Para poder desarrollar este tema, vamos a exponer inicialmente la teoría Recordaremos el Producto Escalar, Vectorial y Mixto. u, v, w V.

Transcripción

1 1. Introducción Producto Escalar. 1.. Norma de un Vector Ángulos Ortogonalidad Particularización del Producto Escalar a V Producto Vectorial de dos Vectores de V Producto Mixto.. Ángulos..1. Ángulo de dos Rectas... Ángulo de dos Planos..3. Ángulo de Recta y Plano. 3. Paralelismo Paralelismo de Rectas. 3.. Paralelismo de Recta y Plano. 4. Perpendicularidad Perpendicularidad de Rectas. 4.. Perpendicularidad de Recta y Plano Perpendicularidad de Planos. 5. Distancias Distancia de un Punto a un Plano. 5.. Distancia entre Planos Distancia de un Punto a una Recta Distancia entre Rectas. 6. Áreas Área del Paralelogramo. 6.. Área del Triángulo. 7. Volúmenes Volumen del Paralelepípedo. 7.. Volumen del Tetraedro. Bibliografía Recomendada. 1/14

2 1. INTRODUCCIÓN. Para poder desarrollar este tema, vamos a exponer inicialmente la teoría Recordaremos el Producto Escalar, Vectorial y Mixto. necesaria Producto Escalar. Sea V un espacio vectorial real. VxV R Se llama producto escalar V toda aplicación: (u,v ) u v 1. u u > 0 si u 0 que verifica:. u v = v u 3. u (v + w) = u v + u w 4. u (αv ) = α(u v ) u, v, w V α R Llamaremos producto escalar de (u,v ) por la aplicación). u y v al número real u v (la imagen del par Como consecuencia directa de las axiones se tiene: PROP Se verifican las siguientes igualdades: 1) (u + v ) w = u w + v w u, v, w V ) (αu )v = α(u v) α R 3) u O = 0 4) u u = 0 u = O Dem. Inmediatas a partir de los axiomas. Abreviadamente, un producto escalar es una forma bilineal, simétrica y definida positiva en V. /14

3 1.. Norma de un Vector. Definido un producto escalar en V, se llama norma de un vector u al número real u = u u. (Tiene sentido pues u u 0 u V ). TEOREMA u, v V se verifica u v u v D u + αv = (u + αv )(u +αv ) = u + α(u v ) + α 0 v (u v ) 0 (u v u ) u v v 1.3.Ángulos. Si u y v son no nulos se tiene u v u v 1 1 u v u v 1 y de aquí Definimos entonces el coseno del ángulo formado por dos vectores como u v cos(u, v ) = 1.4.Ortogonalidad. u v ( ) En virtud de la definición anterior parece lógico definir la ortogonalidad de en función del valor de la expresión anterior Diremos que los vectores u y v son Ortogonales si cos(u, v ) = 0. PROP u, v ortogonales u v = 0 Dem. Inmediata. 3/14

4 1.5. Particularización del Producto Escalar a V 3. Si B = {u, u,u 3 } es una base V 3, entonces u = x 1 u 1 + x u + x 3 u 3 v = x 1 u 1 + x u + x 3 u 3 y por las propiedades de linealidad u v = (x u + x u + x u ) (x ú + x ú + x ú ) = 3 (x x )(u u ) i j i j i, j =1 El producto escalar queda conocido cuando se conoce los valores de los 9 productos escalares u i u j (en realidad sólo 6 por simetría). El producto escalar de u y v es sumamente sencillo si la base {u 1, u, u 3 } formada por vectores ortogonales dos a dos y unitarios (de norma 1) pues entonces está u 1 u 1 = u u = u 3 u 3 = u 1 = u = u 3 = 1 y u 1 u = u 1 u 3 = u u 3 = 0 u v = x x +x x +x x Una base con las características anteriores se dice que es ortogonal, y en dicha base se tiene u = x + x + x cos(u, v ) = 1 3 x 1 x 1 +x x +x 3 x 3 x + x + x x + x + x OBS La particularización a V es análoga 1.6. Producto Vectorial de dos Vectores de V 3. Sea B = {u 1, u,u 3 } una base ortogonal de V 3. Llamaremos Producto Vectorial x x x x x x ,,. x x 3 x 3 x 1 x 1 x de u = (x, x, x ) y v= (x, x, x ) al vector u x v = PROP Se verifica: 1) u x v = u v (sen(u, v )) ) (u x v) u = 0 (u x v) v = 0 4/14

