ESTADO DE TENSIONES Y DE DEFORMACIONES

Transcripción

1 ENSAYOS NDUSTRALES Dpto. ngeniería Mecánica y Naval acltad de ngeniería Universidad de Benos Aires ESTADO DE TENSONES Y DE DEORMACONES Lis A. de Vedia Hernán Svoboda Benos Aires 00

2 - Ensayos ndstriales Estado de tensiones y de deformaciones. ESTADO DE TENSONES Y DE DEORMACONES. Vector tracción y tensión en n pnto de n medio contino. Una hipótesis fndamental qe adoptaremos es la llamada hipótesis del contino. Consiste simplemente en ignorar la natraleza atómica o moleclar de la materia y asmir qe la distribción de la masa en el volmen qe ocpa el cerpo, es na fnción contina de la posición. En particlar, a menos qe se especifiqe lo contrario, asmiremos también qe el cerpo considerado es mecánicamente homogéneo e isótropo. Esto significa qe las propiedades mecánicas del cerpo, P.Ej. la densidad, son constantes en todo el volmen e independientes de la dirección según la cal se las mida, P.Ej. resistencia a la tracción. Para poner en evidencia el estado de tensiones en n pnto P de na porción de medio contino sometido a cargas arbitrarias, lo seccionamos con n plano de orientación arbitraria caracterizada por el versor n, qe pase por dicho pnto como se mestra en la ig.. ig.. Si aislamos na de las partes en qe el plano divide al cerpo, digamos la porción izqierda, para restitir el eqilibrio debemos aplicar sobre la sección prodcida na distribción de ferzas idéntica a la qe la porción eliminada, en este caso la derecha, ejercía sobre la otra. Si ahora consideramos sobre el plano de la sección n elemento de área δa alrededor del pnto P, sobre dicha área elemental existirá na resltante de ferza elemental δ. Definimos ahora al vector tracción actante en el pnto P, asociado al plano de normal n, como t ( n ) lím δa δ 0 δa (. ) Ahora bien, anqe en general la dirección del vector tracción no coincidirá con la de la normal n, es siempre posible elegir n sistema de coordenadas cartesianas con n eje coincidente con la dirección normal n y los otros dos ejes contenidos en el plano de la sección, y proyectar el vector δ

3 Ensayos ndstriales Estado de tensiones y de deformaciones - sobre estos ejes. Asmiendo qe el eje x de tal sistema coordenado es corresponde a la dirección normal n, definimos la tensión normal xx actando en el pnto P, como xx lím δ x δa 0 δa Donde δ x es la componente de δ en la dirección del eje x. Análogamente, se definen las tensiones tangenciales o tensiones de corte y xz respectivamente, como y lím δy δa 0 δa xz lím δz δa 0 δa Obsérvese qe el primer sbíndice denota la dirección normal al plano sobre el qe actúa la tensión, mientras qe el segndo sbíndice indica la dirección en la cal actúa, de modo qe reslta ig.. ij ei t ( $ ) j (. )

4 -4 Ensayos ndstriales Estado de tensiones y de deformaciones Con la elección de ejes realizada, el plano de orientación arbitraria con qe seccionamos el cerpo coincide con el plano coordenado yz. Repitiendo el análisis con los planos coordenados y xz, podemos de manera análoga a lo hecho definir las tensiones normales yy y zz, y las tensiones tangenciales, yz, zx, zy, como se mestra en la ig... Con respecto al signo, na tensión se considera positiva cando actando sobre na cara cya normal exterior coincide con la dirección positiva del eje respectivo, la tensión actúa según la dirección positiva del eje correspondiente.. Ecaciones de eqilibrio. Considerando n entorno volmétrico del pnto P con forma de paralelepípedo rectanglar como se mestra en la ig.., ig.. Planteando el eqilibrio de ferzas en el mismo y considerando sólo las tensiones qe prodcen ferzas con proyección no nla sobre el eje x, reslta x xx xx + δx y z x K J δ δ + + xx xx δx y z x K Jδ δ y y δy δxδz+ zx + zx z z K J δ δxδy K J zx δy δxδz z z x y zx δ δ δ 0 Simplificando, qeda xx zx y z (. )

5 Ensayos ndstriales Estado de tensiones y de deformaciones -5 y análogamente para las otras direcciones yy zy (. 4) y z xz yz zz (. 5) y z Consideremos ahora el eqilibrio de momentos alrededor de n eje paralelo a z, qe pase por P como lo mestra la ig..4. ig.. 4 ΣM z y x z y y x z y + δ δ δ + y δ δ δ δ δ y x y z x x y z x + δ δ δ + x δ δ δ δ δ x 0 Operando y simplificando, reslta (. 6) Procediendo de igal forma con los otros ejes, qeda zy yz (. 7)

