Integral indefinida (CCSS)

Transcripción

1 ntegral indeinida SS achillerato SS ntegral indeinida (SS). Primitiva de una unción Deinición: Sea () una unción deinida en el intervalo (a,b), llamaremos primitiva de la unción () a toda unción real de variable real, F(), tal que: Hallar primitivas es el proceso inverso de hallar derivadas. Es decir, si F() es una primitiva de (), entonces F ()=(). Es evidente que primitivas de una unción hay ininitas, puesto que si consideramos la unción G()=F()+ con =cte. también es una primitiva de (), G ()=(F()+) =F ()=(), y bastará con cambiar la constante para ir obteniendo más primitivas. l conjunto ormado por todas las unciones primitivas de una unción se le denomina integral indeinida de () y se le denota por a b F ', d ( se lee integral indeinida de () dierencial de ) d F con R () se denomina integrando. Ejemplo : omprobar que F 6 es una primitiva de F' Ejemplo : Una unción F() tomo en = el valor, se sabe que su derivada es ()= +6. alcular la unción. F() es una primitiva de () F()= +6+. Toma el valor para = F()= +6+= =- Luego F()= Propiedades de la integral indeinida k d k d con k R gd d g d - /-.G.Onandía

2 ntegral indeinida SS achillerato SS. ntegrales inmediatas De la propia deinición de integral indeinida y de la tabla de derivadas se deduce: FORMS SMPLES n n d n d ln FORMS OMPUESTS n n. ' d n ' d ln a a d ln a e d e a e. ' a d ln a. ' d e sen d cos '. sen d cos cos d sen '. cos d tgd ln cos '. tg d ln cos cos ' d tg d tg cos ' sen d ctg sen ' d arcsen ' d arctg d tg d ctg d arcsen d arctg - /-.G.Onandía

3 ntegral indeinida SS achillerato SS. Métodos elementales de integración.. Descomposición Se basa en las propiedades de las integrales que acabamos de ver. onsiste en descomponer la unción () en suma de otras unciones que sepamos integrar. Ejemplo : d d d d.. Ejemplo : d d d d d d d ln Ejemplo : tg ( ) d tg ( ) d tg ( ) d d tg. ambio de variable En ocasiones, una integral de apariencia diícil se reduce a otra conocida si se cambia adecuadamente la variable de integración. l inal debe darse el resultado en términos de la variable inicial. t t Ejemplo 6: d dt t dt t t dt d ddt / ( ) t e t Ejemplo : e d dt e e t ddt ddt / Resolver las siguientes integrales:. d. d. e cos. d. sen d 6. e d. d d. d 9. d 0. d. d. d. sen cos d - /-.G.Onandía

4 ntegral indeinida SS achillerato SS. d ln. d ln e arctg 6. d. sen e cos d. sen cos d sec 9. d tg 0. d. sen d. e d. cos. sec d d. e send 6. cos. d. d ln d. lgunas integrales racionales Denominamos integral racional a las integrales de unciones racionales del tipo P Q d donde P() y Q() son polinomios. Para el nivel de nuestro curso solo consideraremos los casos en que el denominador sea un polinomio de grado menor o igual a dos. Los casos inmediatos son: n n. ' d n d ln d arctg todos los demás casos se reducen en la práctica a estos, es decir la primitiva será con pequeñas variantes una suma de polinomios, logaritmos y arco tangentes. Partimos que el grado del numerador es menor que el del denominador, en caso contrario se realiza la división. Ejemplo: d d d.. Denominador de grado Si grad(q())= y el numerador es un número, todas sus primitivas corresponden a logaritmos. Ejemplo : d d ln Si el grado del denominador es menor o igual que el grado del numerador, se divide: - /-.G.Onandía

5 ntegral indeinida SS achillerato SS Ejemplo : d Hacemos luego d d d ln.. Denominador de grado m n sí nos quedan integrales de la orma d a b c Para realizar estas integrales se convierte la unción racional en suma de otros cocientes cuyas integrales sepamos hacer. Para ello se realiza la descomposición actorial del denominador y se calculan sus raíces. Realizamos la descomposición en racciones simples.... Si tiene dos raíces reales Si las raíces del denominador son y, el denominador es a(- )(- ), y la descomposición en P( ) racciones simples es: operando y dando valores a la variable obtenemos y. Q( ) a a Dan siempre dos logaritmos neperianos. Ejemplo 6: d uscamos las raíces del denominador: 0 descomposición en racciones simples se tiene que cumplir la identidad: Para = Para =- on lo que sustituyendo obtenemos: d d Ejemplo : d luego hacemos la para cualquier nº real, en particular: d ln ln ( ) ( ) Para = 6 Para =- 6 - /-.G.Onandía

6 ntegral indeinida SS achillerato SS - 6/-.G.Onandía Sustituyendo d d d ln ln Por cambio de variable c c t t dt d dt d t ln ln Ejemplo : d 6 ) ( ) ( 6 Para = Para = Sustituyendo d d d ln ln 6 Ejemplo 9: d omo el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, hacemos la división obteniendo: así d d d ahora calculamos Hacemos la descomposición en racciones simples Para =- 6 6 Para = 6 Sustituyendo obtenemos d d d d d d d d d ln ln... Si tiene una raíz doble Si el denominador tiene una raíz doble su actorización es a(- ), y la descomposición en racciones simples es: ) ( ) ( a a Q P operando y dando valores a las variables obtenemos y. Dan siempre un logaritmo neperiano y una potencial.

