TEMA 7 VECTORES MATEMÁTICAS I 1º Bach. 1

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Marta Guzmán Luna
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1 TEMA 7 VECTORES MATEMÁTICAS I º Bach. TEMA 7 VECTORES 7. LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES DEFINICIÓN Un ector es un segmento orientado. Un ector AB queda determinado por dos puntos, origen A y extremo B. Elementos de un ector: Módulo de un ector es la distancia entre A y B y se designa por el ector entre barras : AB Dirección del ector es la dirección de la recta en la que se encuentra el ector y la de todas sus paralelas. Sentido si a de A a B o de B a A. Igualdad de ectores: Dos ectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Todos ellos se llaman representantes de un único ector. Llamaremos representante canónico a aquel ector que tiene por origen el punto O. Notación: Los ectores se representan por letras: u,, w,... o bien mediante uno de sus representantes, designando su origen y su extremo con una flecha encima AB PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO El producto de un número k por un ector es otro ector k que tiene: Módulo: igual al producto del módulo de por el alor absoluto de k : k = k. Dirección: la misma que la de Sentido: - El de si k > 0 - El del opuesto de si k < 0 El producto 0. es igual al ector cero: 0. Es un ector cuyo origen y extremo coinciden y, por tanto, su módulo es cero y carece de dirección y de sentido. El ector. se designa por y se llama opuesto de

Elementos de un ector: Módulo de un ector es la distancia entre A y B y se designa por el ector entre barras : AB Dirección del ector es la dirección de la recta en la que se encuentra el ector y la

2 TEMA 7 VECTORES MATEMÁTICAS I º Bach. SUMA DE DOS VECTORES Dados dos ectores u y para sumarlos gráficamente hay dos posibilidades: Se sitúa el origen del segundo ector sobre el extremo del primero y el ector suma es el ector que une el origen del primero con el extremo del segundo. Se sitúan los dos ectores con origen común. Se forma el paralelogramo que tiene por lados los dos ectores y la diagonal que parte del origen de los dos ectores es el ector suma. RESTA DE DOS VECTORES Restar dos ectores es lo mismo que sumar al primer ector el opuesto del segundo. u = u + (- ) COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES Dados dos ectores, u y, y dos números a y b, el ector a u + b se dice que es una combinación lineal de u y. Notas: - Cualquier ector se puede poner como combinación lineal de otros dos. - Esta combinación lineal es única.

origen del primero con el extremo del segundo. Se sitúan los dos ectores con origen común.

3 TEMA 7 VECTORES MATEMÁTICAS I º Bach COORDENADAS DE UN VECTOR. BASE Dos ectores u y con distintas dirección y no nulos forman una base, pues cualquier ector del plano se puede poner como combinación lineal de ellos. Si los dos ectores de la base son perpendiculares entre si, se dice que forman una base ortogonal, y si además tienen módulo, se dice que forman una base ortonormal. Coordenadas de un ector respecto de una base: Cualquier ector w se puede poner como combinación lineal de los elementos de una base B( x, y ) de forma única: w = a x + b y A los números (a,b) se les llama coordenadas de w respecto de B. Y se expresa así: w = (a,b) ó w (a,b) OPERACIONES CON COORDENADAS SUMA DE DOS VECTORES Las coordenadas del ector u + se obtienen sumando las coordenadas de con las de : u + = (u,u ) + (, ) = (u + u, + ) RESTA DE DOS VECTORES Las coordenadas del ector u - se obtienen restando las coordenadas de con las de : u - = (u,u ) - (, ) = (u - u, - ) PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO Las coordenadas del ector k u se obtienen multiplicando por k las coordenadas de u k u = k.(u,u ) = (ku,ku ) COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES a u + b = a(u,u ) + b(, ) = (au + b,au + b )

Si los dos ectores de la base son perpendiculares entre si, se dice que forman una base ortogonal, y si además tienen módulo, se dice que forman una base ortonormal.

4 TEMA 7 VECTORES MATEMÁTICAS I º Bach PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES DEFINICIÓN El producto es calar de dos ectores u y es un número que resulta de multiplicar el módulo de cada uno de los ectores por el coseno del ángulo que forman y se designa por u. : u. = u..cos( u, ) PROPIEDADES El producto escalar del ector o por otro ector cualquiera es el número 0 Si u = 0 o = 0 u. = 0 Si dos ectores son perpendiculares, entonces su producto escalar es cero: Si u u. = 0 Si el producto escalar de dos ectores no nulos es cero, entonces son perpendiculares: u. = 0, con u 0, 0 u El producto escalar de dos ectores es igual al producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él, con signo + o según si forman ángulo agudo o obtuso. Por tanto, llamaremos proyección ortogonal de u sobre : u = u. Propiedad conmutatia: u. =. u Propiedad asociatia: a.( u. ) = (a u ). Propiedad distributia: u.( + w ) = u. + u. w Si B( x, y ) es una base ortogonal: x. y = y. x = 0 Si B( x. y ) es una base ortonormal : x. y = y. x = 0, x. x =, y. y = EXPRESIÓN ANALÍTICA (en una base ortonormal) Si las coordenadas de los ectores u y respecto a una base ortonormal son u (u,u ) y (, ), entonces el producto escalar u. adopta la siguiente expresión: u. = u. + u. Dem : u. = (u x + u y ).( x + y ) = u.. x. x + u.. x. y + u.. y. x + u.. y. y = u. + u. MÓDULO DE UN VECTOR (en una base ortonormal) Expresión ectorial :. =..cos(, ) =.cos0 = =. Expresión cartesiana : =

designa por u. : u. = u..cos( u, ) PROPIEDADES El producto escalar del ector o por otro ector cualquiera es el número 0 Si u = 0 o = 0 u.

5 TEMA 7 VECTORES MATEMÁTICAS I º Bach. 5 ÁNGULO DE DOS VECTORES (en una base ortonormal) Expresión ectorial : u. = u..cos( u, ) cos ( u, ) = Expresión analítica : cos ( u, ) = u u. u u.. u. u. VECTOR ORTOGONAL A OTRO Un ector ortogonal a (a,b) es (-b,a) ó (b,-a) Si cambian de orden y una de signo. VECTOR UNITARIO Para conertir un ector en unitario, se diide cada una de las coordenadas por el módulo del ector: u (a,b) Vector unitario a b, a b a b 7.4 ALGUNAS APLICACIONES DE LOS VECTORES COORDENADAS DEL VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS Las coordenadas del ector AB se obtienen restándole a las coordenadas del extremo B las del origen A : AB = (x,y ) (x,y ) = (x -x,y -y ) CONDICIÓN PARA QUE TRES PUNTOS ESTÉN ALINEADOS Los puntos A(x,y ), B(x,y ), C(x 3,y 3 ) están alineados siempre que los ectores AB y BC tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales: x x y y x x y y PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 3 3 Las coordenadas del punto medio, M, de un segmento de extremos A(x,y ), B(x,y ) x x y y son: M, SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO Para calcular el simétrico A del punto A respecto del punto B, solo hay que tener en cuenta que el punto B es el punto medio entre A y A.

4 ALGUNAS APLICACIONES DE LOS VECTORES COORDENADAS DEL VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS Las coordenadas del ector AB se obtienen restándole a las coordenadas del extremo B las del origen A : AB = (x,y )

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