UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES

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1 UNIDAD 2: ESPACIOS VECTORIALES Introducción. Vectores. Adición de vectores. Propiedades. Multiplicación de un vector por un escalar. Propiedades. Módulo o norma de un vector. Vector unitario o versor. Cosenos directores de un vector. Producto escalar. Propiedades. Ángulo entre dos vectores. Condición de ortogonalidad. Proyección ortogonal de un vector sobre un eje. Producto vectorial. Propiedades. Producto mixto. Propiedades. Espacios vectoriales reales. Definición. Ejemplos. Propiedades. Combinación Lineal. Dependencia e independencia lineal. Conjunto generador. Base. Dimensión. Conceptos A partir de la identificación de puntos de la recta con números reales, se puede avanzar relacionando puntos del plano y del espacio con pares o ternas de números reales. Utilizaremos el sistema cartesiano para representarlos y elaboraremos relaciones que satisfagan las propiedades de los números ya estudiados. Cada elemento del par o de la terna se denomina componente del vector de acuerdo a su ubicación en el par o en la terna. Ya sean pares o ternas, se asocian a puntos y a partir de ellos, cuando se establece el origen de coordenadas cartesianas, se puede identificar el objeto vector con el punto en cuestión (a,b) o (a,bc). R (0,b) v (a,0) (a,b) R Prof. Liliana Collado Página 1

2 Dirección y sentido de un vector Un vector tiene que definirse con otros parámetros ya que la longitud del mismo no indica a cuál de los infinitos vectores con esa longitud nos estamos refiriendo. Se denomina dirección del vector a la recta sobre la que podría desplazarse si así lo determináramos. Esta recta tiene una inclinación respecto del semieje positivo horizontal y esta inclinación se determina a través del ángulo que forma con dicho semieje. Como se trabaja en un sistema ortogonal, la tangente del ángulo que forma da idea cabal de la dirección que tiene la recta, así que se puede calcular el ángulo mediante la tangente del mismo, que relaciona las medidas de los catetos ya mencionados en el cálculo del módulo. Se observa que todo vector está anclado en el origen de coordenadas, por lo que podría estar indicando una semirrecta u otra contenidas en dicha recta. La elección de una de ellas da el sentido del vector. Ejemplo: Hallar la dirección y el sentido de los vectores v y u a) Vector dado en función de las direcciones de los ejes Los ejes cartesianos tienen una dirección definida, y referida a ellas, cualquier vector del plano tiene definida su dirección. El vector que define la dirección del eje x es y el vector que define la dirección del eje y es. Por ello el vector v se puede expresar a través de sus componentes de dos formas:, Prof. Liliana Collado Página 2

3 Vectores equipolentes e iguales Se denominan a sí a los vectores que tienen la misma dirección, el mismo sentido y la misma norma, aunque estén situados en distintos lugares del plano, por ejemplo, no anclados al origen de coordenadas. Dos vectores son iguales si tienen todas sus componentes (en el orden establecido) iguales. Si, entonces y expresado respecto de los ejes Ejemplo: los vectores (3,4,1) y (1,4,3) no son iguales, aún cuando tienen el mismo módulo. Vectores opuestos Se denominan de ese modo a los vectores que tienen la misma dirección, el mismo módulo pero sentidos opuestos. Ejemplo: Dado su vector opuesto es En el plano, entonces su opuesto es Relación entre vector y matriz Se puede establecer claramente que la matriz es un arreglo de vectores, por lo que la matriz fila o la matriz columna representa a un vector. Los vectores se expresan matricialmente como matrices fila o matrices columna, según se considere su conveniencia. OPERACIONES ELEMENTALES ENTRE VECTORES Para realizar operaciones con vectores hay que conocer todas sus características, y así como identificamos a un vector por su dirección y sentido, es necesario conocer su módulo o norma. Módulo o longitud de un vector en el plano Prof. Liliana Collado Página 3

4 La longitud del vector en el plano se simboliza y es la medida de la hipotenusa del triángulo que tiene como vértices el origen de coordenadas y los puntos ubicados sobre los respectivos ejes: (a,0)y (0,b). Las medidas de los catetos de dicho triángulo son a y b respectivamente. Utilizando una propiedad geométrica: Módulo o longitud de un vector (norma)en el espacio tridimensional En el espacio tridimensional el vector u es la diagonal de una caja y su longitud o módulo se calcula aplicando dos veces el Teorema de Pitágoras, primero se calcula la hipotenusa respecto de dos dimensiones de la caja y con esa medida se aplica la relación pitagórica respecto de la tercera dimensión, ya que ambas son perpendiculares entre sí. De ese modo resulta: La longitud de un vector también recibe el nombre de norma Ejemplo: Hallar la norma de a) b) El vector nulo es (0,0) en el plano y (0,0,0) en el espacio tridimensional. Propiedades de la norma de un vector Consideremos los vectores v, w y un número real k, entonces: a) b), siendo el valor absoluto de k. c) Desigualdad triangular: d) Desigualdad de Cauchy-Schwarz : Adición entre vectores Dos vectores se suman componente a componente. Sean v y w dos vectores en R 3, Prof. Liliana Collado Página 4

