Diseño o de Entradas. Autor: Dr. Juan Carlos Gómez ISIS 2

Transcripción

1 Identificación n de SIStemas Diseño o de Entradas Ator: Dr. Jan Carlos Gómez Un reqisito fndamental de las entradas para n experimento de identificación es el de persistencia de excitación de las mismas. Es decir las entradas deben contener n número sficiente de armónicas, de manera de excitar a todos lo modos dinámicos del sistema qe se qieren identificar. Para el diseño de las entradas deben considerarse algnos hechos: Con el enfoqe de Error de Predicción, las propiedades asintóticas de las estimas (desvio y varianza) dependen del espectro de la entrada y no de la forma de onda de la misma. Usalmente hay restricciones en la amplitd qe pede tomar la entrada, i.e. ( n. min ) Las entradas periódicas peden tener ciertas ventajas. ISIS max

2 Factor de de Cresta La matriz de covarianza de la estima es típicamente inversamente proporcional al espectro de densidad de energía de la señal de entrada, por lo qe para tener na covarianza peqeña se debería tener na entrada con na densidad de energía a lo más s alta posible. En la práctica, las entradas están limitadas en amplitd, i.e. ( n. min ) max Las propiedades deseadas de la entrada peden definirse en términos del denominado factor de cresta C r, definido como C r max lim N N n = N para na señal con media cero. ( n) ( n) ISIS 3 n= () Una bena forma de onda sería entonces na qe tenga n factor de cresta bajo. Claramente, la cota inferior teórica es, qe se logra para señales binarias simétricas ( n) = ± Este tipo de señales tienen entonces na ventaja teórica, por lo qe son my sadas en identificación. Es necesario aclarar, sin embargo, qe señales binarias no peden sarse para identificar no linealidades a la entrada del sistema (por ejemplo, modelos Hammerstein) ya qe la salida de la no linealidad sería tambien binaria y no podría identificarse la no linealidad a partir de esta señal. max ISIS 4

3 Señales de de Entrada más m s comnes Rido Blanco Gassiano Filtrado (de Banda Limitada) Señales Aleatorias Binarias (RBS) Señales Psedo Aleatorias Binarias (PRBS) Sma de Sinsoides Señales Chirp o Swept Escalones ISIS 5 Rido Blanco Gassiano Filtrado (de Banda Limitada) (BLWN) Eligiendo apropiadamente el filtro (lineal) pede lograrse na señal con espectro arbitrario (qe no tenga bandas de paso demasiado estrechas). Como la señal aleatoria Gassiana es en teoría no acotada, debe satrarse a na cierta amplitd. Eligiendo esa amplitd de satración igal a 3 desvios estándar, reslta n factor de cresta igal a 3, y sólo n % en promedio de las mestras es afectado, lo qe reslta en na distorsión baja del espectro. ISIS 6

4 idinpt x=idinpt(0000,'rgs',[0. 0.5],[- ]); Longitd de la señal Señal aleatoria Gassiana Banda de Frecencias x=idinpt(0000,'rgs',[0. 0.5],[- ]); ]); N=00000; % número de de frecencias FFT FFT w=[-pi:*pi/n:pi-*pi/n]; plot(w,0*log0(abs(fftshift(fft(x.*hanning(length(x)),n))))) ISIS X(w) db pi 0.5 pi w [rad/seg] Figra : Espectro de la señal Gassiana ISIS 8

5 Señales Psedo Aleatorias Binarias (PRBS) Son señales qe asmen sólo dos valores. Una señal PRBS es na señal periódica, determinística qe tiene propiedades similares al rido blanco. Pede generarse a partir de la ecación en diferencias ( a ( n ) + + a ( n ), ) ( n) = rem k k donde rem(x,) es el resto de la división de x por. La señal (n) sólo pede asmir los valores 0 y. El vector de entradas pasadas [ ( n ),, ( n k) ] pede asmir sólo k valores diferentes, por lo qe la secencia ISIS 9 () (n) será periódica con período como máximo k. Considerando qe na secencia de todos ceros haría qe todos los sbsigientes valores feran cero, el período máximo qe pede obtenerse es = k. El período real de la señal qeda determinado por los valores de los coeficientes a i. Pede probarse qe para cada valor k existen valores de los a i qe dan secencias de período máximo. A esas secencias de período máximo se las denomina aximm Length PRBS. La tabla sigiente mestra los valores de k para los cales es a k = (los restantes coeficientes son nlos) y qe generan PRBS de máxima longitd (Davis, 970). ISIS 0

