6.1. Introducción Ángulo entre dos vectores El producto escalar. 6. Geometría (Vectores)

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1 6 - Geometría (Vectores) 1 6. Geometría (Vectores) 6.1. Introducción Comenzaremosintroduciendo en V 3, espacio vectorialde los vectoreslibres del espacio,el producto escalar devectoresexactamentedelamismaformaquehicimosenv.todaslasdefinicionesydemostracionesson exactamente idénticas. A continuación definiremos una nueva y sorprendente herramienta el producto vectorial, y hablaremos de sus propiedades para finalizar con el sorprendente producto mixto. A partir de ese momento, comenzaremos armados con estas herramientas el estudio del espacio, y de sus elementos: puntos rectas y planos, y los problemas de posición relativa entre ellos. 6.. Ángulo entre dos vectores Se llama ángulo determinado por los vectores y, y se designa (, ), al menor de los ángulos (en valor absoluto) que determinan ambos vectores puestos con el mismo origen. #»w w #» #» #» α (, ) α t v β ( #» w, #» t) β #» t Notas: ( u, v) ( v, u) ( u, v) [0,180 ] Si uno de los vectores fuese el vector nulo, 0, la definición carece de sentido El producto escalar Dados los vectores no nulos y definimos su producto escalar como el número cos (, ) en caso de que #» 0 o #» 0 definimos 0 Observaciones importantes: Atención!, u v es un número! (se define como el producto de tres números), por eso se le llama producto escalar.

2 c rafaselecciones Como y son números positivos, el signo de dependerá de cos( #» u, ) u v > 0 pues cos ( u, v) > 0 u v < 0 pues cos ( u, v) < 0 Con dos vectores no nulos se tiene: u v 0 ( u, v) 90 pues la única posibilidad es que se anule el coseno. Así podemos enunciar: u v u v 0 u u u pues cos0 1 u v ±p u, es decir: el producto escalar de dos vectores es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección ortogonal (con el signo conveniente) del otro sobre él. Aclaración: a) cosα p v p v cosα u v u v cosα p u b) cos(180 α) p v p v cos(180 α) v cosα u v u v cosα p u v v α p α u p u Commutativa: Distributiva: ( #» w) #» w Asociativa: (r ) (r ) r ( ) Expresión analítica del producto escalar: Si trabajamos con base ortonormal, es decir {,, } con ( #» i, ) ( #» j, ) ( #» i, ) 90 y #» { i #»i #» #» #» #» #» #» j j k i k 0 k 1 de forma que #» #» #» #» #» i j j k k 1 Así si (u1,u,u 3) y (v 1,v,v 3) se tendrá: #» #» #» #» #» #» #» #» (u1 i u j u3 k) (v1 i v j v3 k) u1 i v1 i #» u #» #» 1 i v j u #» 1 i v3 k #» u #» #» j v1 i u j #» #» v j u #» #» j v3 k u #» #» 3 k v3 i u #» #» #» 3 k v j u3 k v3 k u1v 1 u v u 3v 3 El módulo: #» u u 1 u u 3 El ángulo: cos( #» u, #» v) u 1v 1 u v u 3v 3 u 1 u u 3 v 1 v v El producto vectorial. Definición Si (u1,u,u 3) y (v 1,v,v 3) definimos el producto vectorial como el vector ( ) u 3 v v v 3, v 1 v 3, u 1 u definición que es más fácil de recordar como determinante v 1 v #» #» j k también vale traspuesto u1 v 1 u v u3 v 3

