Tema 13: Espacio vectorial

Transcripción

1 Tema 1: Espacio vectorial 1. Vectores en el espacio Un vector fijo del espacio es un segmento AB ordenado donde A y B son puntos del espacio. Lo representaremos por AB, siendo A el origen y B el extremo. Al igual que en el plano, un vector del espacio AB se caracteriza por su: - módulo: longitud del segmento AB. Lo expresamos AB. - dirección: la de la recta que lo contiene. - sentido: el del origen hacia el extremo. Se dice que dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Vector libre v es el conjunto de vectores equipolentes a uno dado. Llamaremos V al conjunto de los vectores libres del espacio.. Operaciones con vectores.1 Producto por número real Sea k R y u V. Definimos el producto k u como el vector libre que tiene por módulo k veces el de u, dirección la del vector u y, sentido el de u si k > 0 o contrario a u si k < 0. k u V..1.1 Propiedades del producto por números reales α, β R, u, v V, se cumple: P1] Distributiva respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u + α v P] Distributiva respecto de la suma de escalares: (α + β) u = α u +β u P] Asociativa: (α β) u = α (β u ) P4] 1 u = u.. Suma de vectores libres Gráficamente, para sumar dos vectores libres u y v, hacemos coincidir el extremo del primero con el origen del segundo. El vector suma se obtiene uniendo el origen de u con el extremo de v. También podemos utilizar la regla del paralelogramo: 1

2 ..1 Propiedades de la suma de vectores libres u, v, w V, se cumple: S1] Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w ) S] Conmutativa: u + v = v + u S] Elemento neutro: 0 V tal que 0 + u = u + 0 = u S4] Elemento opuesto: u V ( u ) V tal que u + ( u ) = 0. El espacio vectorial de los vectores libres del espacio V Con las propiedades descritas en los apartados anteriores, se dice que el conjunto V de los vectores libres del espacio tiene estructura de espacio vectorial..1 Combinaciones lineales, vectores linealmente dependientes e independientes. Base - Se dice que un vector u es combinación lineal de un conjunto de vectores {u 1, u, u n } si existen números reales α 1, α, α n tales que u = α 1 u 1 + α u + + α n u n. - Se dice que un conjunto de vectores {u 1, u, u n } es linealmente dependiente (L.D) si, al menos, uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás; en caso contrario, se dice que son linealmente independientes (L.I). - Un conjunto de vectores {u 1, u, u n } es un sistema de generadores si cualquier vector del espacio se puede expresar como combinación lineal de ellos. - Base de un espacio vectorial es cualquier conjunto de vectores que sea linealmente independiente y sistema de generadores. La dimensión de un espacio vectorial es el cardinal de cualquiera de sus bases. En el espacio tridimensional V, el número máximo de vectores linealmente independientes es tres. Así, tres vectores L.I constituyen una base y su dimensión es. Al igual que en el plano, la base canónica del espacio es la formada por los vectores B = {i, j, k } siendo i = (1, 0, 0}, j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1): = 1 0 rg ( 0 1 0) = son linealmente independientes.. Componentes de un vector en una base Un vector v V se puede expresar en función de los vectores de una base B = {u 1, u, u }: v = x u 1 + y u + z u Se llaman componentes del vector v en la base B = {u 1, u, u } a la terna (x, y, z) y lo escribiremos v(x, y, z) en B. Estas componentes son únicas en dicha base.

