DERIVADAS. incremento de la variable independiente, x

Transcripción

1 DERIVADAS CPR. JORGE JUAN Xvia-Narón y= f(x): (a,b)r R fnción real definida en el dominio abierto, (a,b)r x 0, x (a,b) x= x -x 0 f(x )= f(x 0 +x) f(x 0 )= f(x 0 ) pntos del dominio de la fnción. incremento de la variable independiente, x valor de la fnción, f(x), en el pnto, x (a,b) valor de la fnción, f(x), en el pnto, x 0 (a,b) y= f(x 0 +x)-f(x 0 ) incremento experimentado por la fnción, f(x), al aberse incrementado la variable independiente, x, en, x. Se define la tasa de variación media ó cociente incrementado de la fnción, y= f(x), como la razón entre el incremento experimentado por la fnción, y, al aberse incrementado la variable independiente, x, en el valor, x. y x f x x f ( x ) x e indica cantas nidades crece la variable dependiente, y, por cada nidad qe crece la variable independiente, x. La tasa de variación media en n intervalo, (a,b)r, permite conocer el comportamiento medio de na magnitd en ese intervalo. A veces se necesita conocer el comportamiento de esa magnitd en cada pnto, para lo cal se define la tasa de variación instantánea, qe no es más qe la tasa de variación media en n intervalo de estdio qe se ace prácticamente nlo. y lim lim x x 0 x0 f x x f ( x ) x Se define la derivada de la fnción, f(x), en el pnto, x 0, de s dominio, y se designa por, f (x 0 ), como n número qe se corresponde con el límite del cociente incrementado cando el incremento de la variable independiente, x, tiende a cero. y f '( x0) lim lim x x 0 x0 f x x f ( x ) x llamando,, al incremento de la variable independiente, x=, la expresión anterior se escribe derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 455

2 y f '( x0 ) lim lim 0 0 f x f ( x ) llamando x= x 0 + = x-x 0 con lo qe en el límite 0, xx 0 sstityendo estos resltados se tiene otra forma de escribir la derivada de la fnción, f(x), en el pnto, x 0, del dominio de la fnción f '( x ) lim 0 x x0 f x f ( x ) x x 0 0 Si se toma n pnto genérico, x, del dominio de la fnción, la derivada en ese pnto pasa a ser la derivada de la fnción f '( x) lim 0 f x f ( x) Si el límite anterior existe en el pnto, x, del dominio de la fnción, f(x), entonces dica fnción es derivable en ese pnto, x. La fnción real, f(x), de dominio, (a,b) )R, se dice derivable en dico dominio si la fnción, f(x), es derivable en todos los pntos del dominio de esa fnción. f(x): (a,b)r R derivable en (a,b), si x(a,b) f '(x) La tasa de variación instantánea es la derivada de la fnción. Dada na fnción real, f(x), de dominio, (a,b) )R, y derivable en dico dominio. Se define otra fnción real, Df(x), de dominio, (a,b) )R, llamada fnción derivada Df(x): (a,b)r R x (Df)(x)= f '(x) qe ace corresponder a cada pnto del dominio, (a,b), s derivada. Esta fnción derivada pede denotarse de la forma df dy d Df f ( x) ' f '( x) Dx ( x) Dxy y ' dx dx dx si se ace referencia a n pnto, x 0, del dominio se denota derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 456