6 Tabla : Coeficientes para generación de señales PRBS de máxima longitd. Orden k = k a k = para k,, 3, 4, 5, 6 3, 7,, 7,8 4, 9 7, 0 9, ISIS Pede probarse qe calqier señal PRBS de máxima longitd, y qe conmta entre los valores ±, tiene las sigientes propiedades estadísticas de primero y segndo orden n= ( n) = (3) R () = n= ( n) ( n + ) = = 0, ±, ±, c. o. c. (4) Donde = k, es el período máximo de la señal, y las smas se realizan con continación periódica de la señal. Notar qe la señal no tiene exactamente media cero por lo qe s fnción de covarianza difiere de la fnción de atocorrelación en (4). ISIS

7 El espectro de la señal reslta Φ ( ω) = = = k = R e jω () e = R ( + k ) jωk = 0 R k = = 0 jω ( + k ) e e jω e jωk qe pede aproximarse por π Φ k = ( ) ( ) ω = δ ω π k, 0 ω < π (5) ISIS 3 El espectro posee picos (exceptando el pico en (ω = 0)) en la región. π ω < π Esto mestra qe las señales PRBS de máxima longitd se comportan como rido blanco periódico y tienen persistencia de excitación de orden. Es esencial tilizar períodos completos de la señal para qe tenga las características espectrales mencionadas. Esto es a diferencia de las señales aleatorias, donde no tiene qe confiar en la Ley de Grandes Números para tener benas propiedades de segndo orden con número finito de mestras. Las señales PRBS tienen n factor de cresta óptimo (igal a ). Diferentes valores iniciales cando se genera la señal de acerdo a () sólo corresponden a n desplazamiento de la secencia, por lo qe no es claro como generar secencias PRBS mtamente no correlacionadas ISIS 4

8 idinpt x=idinpt(6383, prbs',[0 ],[- ]); Longitd de la señal Señal PRBS Banda de Frecencias Niveles x=idinpt(6383, prbs',[0 ],[- ]); ]); N=00000; % número de de frecencias FFT FFT w=[-pi:*pi/n:pi-*pi/n]; plot(w,0*log0(abs(fftshift(fft(x.*hanning(length(x)),n))))) ISIS 5 Sma de senoides (lti-sines) d n ( ) = acos n+ k = ( ω φ ) k k k (6) El espectro reslta de la forma d a Φ = + + k ( ω) π δ ( ω ω ) δ ( ω ω ) k k k = 4 (7) Estas señales tienen la ventaja de qe se pede localizar la energía del espectro my precisamente en las frecencias deseadas. ISIS 6

9 El problema qe presentan es el factor de cresta, qe reslta de n valor hasta d (si todos los ak son igales). Una manera de controlar el factor de cresta es elegir las fases φ k de manera qe los cosenos estén lo más fera de fase posible. Una solción a esto es la denominada fase de Schroeder, qe distribye la fase según (Schroeder, 970) φ arbitraria kk ( ) φk = φ π ; k d d (8) con todos los coeficientes a k igales. ISIS 7 Señales Chirp: Una señal chirp es na senoide con na frecencia qe cambia en forma contina en na cierta banda de frecencias ω ω ω en n intervalo de tiempo 0 t T, es decir: ( ) ( ) = cos ω + ( ω ω ) / ( ) t A t t T (9) La frecencia instantánea de la señal se obtiene derivando respecto al tiempo al argmento del coseno, y reslta t ωi = ω+ ω ω T ( ) Pede verse qe la frecencia instantánea crece linealmente con el tiempo desde hasta. ω ISIS 8 ω (0)

10 La señal chirp tiene n factor de cresta igal al de na senoide pra, es decir, y permite n ben control de la banda de frecencias de excitación. chirp x = chirp(t,f0,t,f) T: vector con los instantes de tiempo en qe se mestrea la señal chirp F0:frecencia instantánea en Hz en el tiempo 0 F:frecencia instantánea en Hz en el tiempo T ISIS 9 Ejemplo: F = 50 Hz ; F = 300 Hz ; F = 000 Hz ; T = 0 seg 0 s Fs Fs = 000; 000; T T = 0; 0; F0 F0 = 50; 50; F F = 300; 300; x = chirp([0:/fs:t]',f0,t,f); N = 00000; F=[-0.5:/N:0.5-/N]*Fs; plot(f,0*log0(abs(fftshift(fft(x.*hanning(length(x))),n)))) ISIS 0

11 X(F) db Frecencia [Hz] Figra : Espectro de la señal chirp ISIS