5 3) Si u, v son linealmente independientes, entonces u, v, u xv determinan una base de V 3, y si det(u, u, u 3 ) > 0, también es det(u, v, u x v ) > 0. Dem. 1) u x v = x x x 3 + x 3 x 3 x 3 x 1 + x 1 x 1 x 1 x = x = (x x x x ) + (x x x x ) + (x x x x ) = = x x 3 +x 3 x +x 3 x +x 1 x 3 + x 1 x +x x 1 x x 3 x x 3 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 x Sumando y restando x x +x x +x x se tiene ( )( ) ( ) x 1 + x + x 3 x 1 +x +x 3 x 1 x 1 +x x + x 3 x 3 x x 3 x x 3 x 3 x 1 x 3 x 1 x 1 x x = (x + x + x )(x +x +x ) (x x + x x +x x ) = = u v u v ) = u v 1 u v u v u x v = u v sen (u, v) ) (u x v) u = x x x x x x x + x 3 x x 3 x x 1 x x 3 1 x 1 x = x x x 3 1 x 1 x x = 0 3 x x 3 (u x v) v = x x x x 3 x 3 x x 1 x 1 + x + x 1 x = x 1 3 x 1 x x 3 x 3 x 1 x 1 x x 1 x x 3 x = 0 3 x 3 al ser determinantes con dos filas iguales. x 1 3) det(u, v, u x v ) = x x x 1 x 3 x 3 x x 3 x x det (u, u,u ) = 3 3 x 3 x 1 x 1 x x 3 x 1 x 1 x 5/14

6 x x x x x x = det (u, u,u ) x x x x x x signo det(u, v, u x v ) = signo det(u, u, u ) 3 Las dos primeras propiedades probadas tienen el siguiente significado: 1) u x v = u v sen α, que es el área del paralelogramo determinando por representaciones con origen común de u, v. ) El producto vectorial de u y v es un vector ortogonal a la vez a u y v Producto Mixto. Dados los vectores [x, y, z] = x (y x z ) x, y, z, definimos su producto mixto como el número real Si expresamos los tres vectores mediante sus coordenadas en una determinada base, podemos escribir su producto mixto como: x = (x, x, x ) 1 3 y= (y, y, y ) x ( yx z) = x y z = (z, z ), z 3 y 3 + x y 3 y 1 + x y 1 y = z z 3 z 3 z 1 z 1 z x 1 x = y 1 y z 1 z x 3 y = det(x, y, z ) 3 z 3 Interpretación geométrica. El producto mixto es donde y yx z x ( yx z) = x y x z cos(x, y x z ) = y x z x cos(x, y x z) Es el área del paralelogramo definido por ambos vectores x cos(x, y x z ) Es la proyección de x sobre la dirección normal al plano determinado por los otros dos vectores. Luego [x, y, z] = Volumen del paralelepípedo de aristas concurrentes x, y, z 6/14

7 . ÁNGULOS..1.Ángulo de dos Rectas. El producto escalar definido en V 3 (o V ) permite el estudio del ángulo que forman dos rectas en el espacio afín (o el plano afín). Sean r y s dos rectas de vectores directores u y v respectivamente. Llamamos ángulo de r y s al menor de los ángulos que determinan los vectores u y v. La medida del ángulo de r y s es el número real que verifica: u v cos (ϕ) = u v 0 (ϕ) Η OBS Definimos así el ángulo de dos rectas aún en el caso de que éstas se crucen. Si el sistema de referencia es ortogonal y las dos rectas las expresamos como r x x 1 = y y 1 = z z 1 s x x = y y = z z a b c a b c entonces cos(r, s) = aa +bb +cc a + b + c a +b +c..ángulos de dos Planos. Sean π y π dos planos, y n, n sus vectores normales. Sabemos que el ángulo que forman los dos planos es igual al ángulo que forman dos rectas normales de direcciones n y n. Sean π y π planos de vectores normales n y ángulo de π y π al menor ángulo que forman n y n. n respectivamente. Llamamos Su medida será el número real ϕ que verifica las dos condiciones siguientes: 1. cos (ϕ) = n n n n. 0 (ϕ) Η 7/14