6 -6 Ensayos ndstriales Estado de tensiones y de deformaciones Y xz zx (. 8). Tensiones sobre n plano arbitrario Consideremos el plano genérico qe pase por el pnto P definido por la normal n, cyos cosenos directores son l m n Cos( x, n$) Cos( y, n$) Cos( z, n$) ig.. 5 Sobre la sección Ω actará na ferza por nidad de área S como mestra la ig..5, cyos componentes según los ejes coordenados, son S csx, Sy, Sh z Aplicando la condición de eqilibrio de ferzas según la dirección x, será (sponiendo nlas o despreciables las ferzas de volmen) S Ω x + y + z x xx zx

7 Ensayos ndstriales Estado de tensiones y de deformaciones -7 Donde x, y, z, son las proyecciones de Ω sobre los planos cooordenados cyas normales son x, y, z respectivamente. De modo qe x Ωl, y Ωm, z Ωn por lo qe reslta S l + m + n (. 9) x xx zx Procediendo de igal forma para las otras direcciones, qeda y S l + m + y yy zy n (. 0) S l + m+ n (. ) z xz yz zy El conjnto de 9 cantidades ij constityen lo qe se llama tensor de tensiones en el pnto P. Dado qe S x, S y, S z, no son otra cosa qe las componentes del vector tracción qe actúa en P sobre el plano Ω, las (.9), (.0) y (.) peden escribirse como t j ijni (. ) Las (.) son las llamadas Ecaciones de Cachy..4 Estado de deformaciones. Consideremos n elemento de volmen en forma de paralelepípedo rectanglar con ss caras coincidentes con los planos coordenados, de aristas ig.. 6

8 -8 Ensayos ndstriales Estado de tensiones y de deformaciones dx, dy, dz, como se mestra en la ig..6. Si el cerpo experimenta na deformación donde, v, w, son las componentes del desplazamiento qe experimenta el pnto O, entonces el desplazamiento en la dirección x de n pnto adyacente A sitado sobre el eje x, será + x dx donde estamos asmiendo qe, v, w, son peqeñas y varían en forma contina sobre todo el volmen del cerpo considerado. Por lo tanto, el incremento de longitd del elemento OA debido a la deformación, es x dx de modo qe la deformación nitaria o específica en la dirección x, reslta y para las otras direcciones y x v y w z (. ) (. 4) (. 5) Consideremos ahora la distorsión anglar entre los elementos OA y OB, como ig.. 7

9 Ensayos ndstriales Estado de tensiones y de deformaciones -9 lo mestra la ig..7. El desplazamiento del pnto A en la dirección de y será v v + dx mientras qe el desplazamiento de B en la dirección x, es + y dy Debido a estos desplazamientos, la neva dirección O A del elemento OA se encentra girada en n ánglo v/ con respecto a la original. Del mismo modo, el elemento O B se encentra girado n ánglo /y respecto de OB. De modo qe el ánglo recto original AOB ha disminido en n valor γ v y qe constitye entonces la deformación anglar entre los planos xz e yz. Procediendo de manera análoga con las otras direcciones y empleando el símbolo ε ij para las elongaciones específicas, y γ ij para las deformaciones anglares, qeda ε xx ε yy v ε y zz w z (. 6) γ v γ y xz z w γ yz v z w y o bien, empleando notación de doble sbíndice y n único símbolo ε ij, las (.6) peden escribirse ε ij i x j x j i (. 7)

10 -0 Ensayos ndstriales Estado de tensiones y de deformaciones donde ε ij γ ij / para i j. Las ε ij constityen las componentes del tensor de deformaciones específicas o nitarias, qe como srge inmediatamente de (.7) es n tensor simétrico..5 Ecaciones de compatibilidad. Dado qe ε ; ε ; ε (. 7) ε ; ε ; ε (.9) Teniendo en centa (.8) y (.9), podemos escribir de manera qe reslta análogamente, + (. 0) + (. )

11 Ensayos ndstriales Estado de tensiones y de deformaciones - y + (. ) Por otra parte (. ) (. 4) (. 5) (. 6) Combinando (.),(.4), (.5) y (.6), se obtiene

12 - Ensayos ndstriales Estado de tensiones y de deformaciones + x + x x x + De manera qe reslta + o bien y análogamente y H G (.7) (.8) (.9)

13 Ensayos ndstriales Estado de tensiones y de deformaciones - Las (.0), (.), (.), (.7), (.8) y (.9) constityen las llamadas Ecaciones de Compatibilidad. Desde el pnto de vista matemático, las ecaciones de compatibilidad garantizan qe el campo de deformaciones es contino y nivalado. Desde el pnto de vista físico, lo qe nos dicen es qe las deformaciones del contino se desarrollan de manera qe en el material no se forman solapes, hecos ni fisras.