Práctico Nº 4 : Vectores

Transcripción

1 Práctico Nº 4 : Vectores Nota: Cando en el presente práctico los ectores estén dados por coordenadas salo qe se aclare lo contrario deberá entenderse qe éstas se refieren a la base canónica del espacio correspondiente. ) Obtener las sigientes combinaciones lineales de los ectores dados mediante métodos gráficos como dilataciones contracciones regla del paralelogramo y el método de la poligonal. w a) d) + w g) w b) e) h) + + w c) w f) i) + w 4 ) Dados los ectores y de R obtener geométrica y analíticamente: 4 a) + b) c) 5 d) e) ) En cada caso graficar y describir el ector en la forma trigonométrica cos θ i + senθ donde θ < π es el ánglo barrido desde el semiee positio de abscisas : a) b) c) 4 6 Nota: Obserar qe esta representación es análoga a la de los números compleos por lo calθ pede ser mayor qe π. Esto no pede sceder (por definición) con el ánglo entre dos ectores. 4) Dados los pntos P() y Q(4) de R : a) Representar los pntos P y Q y los ectores OP y OQ en n mismo sistema de ees coordenados. b) Obtener las componentes de los ectores PQ y QP. Representarlos gráficamente. c) Calclar la distancia entre P y Q. d) Dar las coordenadas del pnto medio del segmento PQ y señalarlo en el primer gráfico. e) Calclar el ánglo entre OP y OQ tilizando prodcto escalar.

2 5) Dados los ectores b + b 5b y b b ectorial V: a) Obtener las coordenadas de y en la base B. b) Calclar + y. en la base { b b b } B de n espacio Prodcto Escalar y Ortogonalidad 6) Calclar sabiendo qe: 5 a) 8 y. b) i + + y i + 7. c) 5 4 y el ánglo formado por y π es. 6 d) 4 y. 7) Un agón es remolcado na distancia de m a lo largo de n camino horizontal con na ferza constante de 5N. La mania del agón está a n ánglo de º con la horizontal Qé cantidad de trabao W se lleó acabo? (El trabao está dado por el prodcto escalar W F d donde d es el ector del desplazamiento horizontal y F es la ferza aplicada) 8) Sean y dos ectores no nlos. Demostrar qe: si y sólo si y son ortogonales. 9) Para el ector obtener y graficar: - 4 a) Dos ectores nitarios paralelos a y de sentidos opestos. b) Dos ectores paralelos a de módlo. c) Todos los ectores ortogonales a con el mismo módlo qe él. d) Dos ectores ortogonales a de módlo 5. ) Todo ector no nlo determina na dirección. En R a diferencia de lo qe scede en R existen infinitas direcciones ortogonales a ésta. Dado el ector i 5 + : a) Qé ecación deben satisfacer las coordenadas de n ector ortogonal a? b) Obtener cinco ectores ortogonales a todos ellos en distintas direcciones.

3 ) Sean y dos ectores de R de igal módlo. Demestre las sigientes afirmaciones tilizando propiedades del prodcto escalar. Verifiqe gráficamente: a) + y son ortogonales. b) Si y son ortogonales entonces el ánglo qe + forma con cada no de ellos es de 45º. ) Utilizando los ectores del eercicio obtener gráficamente las sigientes proyecciones: a) proy w b) proy w c) proy w a para n a ortogonal a w. ) Sea. Para cada ector del eercicio obtener gráfica y analíticamente proy. Prodcto Vectorial 4) i) Calclar los prodctos ectoriales y de: a) b) c) 4 5 ii) En cada caso graficar y en n mismo sistema. iii) En general qé es posible afirmar sobre la dirección el sentido y el módlo de? Verificar analíticamente para a). 5) Demostrar qe:. a) ( ) b) Dos ectores de R y son paralelos si y sólo si. c) es ortogonal a los ectores y. d) es ortogonal a toda combinación lineal de y es decir para dos números reales a y b a + b. calesqiera ale ( ) ( ) Combinaciones Lineales e Independencia Lineal 7 6) i) Escribir si es posible como combinación lineal de a y b. Graficar: 5 a) a y b b) a y b 4

4 ii) Escribir 6 como combinación lineal de y. 7) Dados los conntos de ectores: en R : en R : a) 5 b) y c) d) + y f) i y i) En cada caso obtener tres combinaciones lineales de los ectores dados. Graficar los ectores y ss combinaciones lineales en n mismo sistema de coordenadas. ii) Señalar en cada caso si los ectores dados generan na recta n plano o el espacio R. 8) De acerdo a la definición de independencia lineal : a) Pede el ector nlo pertenecer a n connto linealmente independiente? b) Qé condición debe cmplir para qe el connto nitario { } sea linealmente independiente? 9) Resoler las sigientes cestiones tilizando la eqialencia ennciada en la proposición de la pág. 64 del apnte de teoría: Graficar en R : a) Un connto de dos ectores linealmente independientes Qé condición deben cmplir estos ectores? b) Un connto de dos ectores linealmente dependientes. Graficar en R : c) Un connto de dos ectores linealmente independientes. d) Un connto de tres ectores linealmente independientes agregando n tercer ector al connto representado en c) Qé precación debe tener al agregar el tercer ector? Explicar. e) Un connto de tres ectores linealmente dependientes con distintas direcciones. ) Teniendo en centa los eemplos del eercicio 9: i) Pede n connto de R n generar todo el espacio si tiene menos de n elementos? ii) Pede n connto de R n ser linealmente independiente si tiene más de n elementos? 4

5 5 ) Para cada no de los sigientes conntos de ectores: a) b) 4 c) 4 i) Determinar por definición si son linealmente independientes. ii) Determinar si ellos generan o no todo el espacio R y demostrarlo. iii) Utilizar lo hecho en i) y ii) para decidir si son bases de R. Para Licenciatra y Profesorado de Matemática ) Demostrar qe para todo ector de R y para todo número real λ se cmple λ λ. ) Demostrar qe si y w son ectores no nlos de R n con igal dirección entonces para todo ector ale la igaldad proy proy w es decir la proyección de depende exclsiamente de la dirección sobre la cal se proyecta. 4) Demostrar qe n connto de ectores... de R n es linealmente independiente si y sólo si la representación de todo ector como combinación lineal de... es única. Ayda: Esta segnda condición se tradce del sigiente modo β α β α :....