3 df ( x ) dy Df ( x ) f '( x ) 0 dx dx x0 A partir de la fnción derivada se pede estdiar si existe también s derivada, la cal recibe el nombre de derivada segnda, qe se designa por y'' f ''( x) d f ( x) d f x ( ) dx Una interpretación geométrica del valor de la derivada de na fnción, f(x), en n pnto, x 0, de s dominio, es qe este valor coincide con la pendiente de la recta tangente a la fnción, f(x), qe pasa por el pnto, P(x 0,f(x 0 )), perteneciente a la crva qe define dica fnción. m= f (x 0 ) la ecación de la recta tangente a la crva en ese pnto en forma pnto pendiente viene dada por la expresión y-f(x 0 )= f (x 0 ).(x-x 0 ) Asimismo dado qe la normal a na fnción, f(x), en n pnto, P(x 0,f(x 0 )), perteneciente a la crva qe define dica fnción es perpendiclar a la recta tangente en dico pnto, y como la relación entre las pendientes de rectas perpendiclares viene dada por m' m f '( x ) si f (x ) 0 la ecación de la recta normal a la crva en n pnto de ella es pes y f ( x ). x x f '( x0) Si, f (x 0 )= 0, la expresión anterior no se pede aplicar en ese pnto, P(x 0,f(x 0 )), porqe se tendría na fracción con denominador nlo. En este caso la recta tangente a la crva en el pnto, P, es paralela al eje de abscisas, X, por tener pendiente en es pnto pendiente nla, m= 0. La recta normal a la crva en el pnto, P, es paralela al eje de ordenadas, Y, y s ecación es y= y 0 Se verifican los sigientes teoremas: Teorema de derivabilidad y= f(x): (a,b)r R fnción real definida en el dominio abierto, (a,b)r x 0 (a,b) pnto del dominio de la fnción. La fnción, f(x), es derivable en el pnto en el pnto, x 0, de s dominio si existe el límite derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 457

4 f x0 f x0 lim 0 ( ) límite qe existe en dico pnto, x 0, del dominio si en él existen los límites por la dereca y por la izqierda y ambos son coincidentes, y coincidentes con el límite anterior se dedce entonces: límite de la fnción en el pnto, x 0, por la dereca, ó derivada lateral por la dereca límite de la fnción en el pnto, x 0, por la izqierda, ó derivada lateral por la izqierda La fnción, f(x), es derivable en el pnto, x 0, de s dominio si y sólo si existen ss derivadas laterales en dico pnto y ambas son igales f (x)= f - (x)= f + (x) Teorema de continidad f ' ( x) lim 0 f ' ( x) lim 0 f x f ( x ) f x f ( x ) y= f(x): (a,b)r R fnción real definida en el dominio abierto, (a,b)r x 0 (a,b) pnto del dominio de la fnción. Si la fnción, f(x), tiene derivada en el pnto, x 0, entonces es contina en dico pnto, verificándose lim f(x)= f(x 0 ) xx 0 Si la fnción es contina ay qe demostrar qe se cmple lim f(x)= f(x 0 ) x x 0 se verifica la igaldad matemática f(x)-f(x 0 )= f(x)-f(x 0 ).(x-x 0 ) x-x 0 tomando límites en los dos miembros de esta expresión f ( x) f ( x ) f ( x) f ( x ) lim f ( x) f ( x ) lim.( x x ) lim. lim x x f '( x ) xx0 xx0 x x xx0 x x0 0 x x 0 de donde se dedce 0 lim f ( x) f ( x ) lim f ( x) lim f ( x ) xx0 xx0 xx0 lim f ( x) lim f ( x ) f ( x ) xx0 xx0 derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 458

5 El recíproco es falso, pes existen fnciones continas qe no son derivables. Diferencial de na fnción La diferencial de na fnción, f, en n pnto, x, de s dominio es na fnción lineal definida por df x :DR R f (x).= dy cada pnto, P(x,y), del dominio de la fnción, f, en qe ésta tenga derivada, tiene asociado na fnción lineal qe es la diferencial de la fnción, f, en dico pnto, x, de s dominio, y qe pede sarse como n valor aproximado del incremento exacto, y, de la variable dependiente correspondiente a n incremento peqeño, x, de la variable independiente. Esta observación es útil para las aplicaciones en qe se reqiere na estimación de la variable independiente, y. Una interpretación geométrica de qien es, dx, y qien es, dy, en relación con la recta tangente, l, en el pnto, P, a la gráfica de la fnción, f(x), se observa en la figra adjnta. Del triánglo, PRT, se dedce qe la pendiente, f (x), de la recta tangente, l, a la crva, f(x), en el pnto, P, de la misma viene dada por f RT '( x) x RT= dy longitd del segmento qe ne los pntos, R, y, T. x= dx se dedce para el valor de, dy dy= RT= f (x).x= f (x).dx El valor de, dy, es distinto al valor de, y, el cal representa lo qe varía el valor de la fnción al incrementarse la variable independiente desde el valor, x, asta el valor, x+x. El valor qe toma na fnción contina, f(x), en el pnto, x+, de s dominio es, f(x+). Sin embargo s valor se pede aproximar en fnción del conocimiento de: El valor de dica fnción, f, en n pnto próximo, x, al pnto, x+. La derivada de la fnción, f, en ese pnto próximo, x. La derivada de la fnción, f, en el pnto, x, de s dominio viene dada por la expresión derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 459