3 6 - Geometría (Vectores) 3 por ejemplo si desarrollamos por F 1 (,3,1) y ( 1,,4) y ahora o aplicamos Sarrus o #» #» #» 10 i 9 j 7 k (10, 9,7) 6.5. El producto vectorial. Propiedades La mayoría de las propiedades se deducen fácilmente de las propiedades de los determinantes. 1. Anticonmutativa: hacemos el cambio F F 3. Distributiva: ( #» w) #» w #» #» j k ( w) #» [por linealidad de los determinantes en F 3 ] v 1 w 1 v w v 3 w 3 #» #» j k #» #» j k w w 1 w w 3 3. Pseudoasociativa: (r ) r( ) (r ) ru 1 ru ru 3 r rv 1 rv rv 3 4. Caracterización. Importante. El vector es perpendicular a y a, y por tanto al plano que ambos determinan. El sentido del vector sigue la regla del sacacorchos que describe el dibujo. El módulo de determinado por y. es el área del paralelogramo sen (, ) Veamos la primera: para comprobar que y que vamos a hacerlo probando que ( ) 0 y que ( ) 0, y ambos resultados son ciertos pues corresponden a determinantes con dos filas iguales; veamos uno de ellos: ( ( u 3 v) (u1,u,u 3) v v 3, v 1 v 3, u 1 u v 1 v u u 3 u 1 u u 1 v v 3 u v 1 v 3 u3 v 1 v ) 0

4 4 c rafaselecciones pues corresponde al desarrollo del determinante por F 1, y da un determinante con dos filas iguales. Prueba tú el otro resultado: ( ) 0 La segunda se puede comprobar con casos particulares sencillos ( por qué no pruebas con los vectores,,?), pero la tercera propiedad, la del módulo, requiere de unos cálculos engorrosos que vienen a continuación y si lo deseas te puedes saltar: ( sen( #» u, #» v)) ( ) sen (#» u, ) #» ( ) v 1 cos (#» u, ) cos (, ) ( ) (u 1 u u 3) (v1 v v3) (u 1v 1 u v u 3v 3) u 1 v1 u 1v u 1v3 u v1 u v u v3 u 3v1 u 3v u 3 v3 u 1v 1u 1v 1 u 1v 1u v u 1v 1u 3v 3 u v u 1v 1 u v u v u v u 3v 3 u 3v 3u 1v 1 u 3v 3u v u 3v 3u 3v 3 y reordenando... u v 3 u v u 3v 3 u 3v 3u v u 3v u 1v 3 u 1v 1u 3v 3 u 3v 3u 1v 1 u 3v 1 u 1v u 1v 1u v u v u 1v 1 u v 1 u v 3 u v 3u 3v u 3v u 1v 3 u 1v 3u 3v 1 u 3v 1 u 1v u 1v u v 1 u v 1 (u v 3 u 3v ) ( u 1v 3 u 3v 1) (u 1v u v 1) u u 3 u 1 u 3 u 1 u v v 3 v 1 v 3 v 1 v de donde sen (, ) que, como puedes comprobar, es el área del paralelogramo que determinan. Me hizo gracia cuando a alguien, no recuerdo a quién, le oí hablar de este área como la sombra de 6.6. El producto mixto La última herramienta que vamos a introducir nos relaciona armoniosa y sorprendentemente los dos productos conocidos con un concepto que hemos introducido hace poco, el determinante: Llamaremos producto mixto de los vectores, y #» w al número [,, #» w] ( #» w) Veamos quién es este número ) [,, w] #» ( w) v 3 (u 1,u,u 3) ( w w 3, v 1 v 3 w 1 w 3, v 1 v w 1 w v v 3 v 1 v 3 v 1 v u 1 w w 3 u w 1 w 3 u3 w 1 w el determinante! w 1 w w 3

5 6 - Geometría (Vectores) 5 Y ahora asombrémonos!: [,, w] #» ( w) #» w cos #» (, w) #» #» u área de la base cos (, w) #» w #» #» u cosα área de la base altura VOLUMEN DEL PARALELEPÍPEDO el valor absoluto nos evitó problemas con los signos provocados por la aplicación de la regla del sacacorchos. h α #» w #»w cosα h h cosα El valor absoluto del producto mixto de tres vectores es el volumen del paralelepípedo determinado por ellos. Ybasta un simple determinante para calcularlo! Qué pasará con el volumen del tetraedro determinado por tres vectores? Reflexión: Reflexiona ahora sobre la dependencia o independencia lineal y esta nueva herramienta.