5 Se obtiene otro vector en R 3. Ejemplo: Sean a)sumar b) sumar y el opuesto de c) restar y en ese orden Propiedades a) la adición entre vectores es conmutativa. b) la adición entre vectores es asociativa. c) El elemento neutro de la adición entre vectores es el vector nulo. d) Cada vector tiene su inverso aditivo, que es el vector opuesto a él. Ejemplo: Sean y Sea Multiplicación por un escalar Multiplicar un vector por un escalar es obtener otro vector cuyas componentes son el producto de las componentes originales por el escalar. Propiedades a) b) c) d), siendo k y m escalares. e) Expresando los vectores en función de las direcciones de los ejes coordenados, se observa que el producto por un escalar es una expresión natural de los mismos: Prof. Liliana Collado Página 5

6 Sean por un escalar., cada vector en la dirección del eje correspondiente está multiplicado Producto punto o producto interior También denominado producto escalar entre dos vectores, da como resultado un número real y se representa geométricamente como la proyección ortogonal de un vector sobre el otro. Sean y dos vectores en el espacio tridimensional, se define el producto escalar entre ellos : Porque si se expresan en función de las direcciones de los ejes coordenados: El producto escalar entre ellos será Se aplica propiedad distributiva y queda: Resolveremos término por término: = = = = = = Entonces : Prof. Liliana Collado Página 6

7 Existe otra forma de calcular el producto escalar: siendo α el ángulo que forman y entre sí. Ejemplo: Sean, perpendiculares entre sí, calcular Ejemplo: sean y, calcular: a) b) c) d) e) f) Propiedades Consideremos los vectores a) b) c) d) e), entonces: Aclaración: no existe la propiedad asociativa ya que el producto escalar da como resultado un número. Expresando Distancia entre dos puntos en el plano o en el espacio En el plano: Prof. Liliana Collado Página 7

8 Consideremos dos puntos en el plano cartesiano: y el sistema. y. Sus vectores asociados indican su relación con Existe un vector cuyos extremos son los puntos A y B. De acuerdo a la adición de vectores se tiene que, lo que se interpreta como dos formas de trasladarse desde el origen de coordenadas hasta el punto B. A B Como los puntos se asocian a vectores, la distancia entre dos puntos es la longitud del vector resta entre los vectores asociados a los mismos, considerándolos anclados al origen de coordenadas. Sean A y B dos puntos, y Se cumple: los vectores asociados a ellos respectivamente. d(a,b)= Ejemplo: Hallar la distancia entre los puntos A(-3,2) y B(1,1). Ejemplo: calcular la distancia de A a B Prof. Liliana Collado Página 8

9 Vector unitario Un vector v es unitario si su módulo( o norma) es 1. Todo vector, ya que éste tiene la dirección de v y su módulo es 1. tiene su vector unitario Si Ejemplo: demostrar que si Para que sea unitario, su módulo debe ser 1, veamos qué sucede cuando se calcula el módulo de. En el plano: Los vectores eje cartesiano. son vectores unitarios en la dirección de cada En el espacio tridimensional: Los vectores vectores unitarios en la dirección de cada eje cartesiano. son Si multiplicamos escalarmente: Ejercicio: Hallar los productos escalares y de los versores y Prof. Liliana Collado Página 9

10 ÁNGULO ENTRE VECTORES Sean y dos vectores y θ el ángulo que forman entre sí. Considerando el producto escalar entre ellos: Despejando: Perpendicularidad Dos vectores son perpendiculares si y solo si el producto escalar es cero. Ejemplo: Sean los vectores y ; hallar un vector que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones: Sea, y el ángulo entre y sea La primera condición: se expresa, de lo que se deduce que. La segunda condición se expresa: =4 Reemplazando el valor de y por su equivalente: La tercera condición queda: Prof. Liliana Collado Página 10

11 El vector cumple con las condiciones requeridas. Paralelismo Dos vectores, u y v no nulos, son paralelos si el ángulo que forman entre sí es 0 0 π. También se cumple que si dos vectores y, no nulos, son paralelos: para algún número real k. Ejemplo: calcular el ángulo que forman los vectores (-1,2,3) y (4,-8,-12) Verificamos expresando y dos vectores son iguales si sus componentes correspondientes lo son: cumple que k tiene ese valor para las otras componentes. y se Cosenos directores Los cosenos directores de un vector son las componentes del vector unitario correspondiente. Sea, El vector unitario de w tiene la misma dirección, por lo que el ángulo es el mismo Que se interpreta como cada componente en la dirección del eje correspondiente, y en cada caso se obtiene el coseno del ángulo que Prof. Liliana Collado Página 11