7 ntegral indeinida SS achillerato SS - /-.G.Onandía Ejemplo 0: d El denominador es por tanto la descomposición en racciones simples es: Para = Para =0 Sustituyendo d d d d ln ln Ejemplo : d =-/ es una raíz doble del denominador así la descomposición en racciones simples es: Para =/ Para =0 Sustituyendo d d d d d ln ln En estos casos hay otra orma más simple de hacerlos que es poner el denominador como un cuadrado perecto así d d Descomponemos de la siguiente manera:

8 ntegral indeinida SS achillerato SS - /-.G.Onandía Para =-/ Para =0 Sustituyendo d d d d ln... Si no tiene raíces reales (raíces complejas) (no para SS) Si el denominador no tiene raíces reales entonces no se puede realizar la descomposición en racciones simples. En este caso va a dar siempre al menos un arcotangente, que hay que construir, y en ocasiones también un logaritmo neperiano Ejemplo : d d d d d d / / / arctg arctg d d Realizar las siguientes integrales: 9.- d 0.- d 6.- d.- d

9 ntegral indeinida SS achillerato SS. EJEMPLOS DE ÁLULO DE NTEGRLES.-La unción ()=+ tiene ininitas primitivas que diieren en una constante. uál de estas unciones toma el valor para =? ( ). d unción buscada es: omo toma el valor para = resulta:.. La F ( ).-Halla una unción cuya derivada sea uscamos la integral indeinida de () que es: ( ). d omo se anula para = tenemos: y que se anule para =... 0 y se obtiene que = - /6, por tanto, la unción buscada es F ( ) 6.-Halla la unción G tal que G"()=6+; G(0)= y G()=0 Nos dan la segunda derivada por lo que tenemos que integrar dos veces: G' ( ) (6 ) d G( ) ( ) d D De G(0)= resulta: D=, (después de sustituir la por 0.) De G()=0 obtenemos: +/++=0,(después de sustituir la por ) por lo que = -/. La unción que buscamos es la siguiente: G ( ) - 9/-.G.Onandía

10 ntegral indeinida SS achillerato SS.-Dada la unción ()=6 halla la primitiva que pasa por el punto (,). Hallamos la integral indeinida: hora buscamos la que pasa por el punto (,): 6 d que es el conjunto de todas sus primitivas.. lo que indica que =, por tanto, la primitiva buscada es F ( ).-ntegra las siguientes unciones racionales: (NMEDTS O MO DE VRLE) a) d ; b) 6 d ; c) 6 d ; d) d a) La primera es inmediata ya que el numerador es eactamente la derivada del denominador, por tanto, d L 6 6 b) La segunda se resuelve buscando la derivada del denominador: 6 6 d d. L 6 c) La tercera la descomponemos en dos integrales: d d d arctg L( ) d) La cuarta se resuelve realizando previamente la división. Y podemos realizarla por Ruini Hecha la división se obtiene de cociente + y de resto d ( ) d L 6.-alcula por el método más adecuado las siguientes integrales: a) ; ( ) d b) d 6 Solución a) La primera la resolvemos por un sencillo cambio de variable: t d dt d dt t ( ) t t dt t b) La segunda es una integral en la que el numerador puede transormarse en la derivada del denominador: - 0/-.G.Onandía

11 ntegral indeinida SS achillerato SS 6 6 d d L ntegra la siguiente unción racional: = d (RES SMPLES) 6 omo no puede obtenerse en el numerador la derivada del denominador, utilizaremos el método de descomposición en racciones simples, ya que el denominador tiene raices reales ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) omo los numeradores son iguales los denominadores también lo serán: ( ) ( ) Para =, = ; Para =, = ( se le han dado los valores de las raíces del denominador.). hora procedemos de la siguiente manera: L--L- 6 = d d d d.-resuelve la siguiente integral: ( ) (RES DOLES) Estamos en el caso en que el denominador tiene raíces múltiples. Las descomposición tenemos que hacerla de la siguiente orma: ( ) ( ) D (Si la raíz múltiple uese de orden, llegaríamos con las racciones hasta ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (donde hemos realizado la suma indicada) Si los numeradores son iguales, los numeradores también lo serán, por tanto, ( ) ( ). Para calcular los valores de, y damos a los valores de 0, y otro valor cualquiera, por ejemplo,. De ese modo obtenemos =, = y =. - /-.G.Onandía

12 ntegral indeinida SS achillerato SS Entonces: d d d d L L ( ) d ( ) ( ) ( ) L L L L 9.-alcula por el método más adecuado la integral siguiente: ( L) d Solución El método más adecuado es el de sustitución o cambio de variable: L t d = dt ( L) t ( L) d L d t dt ( ). 0.-Resuelve la siguiente integral trigonométrica: sen tg cos sen cos sen cos d d sen tg d cos La primera la ponemos de orma que el numerador sea la derivada del denominador: sen cos sen cos d d L cos Para la segunda hacemos un cambio de variable: sen d cos cos=t ; -send=dt dt t t dt t t cos - /-.G.Onandía