6 f ( x ) f ( x) f '( x) lim dy 0 se observa qe la diferencia entre el valor de la fnción, f(x+), en el pnto, (x+), y el valor de la fnción, f(x), en el pnto, x, se pede aproximar por y= f(x+) f(x) f (x). esta expresión permite escribir na aproximación al valor de la fnción en el pnto, (x+), de s dominio de la forma f(x+) f(x) + f (x).= f(x)+dy f (x).= dy diferencial de la fnción, f, en el pnto, x, de s dominio. El error qe se comete al aproximar el valor de la fnción, f(x+), en el pnto, x+, de s dominio por la diferencial de la fnción, f, en el pnto, x, es tanto más peqeño canto menor sea el valor del incremento,, sfrido por la variable independiente. Derivada del prodcto de n escalar,, por na fnción, f f(x): (a,b)r R R fnción real derivable en el dominio abierto, (a,b) número real La derivada del prodcto del escalar,, por la fnción, f, es igal al escalar,, por la derivada, f, de la fnción. (.f) (x)=.f (x) ( f )( x ) ( f )( x). f ( x ). f ( x) f ( x ) f ( x) ( f )'( x) lim lim.lim. f '( x) n escalar pede introdcirse en la derivada ó pede sacarse de ella. Derivada de la sma de fnciones f(x): (a,b)r R g(x): (a,b)r R f(x)+g(x): (a,b)r R fnción real derivable en el dominio abierto, (a,b)r fnción real derivable en el dominio abierto, (a,b)r fnción real de dominio, (a,b)r La fnción sma, f(x)+g(x), es na fnción derivable en el dominio, (a,b), verificándose (f+g)'(x)= f '(x)+g'(x) derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 460

7 ( f g)( x ) ( f g)( x) ( f g)'( x) lim 0 desarrollando la fnción sma como sma de las fnciones y reordenando ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim f x g x f x g x f x f x g x g x lim 0 0 escribiendo el límite de la fracción como la sma de los límites de dos fracciones f ( x ) f ( x) g( x ) g( x) lim lim f '( x) g '( x) 0 0 Se pede generalizar a tres ó más fnciones de forma qe (f+g+.+) (x)= f (x)+g (x)+ + (x) Derivada de la diferencia de fnciones f(x): (a,b)r R g(x): (a,b)r R f(x)-g(x): (a,b)r R fnción real derivable en el dominio abierto, (a,b)r fnción real derivable en el dominio abierto, (a,b)r fnción real de dominio, (a,b)r La fnción diferencia, f(x)-g(x), es na fnción derivable en el dominio, (a,b), verificándose (f-g)'(x)= f '(x)-g'(x) ( f g)( x ) ( f g)( x) ( f g)'( x) lim 0 desarrollando la fnción resta como resta de las fnciones y reordenando ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim f x g x f x g x f x f x g x g x lim 0 0 escribiendo el límite de la fracción como la resta de los límites de dos fracciones f ( x ) f ( x) g( x ) g( x) lim lim f '( x) g '( x) 0 0 Se pede generalizar a tres o más fnciones de forma qe (f-g-.-) (x)= f (x)-g (x)- - (x) derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 46