3 Ejemplo 1 Comprueba que el conjunto de vectores B = {u 1 = (1, 1, 0), u = (0, 1, ), u = (1, 1, )} forman una base del espacio R y halla las componentes del vector u = (4,, 4) en dicha base Como 0 1 = 6 0, rg ( 0 1 ) =. El conjunto de vectores B es linealmente independientes, al tratarse de tres vectores del espacio, forman base. Expresamos el vector u = (4,, 4) como combinación lineal de los de la base: (4,, 4) = α (1, 1, 0) + β (0, 1, ) + γ (1, 1, ) (4,, 4) = (α, α, 0) + (0, β, β) + (γ, γ, γ) (4,, 4) = (α + γ, α + β + γ, β + γ ) obteniendo el sistema: α + γ = 4 { α + β + γ = cuya única solución es α = ; β = 1; γ = 1 β + γ = 4 Así, u = (, 1, 1) en la base B. Ejemplo Dados los vectores u 1 = (, 0, ), u = (1, 1, 0), u = (0,, ) y u 4 = (4,, ) deduce cuántos vectores independientes hay y di si generan R Calculemos el rango de la matriz de componentes de los vectores A = ( 0 1 ) 0 Como 1 0, tenemos que rg(a) 0 1 Orlamos con tercera fila y tercera y cuarta columna: Como 0 1 = 0 y 0 1 = 0 se tiene que rg(a) = 0 0 Solo hay dos vectores linealmente independientes y, por tanto, no generan R 4. Producto escalar de dos vectores en el espacio V Sean u, v vectores libres del espacio. Definimos su producto escalar u v como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman: u v = u v cos (u, v ) Nota: El ángulo de dos vectores es el menor de los ángulos que forman al hacer coincidir sus orígenes. 4.1 Consecuencias de la definición - Si u = 0 o v = 0, entonces u v = 0 - Si (u, v ) = 90º, entonces u v = 0 - u u = u u cos(u, u ) = u cos(0º) = u y, por tanto, u = u u Un vector se denomina unitario si su módulo es la unidad. Una base se llama ortogonal si sus vectores son perpendiculares dos a dos. Una base se llama ortonormal si es ortogonal y de vectores unitarios. (La base canónica) 4. Propiedades del producto escalar u, v, w V, k R 1) Conmutativa: u v = v u

4 ) Asociativa mixta: k (u v) = (k u ) v ) Distributiva respecto de la suma de vectores: u (v + w ) = u v + u w 4) u u 0 5) u u = 0 u = 0 4. Interpretación geométrica del producto escalar Sean u, v dos vectores no nulos, u = OA y v = OB Sea A la proyección de A sobre la semirrecta OB. u v = u v cos(u, v ) = u v = u v cos α En el triángulo OA A se tiene que cos α = OA de donde OA OA = OA cos α = v cos α Por tanto, u v = u OA El producto escalar de dos vectores no nulos u y v es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. 4.4 Expresión analítica del producto escalar Sea B = {e 1, e, e } una base cualquiera del espacio y u y v dos vectores del mismo. Supongamos que u = (u 1, u, u ) y v = (v 1, v, v ) en dicha base. u = u 1 e 1 + u e + u e y v = v 1 e 1 + v e + v e u v = (u 1 e 1 + u e + u e ) (v 1 e 1 + v e + v e ) = = u 1 v 1 (e 1 e 1 ) + u 1 v (e 1 e ) + u 1 v (e 1 e ) + u v 1 (e e 1 ) + u v (e e ) + u v (e e ) + +u v 1 (e e 1 ) + u v (e e ) + u v (e e ) expresión que, en notación matricial, se puede escribir: e 1 e 1 e 1 e e 1 e u v = (u 1, u, u ) ( e e 1 e e e e ) ( v ) e e 1 e e e e v e 1 e 1 e 1 e e 1 e ( e e 1 e e e e ) es la matriz del producto escalar. e e 1 e e e e Si elegimos una base adecuada, la expresión anterior queda más reducida. Así, si la base B = {e 1, e, e } es ortogonal, los productos e i e j = 0 para i j y e i e i = e i : u v = u 1 v 1 e 1 + u v e + u v e Si la base B = {e 1, e, e } es ortonormal, e 1 = e = e = 1, con lo que u v = u 1 v 1 + u v + u v que es la expresión del producto escalar en base ortonormal. La base canónica B del espacio es la formada por los vectores B = {i, j, k } siendo i = (1, 0, 0}, j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) La matriz identidad ( 0 1 0) es la matriz del producto escalar en dicha base Salvo que se diga lo contrario, trabajaremos en base ortonormal porque simplifica notablemente los cálculos. v 1 4

