Cálculo de Derivadas. 2º Bachillerato. Materiales (Editorial SM)

Transcripción

1 Cálculo de Derivadas. 2º Bacillerato Materiales Editorial SM

2 Esquema

3 Tasa de variación media en un intervalo Para una unción se deine la tasa de variación media de en un intervalo [a, b], contenido en el dominio, mediante el cociente: T m [a, b] b a b a La tasa de variación media es una medida de la variación que eperimenta una unción, en un intervalo, por unidad de variable independiente. Pendiente positiva Pendiente neativa

4 Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo La evolución en el tiempo del número de ailiados a la Seuridad Social en España entre 98 y 999 a seuido un modelo similar al que se releja en la ráica, donde representa el tiempo en años, siendo el año 98, y representa el número de ailiados epresado en millones. El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre 98 y 999 es: 9 9,24 Que puede interpretarse de la siuiente manera: entre 98 y 999 el número de ailiados aumentó por término medio, en unas 24 personas por año.

5 Tasa de variación instantánea La tasa de variación instantánea TVI o t i, en un punto, es el límite de las tasas de variación media cuando los intervalos considerados se acen cada vez más pequeños: TVI t i

6 Derivada de una unción en un punto De: Se dice que es derivable en p si eiste el siuiente límite. p p o Si el límite eiste y es inito, la derivada de en p es p p 'p o

7 Interpretación eométrica de la derivada Al acer que, ocurrirá que p tiende se acerca a p Q recorre la curva acercándose a P La recta secante a la curva se convierte en la recta tanente La inclinación de la recta secante tiende a la inclinación de la recta tanente p p p Si la unción tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tanente a la ráica de la unción en este punto es la derivada de en p.

8 Ecuación de la recta tanente Ecuación de la recta que pasa por un punto Aa, b y de pendiente m: y b m a t a α t Entonces: Pendiente de la tanente: m t 'a α t a Ecuación de la recta tanente: t y a 'a a

9 Ecuación de la recta normal Ecuación de una recta que pasa por un punto Pp, p y de pendiente m: y p m p Como la tanente y la normal son perpendiculares sus pendientes son inversas y cambiadas de sino. Entonces: Pendiente de la tanente: m t 'p Ecuación de la recta tanente: y p 'p a Pendiente de la normal: m n / 'p Ecuación de la normal: y p [ / 'p] a

10 Derivadas laterales La derivada por la izquierda de la unción en el punto a es el límite, si eiste, dado por 'a La derivada por la dereca de la unción en el punto a es el límite, si eiste, dado por 'a * Una unción es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la dereca y por la izquierda y las derivadas laterales coinciden. 'a t α > 'a t β < β α Por ser 'a 'a, no es derivable en el punto a. a

11 Teorema Una unción derivable en un punto es continua en dico punto. Demostración: Queremos llear al límite de la unción en el punto a a a a a a a a a a es derivable en a a a a es continua en a

12 Relación continuidad y derivabilidad Hay unciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto. y es continua en, pero no es derivable en dico punto ' a a tα ' a a t β Puesto que las derivadas laterales en son dierentes la unción no es derivable en dico punto.

13 Función derivada Se llama unción derivada de una unción a la unción ' que asocia a cada del dominio de la derivada de en, siempre que eista. Derivada de 2 en el punto 3: '3 3 3 Derivada de 2 en el punto 2: '2 Para obtener la derivada en ' Se dice que la unción derivada o simplemente la derivada de y 2 es ' 2

14 Consecuencias de la deinición de derivada La unción derivada no identiica totalmente a la unción, pues unciones que se dierencian en una constante, tienen la misma unción derivada. Ej. k siendo k constante k siendo k una constante Geométricamente, indica que las unciones y se obtienen mediante una traslación de vector paralelo al eje Y y módulo k ó k. Por ello las tanentes a las tres unciones son paralelas.

15 Derivadas de operaciones con unciones Sean y dos unciones derivables en un punto R y sea c un número real. Entonces las unciones c,, y / si son también derivables en. Además se tiene: c' c ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 2

16 Demostración de la rela de derivación del cociente Enunciado: La derivada de un cociente 2 ' ' ' ' ' ' 2

17 Derivada de una unción compuesta: rela de la cadena Ejemplo: Se deine la composición de una unción con otra unción, y se denota por º a la nueva unción dada por º. La unción 2 2 es la composición de dos unciones: 2 y t t 2 R R R 2 t t o Rela de la cadena: si la unción es derivable en el punto a y la unción es derivable en a, entonces la unción º es derivable en a y su derivada es: º 'a 'a. 'a Ejemplo: Como º 2 2 º ' '. ' ' 22. 2

18 Rela de la cadena: Demostración [ ] ' ' ' Enunciado: La derivada de la composición de unciones o es:

19 Derivada de la unción inversa Se denomina unción inversa de una unción a una nueva unción, denotada por, cuyo dominio es el recorrido de, tal que. Para que esta unción esté bien deinida es necesario que cumpla: 2 2 Las ráicas de y son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. Y,, X Sea una unción deinida en un intervalo abierto D en el que admite unción inversa siendo derivable. Entonces se tiene que, para todo punto del dominio de - en el que - es derivable y en el que ' la derivada de viene dada por: ' '

20 Tabla de derivadas de las unciones elementales Función Derivada Función Derivada c constante ' sen ' cos n ' n n cos ' sen e ' e a a > ' a ln a ln ' lo a, a > ' ln a tan ' Cos 2 arcsen ' 2 arccos ' 2 arctan ' 2

21 Obtención de la derivada de la unción loaritmo neperiano Vamos a calcular la derivada de ln a partir de la unción eponencial Sean e y ln Derivada unción recíproca } ln e. La derivada de ln es

22 Demostración de la derivada de la unción seno Vamos a calcular la derivada de sen Usando la deinición de derivada: sen sen sen cos Como sen cos cos 2 sen cos sen 2 2 cos sen La derivada de sen es Cos

23 Obtención de la derivada de la unción arcoseno Vamos a calcular la derivada de arcsen Sean sen y arcsen Derivada unción recíproca }. cosarcsen Como: 2 2 cosarcsen sen arcsen La derivada es: 2

24 Obtención de la derivada de la unción arco tanente Vamos a calcular la derivada de arct Sean t y arct Derivada unción recíproca }. 2 t arct Como: t arct La derivada es: 2

25 Dierencial de una unción El dierencial de una unción en un punto a es el incremento de la tanente al pasar del punto a al punto a Tanente a la curva en a, a: su pendiente es m t 'a t a t a a d a t 'a. d y a a Para valores de d pequeños y 'a. a a Por tanto: y dy 'a. d Y para un cualquiera: dy '. d

26 Una aproimación eométrica al concepto de dierencial Suponamos un cuadrado de lado, al que incrementamos el lado en una cierta cantidad. Su supericie se incrementará en: Si es muy pequeño, 2 es muco más pequeño. Entonces: 2 2 d es el dierencial de la unción 2 y se ve que 2 d ' d El error que se comete al aproimar el incremento por la dierencial es 2.