8 Un caso particlar es la derivada de la fnción opesta, -f, de la fnción, f (-f) (x)= -f (x) (-f) (x)= (0-f) (x)= (0) (x)-(f) (x)= 0-f (x)= -f (x) Derivada del prodcto de fnciones f(x): (a,b)r R g(x): (a,b)r R f(x).g(x): (a,b)r R fnción real derivable en el dominio abierto, (a,b)r fnciones reales derivables en el dominio abierto, (a,b)r fnción real de dominio, (a,b)r La fnción prodcto, f(x).g(x), es na fnción derivable en el dominio, (a,b), verificándose (f.g)'(x)= f '(x).g(x)+f(x).g'(x) ( f. g)( x ) ( f. g)( x) f ( x ). g( x ) f ( x). g( x) ( f. g)'( x) lim lim 0 0 smándole n cero al nmerador en forma de n término más s opesto ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) lim f x g x f x g x f x g x f x g x 0 sacando factor común, g(x+), y, f(x), respectivamente lim 0 f ( x ) f ( x). g( x ) f ( x). g( x ) g( x) escribiendo el límite de la fracción como la sma de los límites de dos fracciones lim f ( x ) f ( x). g( x ) f ( x). g( x ) g( x) lim escribiendo el primer límite y segndo límite como el prodcto de dos límites f ( x ) f ( x) g ( x ) g( x) lim.lim g( x ) lim f ( x).lim f '( x). g( x) f ( x). g '( x) 0 0 Se pede generalizar a tres o más fnciones de forma qe (f.g.) (x)= f (x).g(x).(x)+f(x).g (x).(x)+f(x).g(x). (x) derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 46

9 Derivada de la fnción inversa f(x): (a,b)r R fnción real derivable en el dominio abierto, (a,b) (x): (a,b)r R fnción real de dominio, (a,b) f La fnción inversa,, es na fnción derivable en el dominio, (a,b), verificándose f ( x ) ' f '( x) ( x) f f ( x) f ( x) f ( x ) ' ( x ) ( x) f f f ( x ) f ( x) f ( x ). f ( x) ( x) lim lim lim f aciendo en esta expresión prodcto de medios por extremos f ( x) f ( x ) lim x. f ( x ). f ( x ) cambiando de signo el nmerador y aplicando propiedades de fracciones lim 0 f ( x ) f ( x) f ( x ). f ( x) escribiendo el límite de este cociente como el cociente de los límites del nmerador y del denominador de la fracción f ( x ) f ( x) lim 0 lim f ( x ). f ( x) f ( x) f ( x) 0 Derivada del cociente de fnciones f '( x) f '( x) f(x): (a,b)r R fnción real derivable en el dominio abierto, (a,b) g(x): (a,b)r R fnción real derivable en el dominio abierto, (a,b)/x(a,b), g(x) 0 f ( x) : (a,b)r R g fnción real de dominio, (a,b) derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 463

10 f La fnción cociente, ( x), es na fnción derivable en el dominio, (a,b), verificándose g ' '( ). ( ) ( ). '( ) f ( x) f x g x f x g x g g ( x) ' f ( x) f. ( x) g g ' como esta expresion es la derivada de n prodcto de fnciones f '( x). ( x) f ( x). ( x) g g ' el segndo factor del segndo término se desarrolla como la derivada de na fnción inversa g '( x) g '( x) f '( x). ( x) f ( x). f '( x). ( x) f ( x). g g ( x) g g ( x) restando estas fracciones aciendo el mínimo f '( x). g( x) f ( x). g '( x) g( x) Derivada de la fnción recíproca f(x): (a,b)r R fnción real de variable real de dominio abierto, (a,b), inyectiva y contina, y tal qe la fnción, f(x), es derivable en el dominio, (a,b), y s derivada no se anla en dico dominio, x(a,b), f '(x) 0 entonces la fnción recíproca, f - (x), es derivable en el dominio abierto, (f(a),f(b)), verificándose f ' ( x) f '( x) La derivada de la fnción recíproca, f - (x), en el pnto, (x,y), de s dominio es la inversa de la derivada de la fnción, f(x), en el pnto, (y,x), de s dominio. Derivada de la fnción constante y= f(x)= cte 0 y= f(x)= cte derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 464

11 f ( x ) f ( x) cte cte 0 y ' lim lim lim Derivada de la fnción identidad y= f(x)= x y= f(x)= x f ( x ) f ( x) x x y ' lim lim lim Derivada de la potencia de na fnción y= n n. n-. Derivada del logaritmo neperiano de na fnción y= L. Derivada del logaritmo en base, a, de na fnción y= lg a. '.lg a e. '. La Derivada de la fnción exponencial y= a a.la. Derivada de la fnción seno y= sen derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 465