8 Si los planos vienen dados por sus ecuaciones generales, con vectores normales: Η Ax + By + Cz + D = 0 Η' A x + B y + C z + D = 0 n= (A, B, C) n = ( A, B,C ) luego cos(η,η') = AA +BB +CC A + B + C A +B +C.3.Ángulo de Recta y Plano. Sea π un plano y r una recta (no perpendicular). Sabemos que el ángulo de π y r es el formado por r y su proyección ortogonal, r, sobre π. Pero dicho ángulo es el complementario del formado por u, vector director de la recta, y n, vector normal al plano. n. Así pues, definiremos α = (r,π) como el menor de los ángulos que forman u y Su medida será el número real que verifica: 1. cos(η α)= sen α = u n u n. 0 α Η Si r x x y y z z = = y Η Ax + By + Cz + D = 0 a b c entre sen(r,η) = senα = Aa + Bb + Cc A + B + C a + b + c 3. PARALELISMO Paralelismo de Rectas. Diremos que las rectas r y s son paralelas si el ángulo que determinan verifica que Cos(r,s)=1. PROP Las rectas r y s son paralelas u y v son L. D. siendo ambos vectores los vectores directores de las rectas. Dem. r, s paralelas cos(r, s ) = 1 (aa +bb +cc ) = (a + b + c )(a +b +c ) 8/14

9 aa bb +aa cc +bb cc = a b +a c +b a +b c +b c +c a +c b (ab ba ) + (ac a c) + (bc b c) = 0 ab ba = 0 ac a c = 0 bc b c = 0 a = b a b a = c a c b = c b c cqd 3.. Paralelismo de Recta y Plano. Diremos que la recta r y el plano π son paralelos si el ángulo que determinan verifica que Senα=0. 4. PERPENDICULARIDAD Perpendicularidad de Rectas. Las rectas r y s son perpendiculares si u v = 0 PROP Las rectas r y s son perpendiculares si aa +bb +cc = 0, siendo (a,b,c) las coordenadas que determinan el vector director de la recta r y (a,b,c ) las del vector director de la recta s. Dem. r y s son perpendiculares cos(ϕ) = 0 aa'+bb +cc = Perpendicularidad de Recta y Plano. PROP r y π son perpendiculares si u y n son Linealmente Dependientes. OBS La Proposición anterior significa que rang a b c = 1 a b c = = A B C A B C 4.3. Perpendicularidad de Planos. Los planos π y π son perpendiculares si verifican Cosϕ=0. PROP Los planos π y π son perpendiculares si se verifica que AA +BB +CC =0, siendo (A,B,C) y (A,B,C ) las coordenadas de los vectores normales a cada plano. 5. DISTANCIAS. Sea A y B dos puntos del espacio afín euclideo E 3. Se llama distancia de A a B a la norma del vector AB. 9/14

10 d (A, B) = AB z x a A B Si a es el vector de posición A (que nos da las coordenadas de A en la b y referencia) y b el vector de posición de B, se tiene: d (A, B) = b a Así, si A(x 1, y 1, z 1 ) y B(x y z ) se tendrá como expresión de la distancia entre dos puntos (si el sistema de referencia es ortonormal) d (A, B) = (x x 1 ) + (y y 1 ) + (z z 1 ) PROP La aplicación d: E 3 x E 3 R verifica: 1) d (A, B) 0 y si d (A, B) = 0 A = B ) d (A, B) = d (B, A) 3) d (A, B) d (A, C) + d(c, B) a, B, C E 3 Dem. Las dos primeras son inmediatas y la tercera es una consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Swartz. d (A, B) = AB = AC + CB AC + CB Conclusión Así pues, (E 3, d) es un espacio métrico Distancia de un Punto a un Plano. α P(x,y,z ) Sea M un plano y P un punto. Se define la distancia de P a Π como min{d(p, P )} donde P Π. P' P'' Dicho mínimo se alcanza cuando P = P, pie de L perpendicular trazado por P a Π, pues entonces: PP PP cosα = PP'' P Π 10/14

