DERIVADAS. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:

Transcripción

1 Bacillerato CCSS DERIVADAS Deinición de derivada. La derivada de una unción en el punto de abscisa = a, se deine como el siuiente límite, si eiste: a a a lím A la derivada de una unción en un punto se le llama también tasa de variación instantánea. Interpretación eométrica de la derivada y s a+ P a a t a A B a a + La recta secante s, corta a la curva y =, en los puntos A y P. Su pendiente es: t PB AB a a Si el punto P se va acercando al punto A, asta conundirse con él, la recta secante s, se transorma en la recta tanente t y el ánulo se transorma en el ánulo, es decir, Cuando P A, que es equivalente a decir que, el límite de la recta secante s, es la recta tanente t Pero cuando, t t que es equivalente a lím t t a a Por tanto, t pendiente de t t lím a Queda probado que la derivada de una unción en un punto es la pendiente de la recta tanente en dico punto. Páina /

2 Bacillerato CCSS Ecuación de la recta tanente a una curva en uno de sus puntos. Para alla la ecuación de la recta tanente a la curva en el punto de abscisa = a, procedemos de la orma siuiente: Hallamos el valor de la unción en dico punto, a con lo que obtenemos el punto por donde pasa la recta tanente: a, a Calculamos la pendiente de la recta que es el valor de la derivada en el punto considerado: m a Aplicamos la órmula de la ecuación punto pendiente y y m, es decir, y Ejemplo : Dada la unción a a a, alla la ecuación de la recta tanente en el punto de abscisa =. Hallamos el valor de la unción en = punto, = con lo que obtenemos el punto por donde pasa la recta tanente:, Calculamos la pendiente de la recta que es el valor de la derivada en el punto considerado: m m lím lím lím lím Aplicamos la órmula de la ecuación punto pendiente y y m, es decir, y a a a y Ejemplo : Ecuación de recta tanente a la curva, en el punto de abscisa = Para =,.. La recta pasa por el punto, ; m. y y m, por tanto, y m es la recta buscada. Función derivada. La derivada de una unción en un punto de abscisa = a, asina a dico punto un número real, que es el valor de la derivada en dico punto. También podemos considerar una unción que asocie a cada punto, el valor de la derivada en ese punto. Recibe el nombre de unción derivada o simplemente derivada. lím Páina /

3 Bacillerato CCSS Páina / Derivadas de operaciones con unciones. Aplicando la deinición de derivada se obtienen las siuientes órmulas: Derivada de una suma o dierencia: ' ' ' Derivada de un producto: ' ' ' Derivada de un cociente: '. ' Ejemplo : Sean las unciones ; es decir, Si sumamos las unciones y allamos la derivada de la suma, resulta: es decir, resultado que es la suma de las derivadas de las unciones por separado. Derivada de una unción compuesta: Rela de la cadena. Sea la unción compuesta ] Teniendo en cuenta que. ] - ] ] - ] ]. ] - ] es decir, la derivada de la composición de y es el producto de la derivada de en el punto multiplicada por la derivada de en el punto. ].

4 Bacillerato CCSS Cálculo de derivadas. Aplicando la deinición, a través del límite, y teniendo en cuenta la rela de la cadena, se obtienen las derivadas de las siuientes unciones: Constante y = k y = Identidad y = y = Tipo potencial y ; y a y y a a a a a y a. ' y y ; y.. y ;.. y ; y. y ; y ; y ' y ; y y ;.. Tipo raíz cuadrada y y y y ' Ejemplo: y ; y Páina /

5 Bacillerato CCSS Tipo eponencial y e ; y e ; y ; y ; y e. y e y.ln y e y e y e y e. ' y a.ln y a e. e. e y..ln..ln y a a y a.ln a. ' y ln y y ln y ' Tipo loarítmico y lo a y.loa e a ln a y lo a '.lo ' y. a e ln a 6 y ln ; y y lo ; y.lo e y lo ;.lo e y.lo e.lo e Páina /

6 Bacillerato CCSS Tipo seno y sen y cos y sen y cos. ' y sen ; y cos. cos y sen ; y sen ; y sen. sen sen. cos y sen ; y cos. cos y sen ; y sen ] ; y sen. sen ] sen.cos.6 y cos y sen Tipo coseno y cos y sen. ' y cos ; y sen. sen y cos ; y sen sen. sen y t y t cos Tipo tanente y t y. ' cos y t ; y t ; y. cos cos t y t. t t. cos cos y t ; y ct y sen Tipo cotanente y ct y. sen sen sen e y ct e ; y. e sen e sen e y ct ; y. Páina 6/

7 Bacillerato CCSS Ejercicios resueltos.- Deriva las siuientes unciones: a y ; b y ; c y a y y.. b y y c y y.- Halla las derivadas de las unciones siuientes: ln, cos y sencos ln cos sen. ] sen.. 6 sen sencos cos cos sen. sen cos cos sensen Páina 7/

8 Bacillerato CCSS.- Demuestra, aplicando la deinición, que la derivada de una constante es. Sea la unción constante k Como la unción es constante, k Entonces, k k o.- Halla la derivada de la unción y ln Antes de derivar es conveniente desarrollar la epresión loarítmica: y ln Teniendo en cuenta el loaritmo de un cociente, y ln ln Y aora derivamos; y.- Deriva y simpliica: y Aplicando la órmula de la derivada de un cociente,.. ] y Páina 8/

9 Bacillerato CCSS e e 6.- Deriva y simpliica: y e e e y e. e e e e e e. e e e e e e e e e e e e Realizando las operaciones del numerador, e y e e e e e e e e e e e e e 7.- Deriva y simpliica la unción cos y ln cos Antes de derivar desarrollamos el loaritmo: cos cos cos y ln ln ln ln cos ln cos cos cos cos Y aora derivamos: sen sen sen sen y.. cos cos cos cos sen sen es decir, y. cos sen sen. sen sen.cos sen sen cos cos cos 8.- Halla la pendiente de la recta tanente a la curva en el punto de abscisa =. Escribe la ecuación de dica recta. La pendiente es el valor de la derivada: Pendiente: m. Ecuación de la recta: y y m Necesitamos las coordenadas del punto: Para =, 7 ;P, 7 La ecuación de la recta es, por tanto, y 7 Páina 9/

10 Bacillerato CCSS Ejercicios propuestos.- Deriva las siuientes unciones: a ; b : c.- Deriva y simpliica: y.- Deriva las siuientes unciones loarítmicas: y ln ; y ln ; y lo 6.- Deriva y simpliica: sen y ln sen.- Calcula: a Derivada de en el punto de abscisa = b Derivada de ln en = c Derivada de cos en = 6.- Deriva la unción y 7.- El espacio recorrido por un móvil viene dado por la unción s t t t donde s se mide en metros y t en seundos. Calcula la velocidad en el instante t = seundos. 8.- Deriva y simpliica: y ln sen y cos Páina /