5 Ejemplo Calcula el producto escalar de los vectores u = (, 1, ) y v = ( 1, 1, 5) expresados en una base ortonormal. u v = u 1 v 1 + u v + u v = ( 1) + ( 1) = Ángulo de dos vectores Sean u = (u 1, u, u ) y v = (v 1, v, v ) vectores del espacio en base ortonormal. Vimos que u = u u = u 1 + u + u De la expresión del producto escalar de dos vectores u y v, u v = u v cos(u, v ), tenemos cos(u u 1 v 1 + u v + u v, v ) = u v u v = u 1 + u + u v 1 + v + v expresión que nos proporciona el valor del coseno del ángulo que forman u y v. Ejemplo 4 Calcula el ángulo que determinan los vectores u = (, 1, ) y v = (0,, 1) cos(u u v, v ) = u v = = 4 5 0, Ahora necesitamos saber qué ángulo tiene por coseno ese valor, para lo cual utilizamos arccoseno del valor y obtenemos (u, v ) 16,6 5. Producto vectorial de dos vectores en el espacio V Sean u, v vectores libres del espacio V y B = {i, j, k } la base ortonormal canónica del espacio. Definimos la ley de composición interna, denominada producto vectorial: : VxV V (u, v) u v que asocia a cada par de vectores (u, v) de componentes u = (u 1, u, u ) y v = (v 1, v, v ) el vector u v = ( u u v v ), u u 1 v v, u 1 u 1 v 1 v. El vector u v lo podemos escribir simbólicamente mediante el determinante i j k u u u v = u 1 u u = v v i + u u 1 v v j + u 1 u 1 v 1 v k v 1 v v 5.1 Interpretación geométrica del producto vectorial Vamos a calcular el módulo del vector u v: u v = (u v ) (u v ) = u u v v + u u 1 v v + u 1 u 1 v 1 v = = (u v u v ) + (u v 1 u 1 v ) + (u 1 v u v 1 ) = = u v + u v u v u v + u v 1 + u 1 v u v 1 u 1 v + u 1 v + u v 1 u 1 v u v 1 Sumando y restando u 1 v 1 + u v + u v obtenemos u v = (u 1 + u + u ) (v 1 + v + v ) (u 1 v 1 + u v + u v ) = u v (u v) = u v u v cos (u, v ) = Por tanto u v (1 cos (u, v )) = u v sen (u, v ) 5

6 u v = u v sen(u, v ) Representamos por OA y OB los vectores u y v respectivamente. Formamos el paralelogramo OACB de altura h. Se tiene que h = v sen(u, v ) Ponemos valor absoluto en seno porque el ángulo podría ser obtuso en cuyo caso el seno sería negativo. Por tanto, u v = u h que es el área del paralelogramo OACB, es decir, geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores. 5. Propiedades del producto vectorial Las siguientes propiedades son consecuencia de las propiedades de los determinantes. α R, u, v, w V 1) Anticonmutativa: u v = v u. ) (αu ) v = u (αv) = α(u v) ) Distributiva: u (v + w ) = u v + u w 4) El producto vectorial u v es un vector ortogonal a u y a v Demostración u (u v) = u 1 u u v v + u u u 1 v v 1 + u u 1 u Análogamente v (u (u v)) = 0 5) u v = 0 u y v son linealmente dependientes. Demostración u 1 u u v 1 v = u 1 u u u v = 0 u u v v = 0, u u 1 v v 1 = 0, u 1 u v 1 v = 0 Por tanto, rg ( u 1 u u v 1 v v ) = 1 y u y v son linealmente dependientes. v 1 v v = 0 Como consecuencia de lo expuesto anteriormente, el producto vectorial de dos vectores u y v es un vector w = u v que tiene por: - módulo: u v = u v sen(u, v ). - dirección: perpendicular común a u y v. - sentido: el de avance del sacacorchos que gira de u hacia v. Ejemplo 5 Calcula el área del paralelogramo que determinan los vectores u = ( 4, 0, 5) y v = ( 4,, 0) El área del paralelogramo es el valor del módulo del producto vectorial entre los vectores dados. 6