11 Si u es un vector normal al plano, se tiene que: PP n = PP n cosα = PP' ' n de donde d (P, Π) = PP' ' = PP n n Así, si P(x, y o, z o ), Π Ax + By + Cz + D = 0 se tendrá que o d (P,Π) = A(x x o ) + B(y y o ) + C(z z o ) = A + B + C Ax o + By o + Cz o + D A + B + C 5.. Distancia entre Planos. Sean π y π dos planos. Definimos la distancia entre ellos como d (Η,Η') = d min (A, B), A Η B Η' Sólo tendrá sentido cuando π y π sean paralelos, en cuyo caso basta calcular la distancia de un punto cualquiera de π al plano π. Si no fuesen paralelos la intersección no sería vacía y la distancia es cero Distancia de un Punto a una Recta. Sea r una recta y P un punto. Se llama distancia de P a r a d (P, r ) = min{d(p, P )} {donde P r}. Esta claro que si P es un punto cualquiera de r y α el ángulo que determina PP y u (vector director de r) se tendrá que PP PP senα = PP o, luego dicho mínimo se alcanza cuando P o es el pie de la perpendicular desde P a r. Teniendo en cuenta lo anterior, podemos expresar la distancia de un punto a una recta como sigue: PP usen α PP xu d (P, r ) = PP o = (recordar def. de prod. vectorial) = u u Así si P(x o, y o, z o ) P (x, y, z ) y r x x a = y y 1 b = z z 1 c 11/14

12 b c + c a + a b d (P, r ) = y 1 y o z 1 z o z 1 z o x 1 x o a + b + c x 1 x o y 1 y o 5.4. Distancia entre Rectas. Dadas dos rectas r, s definimos d (r, s) = min ( ) d A, B, A r B s Sólo tendrá interés cuando r y s sean paralelas y cuando se crucen. En el caso de que sean paralelas se reduce a calcular la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra recta. Y esa situación ya la hemos visto. En el caso de que se crucen, la distancia entre las rectas es también la distancia entre el plano paralelo a s que contiene r y el plano paralelo a r que contiene s. B A v u u r v AB (u x v ) [AB, u, v ] det(ab,u, v) Así d (r, s) = = = u x v u x v u xv s d (r, s) = d (α, ) = AB n n donde n es un vector normal a ambos planos y por tanto normal a u y a v. Podemos tomar n = u x v. cuando x x r o = y y o = z z o s x x 1 = y y 1 = z z 1 a b c a b c d (r, s) = x 1 x o a a b c c + b c c y 1 y 0 b b z 1 z o c c (referencia ortogonal) a a b + a a b 1/14

13 6. ÁREAS. Aun cuando el producto vectorial no nos resuelve el problema general del área, si puede ayudarnos a calcular determinadas áreas como las del paralelogramo y triángulo y cualquier otra figura geométrica que se pueda reducir a éstas. 6.1.Área del Paralelogramo. A α D C Sea ABDC un paralelogramo. Sabemos que su área es el producto de su base por su altura y h tomemos como base = AB y como altura h = AC senα donde α = ang (AB, AC) B Por la definición de producto vectorial A = AB x AC 6..Área del Triángulo. Dado un triángulo ABC, su área es la mitad de la del paralelogramo ABCD. Luego A = 1 AB x AC 7. VOLUMENES Volumen del paralelepipedo. n h D Consideremos el paralelepípedo determinado por 3 aristas concurrentes en un vértice AB, AC, AD. h C Admitimos que su volumen es el área de la base por la altura. A B A. base = AB x AC La altura h es la distancia de D al plano ABC y dado que normal a dicho plano. h = d (D, plano ABC ) = AD (ABx AC) AB x AC de donde n = AB x AC es un vector 13/14

14 V = AD (AB x AC) AB x AC AB x AC = [AD, AB, AC] = det(ab, AC, AD) 7.. Volumen de un Tetraedro. D El tetraedro ABCD es una pirámide h V = Abase x h 3 A C B h = d (D, plano ABC ) = Abase = AD (AB x AC) AB x AC AB x AC de donde, trivialmente V = 1 det(ab, AC, AD) 6 Bibliografía Recomendada. Curso de Álgebra y Geometría. Aut. Juan de Burgos. Ed. Alambra Universidad. Álgebra Lineal. Aut. F. Puerta. Ed. Univ. Politécnica de Barcelona. Matemáticas COU teoría, tomo 1. Aut.: Vizmanos-Anzola. Matemáticas COU. Aut.: J. García - S. Rellicer. Ed. Marfil. En general cualquier texto del antiguo COU 14/14