12 cos. y= sen x y= sen (x+x) sen x= desarrollando la resta de senos.cos x x x. x x x.cos x sen x. sen x aciendo el cociente incremental x x x. cos. cos x x x sen. se n y x x x tomando límite en este cociente incremental, escribiendo el límite de este prodcto como el prodcto de los límites de ss factores x sen y x x ' lim lim cos. lim x y cos. cos x x 0 x x 0 x 0 x Derivada de la fnción coseno y= cos -sen. Derivada de la fnción tangente y= tg cos sen y= tg = cos. ' = sec. = (+tg ). se tiene la derivada de n cociente de fnciones por lo qe se escribe cos. '.cos sen.( sen). ' cos derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 466

13 sacando,, factor común y teniendo en centa las igaldades trigonométricas ( cos sen ). ' cos cos. ' sec. ' ( tg ). ' Derivada de la fnción cotangente y= ctg. ' = -cosec. = -(+ctg ). sen y= ctg = cos sen se tiene la derivada de n cociente de fnciones por lo qe se escribe sen. '. sen cos.cos. ' sen sacando, -, factor común y teniendo en centa las igaldades trigonométricas ( sen cos ). ' sen Derivada de la fnción secante y= sec sec. tg. y= sec = cos. ' co sec. ' ( ctg ). ' sen = se tiene la derivada de n cociente de fnciones por lo qe se escribe ( sen). ' sen.. ' tg.sec. ' cos cos cos Derivada de la fnción cosecante y= cosec -cosec. ctg. derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 467

14 y= cosec = sen se tiene la derivada de n cociente de fnciones por lo qe se escribe (cos ). ' cos.. ' tg. cosec. ' sen sen sen Derivada de la fnción arco seno y= arco sen y '. ' Haciendo la fnción inversa de la fnción dada se escribe = sen y la derivada de esta fnción inversa es = cos y. y despejando, y, de la expresión anterior cos y. teniendo en centa la igaldad trigonométrica sen y + cos y= se pede escribir el coseno en fnción del seno cos y= sen y cos y sen y de donde y '. '. '. ' cos( y) sen ( y) Derivada de la fnción arco coseno y= arco cos y '. ' derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 468

15 Haciendo la fnción inversa de la fnción dada se escribe = cos y la derivada de esta fnción inversa es = -sen y. y despejando, y, de la expresión anterior. seny teniendo en centa la igaldad trigonométrica sen y + cos y= se pede escribir el seno en fnción del coseno sen y= cos y seny cos y de donde y '. '. '. ' sen( y) cos ( y) Derivada de la fnción arco tangente y= arco tg. Haciendo la fnción inversa de la fnción dada se escribe = tg y la derivada de esta fnción inversa es = (+tg y). y despejando, y, de la expresión anterior. '. ' tg y derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 469

16 Derivada de la fnción arco cotangente y= arco ctg. ' Haciendo la fnción inversa de la fnción dada se escribe = ctg y la derivada de esta fnción inversa es = -(+ctg y). y despejando, y, de la expresión anterior. '.. ' ctg y Derivada de la fnción arco secante y= arco sec y '.. ' Haciendo la fnción inversa de la fnción dada se escribe = sec y la derivada de esta fnción inversa es = sec y. tg y. y despejando, y, de la expresión anterior. ' sec y. tgy teniendo en centa la igaldad trigonométrica + tg y= sec y se pede escribir la tangente en fnción de la secante tg y= sec y derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 470

17 tgy y sec de donde. '. '. ' sec y. tgy sec y. sec y. Derivada de la fnción arco cosecante y= arco cosec y '.. ' Haciendo la fnción inversa de la fnción dada se escribe = cosec y la derivada de esta fnción inversa es = -cosec y. ctg y. y despejando, y, de la expresión anterior. ' cosec y. ctgy teniendo en centa la igaldad trigonométrica + ctg y= cosec y se pede escribir la cotangente en fnción de la cosecante ctg y= cosec y ctgy co y sec de donde. '. ' ' cosec y. ctgy co sec y. co sec y. Derivada de na fnción elevada a otra fnción y= w (w.l + w.. ).w derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 47

18 y= w tomando logaritmos neperianos en ambos miembros de esta expresión y aplicando la propiedad del logaritmo de na potencia, reslta Ly= L w = w.l derivando esta expresión. y ' w'. L w.. ' y despejando, y, y ' w'. L w.. '. y w'. L w.. '. w derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 47

19 derivadas Departamento Matemáticas CPR Jorge Jan Xvia 473