12 forma el vector con dicha dirección. Cada uno de los cosenos en la dirección del eje se denomina coseno director. Entonces los cosenos directores de son: α,β,γ son los ángulos directores que forma el vector con el semieje positivo correspondiente. Proyección ortogonal Sean x e y dos vectores en el plano que forman un ángulo θ entre sí, se denomina proyección ortogonal de x sobre y a la medida del segmento. Se denomina vector proyección ortogonal de u sobre w,, al vector que tiene la dirección de w y el sentido de w, por lo tanto se puede expresar como kw. Y el vector proyección ortogonal se puede calcular: Prof. Liliana Collado Página 12

13 PRODUCTO VECTORIAL Recordemos que los versores son los vectores unitarios que tienen la dirección de cada eje y el sentido del semieje positivo. En el espacio tridimensional se los simboliza: Descomposición de un vector según los ejes cartesianos Todo vector puede descomponerse como una suma de vectores, en este caso los vectores que se suman tienen las direcciones de los ejes cartesianos, entonces se pueden expresar en función de los versores. Sea Definición del producto vectorial También denominado producto cruz, es una operación entre vectores de la que resulta otro vector perpendicular a los dos vectores dados. Se puede identificar el vector producto cruz a través de la regla de la mano derecha. En la figura superior se calcula u X v,, por lo tanto el movimiento es de u hacia b, y el vector producto cruz tiene sentido hacia arriba. u X v u u v v v X u Prof. Liliana Collado Página 13

14 En la figura inferior, va de v hacia u, el sentido del producto vectorial v X u es hacia abajo. Sean vectores en el espacio tridimensional. Si relacionamos con el Álgebra matricial, el módulo del producto cruz se puede expresar como el cálculo de un seudodeterminante de una matriz que tiene las siguientes características: = Ejemplo : a partir de la expresión anterior: a) calcular b)comprobar que no dan como resultado el mismo vector e indicar cuál es la diferencia entre los vectores resultado. Según las componentes Según las componentes Comparando componente a componente se observa Y que la distinción es que Ejemplo: Prof. Liliana Collado Página 14

15 Existe una forma de calcular el módulo del producto vectorial: donde θ es el ángulo que forman entre sí los dos vectores. Propiedades Sean vectores del espacio tridimensional y m escalar real: a) b) c) d) e) f) g) h) i) Área de un paralelogramo El área de una figura geométrica es la medida de la superficie que ocupa.se puede calcular el área de un paralelogramo a partir del producto vectorial de los vectores que representan dos lados no paralelos del mismo. Consideremos el siguiente paralelogramo, sus lados no paralelos son u y v, módulos de los vectores u y v respectivamente. El segmento h es perpendicular a v.entonces: es la altura del paralelogramo respecto del lado v El área del paralelogramo es: Prof. Liliana Collado Página 15

16 Ejemplo: calcular el área de un triángulo cuyos vértices corresponden a los puntos P(1,3,-2), Q(2,1,4), R(-3,1,6) Cada punto tiene asociado un vector con origen en el origen de coordenadas, por lo tanto los lados del triángulo son las normas de los vectores que tienen por origen y extremo dos de esos puntos. Consideremos vectores asociados a los puntos indicados. estos son las restas entre los Sabemos calcular el área de un paralelogramo y el área del triángulo es su mitad: Definición de Producto mixto: cálculo del volumen de un paralelepípedo Se define el producto mixto como el producto escalar de un vector por el vector resultante del producto cruz entre otros dos vectores dados. Se expresa: Para calcular el volumen de un paralelepípedo se utiliza un determinante con las siguientes características:, las barras de valor absoluto nos dan siempre el valor positivo o nulo del volumen pedido, ya que es un número con esas condiciones. Ejemplo: calicular el volumen del paralelepípedo cuyas aristas están asociadas a los siguientes vectores: Decir que las aristas están asociadas a los vectores es entender que uno de los vértices del paralelepípedo es el origen de coordenadas, por lo tanto se aplica la fórmula para calcular el volumen: Prof. Liliana Collado Página 16

