Procesamiento de Señales basado en Wavelets Notas de Clase - Parte VI

Transcripción

1 Procesamiento de Señales basado en Wavelets Notas de Clase - Juan Carlos Gómez 1 <jcgomez@fceia.unr.edu.ar> 1 Laboratorio de Sistemas Dinámicos y Procesamiento de la Información FCEIA, Universidad Nacional de Rosario, Argentina Semestre 2, 2006 (Wavelets) Semestre 2, / 18

2 1 (Wavelets) Semestre 2, / 18

3 La parte determinística de puede sufrir cambios bruscos tales como saltos, o en la primera o segunda derivada. En procesamiento de imágenes, un problema importante es la detección de bordes que involucra la detección de cambios abruptos de contraste. En esta categoría también entran las transitorias de corta duración. La principal característica de estos fenómenos es que los cambios están localizados en tiempo o espacio. El propósito del análisis es determinar El instante o la posición espacial donde se produce el cambio. El tipo de cambio que se produce: de una señal, cambio brusco en la primera o segunda derivada. La amplitud del cambio (Wavelets) Semestre 2, / 18

4 Los aspectos de escalado del análisis multiresolución con wavelets se adaptan bien para procesar este tipo de eventos, ya que se pueden usar distintas escalas adaptadas a la velocidad de cambio. Wavelets de corta duración son más efectivas para detectar un en la señal. En las escalas de análisis iniciales el soporte es lo suficientemente pequeño como para permitir una resolución fina. Las formas de las que pueden ser identificadas con las wavelets más pequeñas son más simples que aquellas que pueden identificarse con wavelets más grandes. (Wavelets) Semestre 2, / 18

5 Para identificar una discontinuidad es recomendable usar una wavelet Haar. Para identificar un en la j-ésima derivada es recomendable usar una wavelet suficientemente regular. con al menos j momentos desvanecientes. La presencia de ruido (situación muy común en procesamiento de ) hace más complicada la identificación de. Si los primeros niveles de la descomposición puede usarse para eliminar gran parte del ruido, entonces generalmente los s se hacen visibles en los niveles más profundos de la descomposición. (Wavelets) Semestre 2, / 18

6 Ejemplo 1: La señal (discontinua) consiste de una onda senoidal de baja frecuencia que abruptamente cambia a una senoide de frecuencia media, y se muestra en Fig. 1. Fig. 1: Senoide con frecuencia discontinua. (Wavelets) Semestre 2, / 18

7 Los datos se encuentran en el archivo freqbrk.mat. Realizar una descomposición de nivel 5, usando la wavelet Haar (db1) y la db5, y graficar la aproximación a 5 y todos los detalles. Comparar los resultados usando las dos wavelets. Ejemplo 2: El propósito de este ejemplo es mostrar como el análisis wavelet permite detectar en una de las derivadas de la señal. La señal, que aparenta ser una curva suave, consiste en realidad de dos exponenciales distintas conectadas en el tiempo t = 500. La discontinuidad aparece en la segunda derivada de la señal en el instante t = 500. La señal se muestra en Fig. 2. (Wavelets) Semestre 2, / 18

8 Fig. 2: Dos exponenciales conectadas. Los datos se encuentran en el archivo scddvbrk.mat. Realizar una descomposición de nivel 2, usando la wavelet db4. Repetir el análisis usando una wavelet Haar (db1). (Wavelets) Semestre 2, / 18

9 Tendencias de En presencia de ruido, es posible que no puedan visualizarse las evolución de la señal, es decir las partes más lentas, por simple inspección de la señal. En un análisis basado en wavelets, la dinámica más lenta corresponde a valores de escala grandes. A medida que se incrementa la escala, la resolución decrece produciendo una mejor estima de estas dinámicas más lentas. Ejemplo 3: El propósito de este ejemplo es mostrar como un análisis basado en wavelets permite detectar la tendencia de una señal inmersa en ruido. En este caso, la señal es una rampa con saturación corrompida con ruido coloreado, y se muestra en Fig. 3. Los datos se encuentran en el archivo cnoislop.mat. (Wavelets) Semestre 2, / 18

10 Tendencias de Fig. 3: Rampa con saturación inmersa en ruido. (Wavelets) Semestre 2, / 18

11 Tendencias de Debido a que el ruido es de amplitud considerable, no puede visualizarse la forma de la señal sin ruido, por simple inspección de la señal ruidosa. Realizar una descomposición de nivel 6, usando la wavelet db3, y graficar las aproximaciones a 1 hasta a 6. (Wavelets) Semestre 2, / 18

12 Tonos Puros El análisis wavelet permite hacer un análisis similar al de Fourier, es decir permite descomponer una señal en la suma de sus sinusoides componentes. Es posible hacer esto debido a que las diferentes frecuencias predominan en las diferentes escalas del análisis de multiresolución. Ejemplo 4: La señal es la suma de tres ondas senoidales puras con períodos 200, 20 y 2 (período de muestreo de 1s), y se muestra en Fig. 4. Los datos se encuentran en el archivo sumsin.mat. Realizar una descomposición de nivel 5, usando la wavelet db3, y graficar las aproximaciones a 1 hasta a 5 y los detalles d 1 hasta d 5. (Wavelets) Semestre 2, / 18

13 Tonos Puros Fig. 4: Suma de Sinusoides. (Wavelets) Semestre 2, / 18

14 Señales El análisis wavelet permite suprimir parte de una señal, destacando de esa forma lo que resta de la misma. La descomposición wavelet de una señal polinomial produce detalles nulos siempre que el número de momentos desvanecientes de la wavelet (N en la wavelet dbn) exceda al grado del polinomio. De esta forma, sólo el ruido aparece en los detalles, en tanto que el polinomio aparece sólo en la aproximación. Ejemplo 5: La señal es un polinomio de segundo grado combinado con ruido blanco de amplitud pequeña, y está representada en la Fig. 5. Los datos se encuentran en el archivo noispol.mat. Realizar una descomposición de nivel 4, usando la wavelet db3, y graficar las aproximaciones a 1 hasta a 4 y los detalles d 1 hasta d 4. Repetir el análisis usando la wavelet db2. (Wavelets) Semestre 2, / 18

15 Señales Fig. 5: Señal Polinomial más ruido. (Wavelets) Semestre 2, / 18

16 El análisis wavelet permite determinar la presencia autosimilaridad de una señal en distintas escalas, es decir la naturaleza fractal de una señal. Una característica típica de estas es que hay un patrón que se repite en los coeficientes wavelets en las distintas escalas. Si una señal es similar a si misma a diferentes escalas, los coeficientes wavelets también serán similares a diferentes escalas. En una gráfica de los coeficientes con la escala en el eje vertical, esta autosimilaridad genera un patrón característico. (Wavelets) Semestre 2, / 18

17 Ejemplo 6: La señal es la denominada curva de Koch que es una curva sintética que se construye recursivamente, como se indica en la Fig. 6. Fig. 6: Primeros cuatro órdenes de la curva de Koch ( (Wavelets) Semestre 2, / 18

18 La señal se representa en la Fig. 7, y los datos se encuentran en el archivo vonkoch.mat. Realizar una descomposición continua 2:2:128, usando la wavelet coif3, y graficar un escalograma. Fig. 6: Curva de Koch. (Wavelets) Semestre 2, / 18