7 Calculamos el producto vectorial de los vectores u = ( 4, 0, 5) y v = ( 4,, 0): u v = i j k = 15i 0j 1k 4 0 Área del paralelogramo A = ( 15) + ( 0) + ( 1) = 765 u 6. Producto mixto Sean u, v, w V. Definimos producto mixto de los vectores u, v, w, y lo representamos por [u, v, w ], como el producto escalar del primer vector por el vectorial de los otros dos, esto es [u, v, w ] = u (v w ) 6.1 Interpretación geométrica del producto mixto u (v w ) = u v w cos(u, v w Sean OA, OB y OC representantes de los vectores u, v y w respectivamente. Sea h la altura del paralelepípedo cuyas aristas, que concurren en el vértice origen O, son los tres vectores dados. En el triángulo OAD se tiene cos(u, h v w ) = de donde h = u cos(u, v w u ) ) = h v w = volumen del paralelepípedo igualdad que nos dice que el valor absoluto del producto mixto, u (v w ), es igual al volumen del paralelepípedo cuyas aristas, que concurren en el vértice origen O, son los tres vectores dados. 6. Expresión analítica del producto mixto Sean u, v vectores libres del espacio V y B = {i, j, k } la base ortonormal canónica del espacio. u = (u 1, u, u ) y v = (v 1, v, v ). [u, v, w ] = u (v w ) = (u 1, u, u ) ( v v w w, v v 1 w w, v 1 v 1 w 1 w ) = = u 1 v v w w + u v v 1 w w + u v u 1 v 1 u u 1 w 1 w = v 1 v v w 1 w w u 1 u u [u, v, w ] = v 1 v v w 1 w w 6. Propiedades del producto mixto Las siguientes propiedades son consecuencia de las propiedades de los determinantes. 1) El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores pero cambia de signo si éstos se trasponen. [u, v, w ] = [v, w, u ] = [w, u, v] ; [u, v, w ] = [v, u, w ] = [u, w, v] = [w, v, u ] ) [αu, v, w ] = [u, αv, w ] = [u, v, αw ] = α [u, v, w ] ) [u, v, w + w ] = [u, v, w ] + [u, v, w ] 4) [u, v, w ] = 0 u, v, w son linealmente dependientes. 7

8 Ejemplo 6 Calcula el volumen del paralelepípedo definido por los vectores u = (, 1, 5) y v = (4,, 1) y w = (1, 0, 1). 1 5 C C [u, v, w ] = 4 1 = 4 = V paralelepípedo = [u, v, w ] = 19 u Ejemplo 7 Calcula el volumen del tetraedro definido por los vectores u = (, 1, 5) y v = (4,, 1) y w = (1, 0, 1). 1 5 C C [u, v, w ] = 4 1 = 4 = V Tetraedro = 1 6 V paralelepípedo = 1 6 [u, v, w ] = 19 6 u 7. Sistema de referencia cartesiano en el espacio Consideremos un punto origen O en el espacio y una base B = {u 1, u, u }, Al conjunto R = {O; B} lo llamaremos sistema de referencia cartesiano del espacio. Para cualquier punto P se tiene el vector de posición: OP = x u 1 + y u + z u Llamaremos coordenadas del punto P en la referencia R a las componentes del vector OP en la base B y lo escribiremos P(x, y, z). Un vector PQ con origen en el punto P(x, y, z) y extremo en el punto Q(x, y z ) tendrá de componentes PQ (x x, y y, z z) al ser OP + PQ = OQ, de donde PQ = OQ OP. Ejemplo 8 Dados los puntos del espacio P(, 1, ), Q( 1, 1, 5)y R(0,, ) determina las componentes de los vectores PQ, QR y RP. PQ = (,, ) ; QR = (1, 1, 8) ; RP = (,, 6) En el siguiente tema nos ocuparemos de la geometría afín, el espacio afín asociado a un espacio vectorial. En él se consideran los puntos del espacio R y los vectores del espacio vectorial V. A cada punto A y a cada vector v se le hace corresponder un único punto A tal que AA = v. Se determinan las ecuaciones de la recta y del plano en el espacio así como las posiciones relativas. 8