17 VECTORES Y DEPENDENCIA LINEAL Combinación lineal Un vector v no nulo es combinación lineal de otros dos vectores u y w si se puede expresar: con n y m números reales no nulos. Vectores linealmente dependientes Dos vectores son linealmente dependientes si tienen la misma dirección, esto significa que uno de ellos se puede expresar como el producto del otro vector por un escalar. siendo m y n números reales. al expresar al vector nulo como combinación lineal de ellos, al menos uno de los escalares que los acompañan es distinto de cero. entonces o Ejemplo: marcar con una cruz los vectores que son combinación lineal de (0,1,0) y de (1,0,0). Justificar la opción elegida. (1,2,3) x (0,0,0) (0,0,0) = 0.(0,1,0)+0.(1,0,0) (1,1,1) x (-1,2,0) (-1,2,0)=(-1)(1,0,0)+2(0,1,0) Dos vectores son linealmente dependientes si uno cualquiera de ellos se puede expresar como combinación lineal del otro. Esto significa que están sobre la misma dirección. Independencia lineal Dos vectores son linealmente independientes si tienen direcciones distintas. Esto significa que no existe número real que multiplique a uno de ellos para expresar al otro como combinación lineal del primero. Prof. Liliana Collado Página 17

18 Dos o más vectores son L.I. si el vector nulo es combinación lineal de ellos sólo si todos los escalares de la combinación son nulos. entonces o Ejemplo: los versores son L.I. ESPACIO VECTORIAL Se denomina Espacio vectorial (V,+,.)al conjunto de vectores V sobre el que se definen las operaciones +(ley de composición interna) y. (ley de composición externa) y para el que se cumplen para cualquier vector de V y cualquier escalar real: Conmutatividad Sean v, w vectores de V: Asociatividad Sean v,w,t vectores de V: +. Sea k un escalar real y v,w vectores de V: Sean y escalares reales y v un vector de V: Elemento neutro Sea v un vector de V, existe 0, vector de V: Elemento opuesto Cada vector v de V tiene su opuesto (-v), vector de V: Sean y escalares reales y v un vector de V: Sea v un vector de V, existe el número real 1 : Ley de comp interna es porque al aplicarla a Ley de comp externa es porque si k es un vectores de V da como resultado vectores de V escalar real y v vector de V: k. v es un vector de V Ejemplo: el conjunto de matrices cuadradas de orden 2 es un espacio vectorial Conmutatividad Sean M, N matrices cuadradas de orden 2: +. Sea k un escalar real y M,N matrices cuadradas de orden 2: Asociatividad Sean M,N,A matrices cuadradas de orden 2: Elemento neutro Sea M una matriz cuadrada de orden 2, existe la matriz con todos sus elementos nulos,o: Sean y escalares reales y Muna matriz cuadrada de orden 2: Sean y escalares reales y M una matriz cuadrada de orden 2: Prof. Liliana Collado Página 18

19 Elemento opuesto Cada matriz cuadrada de orden 2,M,tiene su opuesto (-M): Ley de comp interna es porque al aplicarla a matrices cuadradas de orden 2, da como resultado matrices cuadradas de orden 2 Sea M una matriz cuadrada de orden 2, existe la matriz identidad I : Ley de comp externa es porque si k es un escalar real y v vector de V: k. v es un vector de V Base de un espacio vectorial Se denomina base de un espacio vectorial V ( ya sea bidimensional, tridimensional o n- dimensional) al conjunto de (dos,tres,n)vectores linealmente independientes para los cuales cualquier otro vector del espacio se puede expresar como combinación lineal de ellos. Entonces, para que un conjunto de vectores de un espacio vectorial V de dimensión n forme una base, deben cumplir: Ser L.I Generar a cualquier vector de V Existen infinitas bases de un espacio vectorial que tienen las siguientes características en común: Son los conjuntos más pequeños de vectores linealmente independientes que generan a todo el espacio. Permiten expresar cada vector de V como una única combinación lineal posible en función de los vectores de la base. Ejemplo: Decir si los siguientes conjuntos son bases del espacio tridimensional a) no es base porque deberían ser ternas de números reales b) no es base porque por ejemplo el vector (1,2,3)no es comabinación lineal de ellos ya que no existe posibilidad de expresar la componente 3 a partir de las componentes 0 de ambos vectores. Prof. Liliana Collado Página 19

20 c) es base porque los tres son L.I. y cualquier vector (x,y,z) puede expresarse como combinación lineal de los tres dados. Esta base se denomina canónica. d) es base de R 3 porque son L.I. y cualquier vector (x,y,z) se puede expresar como combinación lineal de ellos. Ejemplo. Determinar si forma una base de Veremos si son linealmente independientes(l.i.) Sean escalares reales De lo que resulta que todos los escalares son nulos, por lo que se comprueba que los vectores son L.I. Veremos si forman un conjunto generador: sea un vector no nulo de V ; al menos uno de los escalares no será nulo. Prof. Liliana Collado Página 20