme, pues Q conserará los ángulos y las distancias) Teorema (clasificación): Todo tensor ortogonal tiene determinante 1 ó 1 (no cierto al reés); los de determinante 1 son rotaciones alrededor de un eje; y los de determinante 1 son simetrías respecto de un plano o el producto de una rotación por una simetría. Los tensores ortogonales forman un subgrupo (n,) del grupo de automorfismo o tensores regulares (n,). Las rotaciones a su ez son subgrupo de. 9 Cuadro resumen: Tensor SIMÉTRICO Tensor ANTISIMÉTRICO Tensor ORTOGONAL Definición y caracterización Propiedad fundamental c S es simétrico S t = S A es antisimétrico A t = A Q es ortogonal Q t = Q 1 : S = S Sij = S : A ij t = A Q Q t = Q t Q = 1 Aij = Aij ' t Q ij Qij = En particular: A 11 = A 22 = A 33 = S es un tensor simétrico S tiene A es antisimétrico / A = Q es ortogonal consera el tres autoalores reales con tres producto escalar, en el sentido correspondientes autoectores, o sea, tal que siguiente: mutuamente ortogonales. u, : (Q u) (Q ) = u Si 1, 2, 3, son los autoalores de A = y en particular Q consera los S, y {ê 1,ê 2,ê 3 } son los autoectores ángulos y los módulos de los se llama ector axial de A respectios normalizados, entonces ectores que transforme. 0 A12 A13 S se puede expresar en esa base Además: ortonormal mediante la forma Si Aij A12 0 A Q es ortogonal Q es una rotación 23 diádica: A13 A23 0 ectorial R(e;) o Q es una simetría H(e) o Q es el producto de una S = 1 ê 1 ê ê 2 ê ê 3 ê 3 entonces: rotación y una simetría. (representación espectral de S) -A23 Además, Q es ortogonal detq = = A 13 es su ector axial. ±1, y -A12 Q es una rotación detq = 1 (siendo Q ortogonal preiamente). 10 Curso

6 autoanálisis y expresiones reducidas esión reducida Autoanálisis y expre Tensor simétrico S es pues diagonalizable: la representación matricial de S en sus autoectores {ê i } es la matriz diagonal: 0 Ŝ ij = Tensor antisimétrico A no es diagonalizable al tener autoalores complejos. Su representación matricial más sencilla se obtiene en la base: e 3 = 1 {} (arbitrario), e 2 := e 3 e 1, resultando: 0 0 [Â ij ] = Tensor ortogonal Si Q es una rotación R(e;), Q no es diagonalizable y se estudia aparte. Si Q es una simetría H(e), Q es diagonalizable. Ejemplo 1: Demostrar que el producto de dos rotaciones es una nuea rotación. Ejemplo 2: Probar que el producto de dos simetrías respecto de dos planos 1 y 2 es una rotación e identificar el eje en términos de dichos planos. 11 g) Rotaciones y simetrías Expresión intrínseca de una rotación: R = R(;e) = cos 1 + (1-cos)ee + sen e Aplicaciones: es tal que trr = 1+2cos. 1 e es el ector axial del tensor e = ( R R t ) en la dirección del autoector del 2sen autoalor = 1 que necesariamente tiene la rotación Expresión intrínseca de una simetría respecto {e} : H(e) = 1 2ee e = autoector del autoalor = 1 que debe tener H = unitario del ector característico del plano de simetría. plano de simetría dado por {e}. Ejemplo 2: Apuntes, Simetría respecto de un eje e 12 Curso

7 P N O M e R P' R OPOM MNNP OM e e (proyección al eje) dir.: MP MP MN cosmp mód.: MP cos cos 1 ee e dir.: e e NP MP sen mód.: MP sen sen e MP sen sen e MP En consecuencia: R cos 1 (1 cos ) e e sen e 13 M e O N H H ON 2 ee H12ee 14 Curso

8 T i i 2 1 (T) i ( ) 2 2 [ Tij] T Tj 3j 2 3 (T) j (3) Curso