INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

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1 INTEGRAL INDEFINIDA. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN EJERCICIOS RESUELTOS Calcula una función real f : que cumple las condiciones siguientes: f (0) = 5, f (0) =, f (0) = 0 y f () = + Como f () = +, integremos esta función para obtener f (). f () = ( + ) d = + + C La constante C la podemos calcular teniendo en cuenta la condición f (0) =. 0 f (0) = C = C = Así pues, f () = + +. Calculemos ahora f (), integrando f (). f () = + + d = C 6 Hallemos C, teniendo en cuenta la condición de que f (0) = 5. f (0) = C = 5 6 C = 5 Así pues, f () = Finalmente, integrando f (), encontraremos f (). f () = d = C. 6 6 Para conocer C, imponemos la condición f (0) = 0. f (0) = C = 0 6 C = 0 Por tanto, la función pedida es: f () = Se sabe que la gráfica de una función f pasa por el punto (, ) y que f () =. Se conoce también que su derivada segunda es la función g() =. Calcula razonadamente la función f. Tengamos en cuenta que g () = f () =. La función f es primitiva de la función f. Se tiene entonces: f () = f '' ( ) d = d = + C Pero como f () =, se tiene que = + C, con lo que C = 0. Por otra parte, f es una primitiva de la función f, con lo cual: f () = f '( ) d= d = + K Como la gráfica de f pasa por (, ), se tiene que = + K, con lo que K = 0. Por lo tanto, la función f buscada es f () =.

2 Halla una primitiva de la función f () = que se anule en =. El conjunto de todas las primitivas de la función f viene dado por la integral indefinida: F () = arcsen d = d = ( ) La primitiva que buscamos se anula en =, luego: arcsen F() = + C = 0 π + C = 0 C = π Por tanto, la primitiva pedida es: arcsen F () = Calcular la integral d. + Calculemos esta integral mediante un cambio de variable. Sea: = t d = t dt Así: t dt dt d = = + = Ln t + + C = Ln ( + ) + C + t t t Resuelve d + 6 En primer lugar escribimos de otra forma la integral anterior, teniendo en cuenta que: 6 = ( ) = d + 6 = d + Hagamos ahora el siguiente cambio de variable: t = dt = Ln d + 5 (+ 5 ) Ln d (+ 5 t) dt d = + Ln = + ( ) Ln = + t dt 5 t dt 5 = arctg ( ) Ln( ) Ln + = t + + t + t + t Ln + C Deshaciendo el cambio de variable realizado anteriormente, se llega a: d = arctg ( t) + Ln( + t ) + 6 Ln + C = arctg ( ) 5 Ln( + ) + + C Ln Ln Calcula la integral Ln d. Resolvemos esta integral por el método de integración por partes: u dv = u v v du u = Ln du = d ; d = dv v = d = Por tanto: Ln d= Ln Ln Ln Ln d= d = = + C

3 Calcula la integral e cosd. Resolvemos esta integral por el método de integración por partes: u dv = u v v du u = cos du = sen d e e d = dv v = e d = Por tanto: e e cos d= cos + e sen d La integral que nos aparece ahora la podemos intentar resolver de nuevo mediante integración por partes. u = sen du = cos d e e d = dv v = e d = e e sen d= sen e cos d Esto es: e e e cos d cos = + sen e cos d e e = cos + sen e cos 9 9 d Llamando a la integral original J, se tiene que: e e J = cos + sen J 9 9 e e De aquí obtenemos que: J + J = cos + sen 9 9 e e Esto es: J = cos + sen 9 9 = De aquí se deduce que J = 9e e e cosd= cos + sen 9 + Ln Calcula d (Ln Ln ) Realicemos un cambio de variable en la integral anterior. t = Ln dt = d Ln t + d = + dt (Ln Ln ) t t Esta última integral la vamos a resolver por el método de integración de funciones racionales: t t = t (t ) + t A B A( t ) + Bt = + = t t t t t( t ) Igualando coeficientes se llega al sistema:

4 A + B = A = Resolviéndolo, la solución es A = ; B =. Por tanto: + t dt = dt + dt = Ln t + Ln t + C t t t t Deshaciendo el cambio de variable inicial, se llega a que: + Ln d = Ln Ln + Ln Ln + C (Ln Ln ) d Calcula I =. ( ) ( ) Esta integral la resolveremos por el método de integración de funciones racionales. Se tiene que: ( ) ( ) = ( + ) ( ) Así: A B C = + + ( ) ( ) + ( ) Operando en el segundo término de esta epresión, llegamos a: A B C A ( ) + B ( + ) ( ) + C ( + ) + + = + ( ) ( ) ( ) Por tanto, se deduce que: A ( ) + B ( + ) ( ) + C ( + ) = ( ) ( ) ( ) ( ) Identificando coeficientes, se llega al siguiente sistema: A + B = 0 A + C = A B + C = 0 Resolviéndolo, se llega a que A = ; B = ; C = Por tanto, podemos epresar la integral original como suma de integrales simples del siguiente modo: d = d + d + + d = ( ) ( ) ( ) = Ln + + Ln ( ) + C d Resuelve la siguiente integral indefinida I =. ( + )( + )( + 9) Para resolver esta integral, hagamos en primer lugar un cambio de variable. t = dt = d d t dt = ( + )( + )( + 9) ( t + )( t + )( t + 9) Esta integral la resolveremos por el método de integración de funciones racionales.

5 t A B C = + + ( t + ) ( t + ) ( t + 9) t + t + t + 9 Operando en el segundo término de esta epresión, llegamos a: A B C A ( t + ) ( t + 9) + B ( t + ) ( t + 9) + C ( t + ) ( t + ) + + = t + t + t + 9 ( t + ) ( t + ) ( t + 9) Por tanto, se deduce que: t A ( t + ) ( t + 9) + B ( t + ) ( t + 9) + C ( t + ) ( t + ) = ( t + ) ( t + ) ( t + 9) ( t + ) ( t + ) ( t + 9) Identificando coeficientes, se llega al siguiente sistema: A + B + C = 0 A + 0B + 5C = 6A + 9B + C = 0 9 Resolviéndolo, se llega a que A = ; B = ; C = 5 0 Por tanto, podemos epresar la integral original como suma de integrales simples del siguiente modo: t dt 9 = ( t + )( t + )( t + 9) dt + + dt + dt t 5 t 0 t + 9 = 9 = dt + dt + + dt = 8 t 0 t 80 t = Ln t+ + Ln t+ Ln t+ 9 + C Deshaciendo el cambio original, se llega a que: Ln( ) Ln( ) 9Ln( 9) I = C Encuentra la función derivable f : [, ] que cumple f () = y si < 0 f () =. e si 0 Como f es derivable en su dominio, es continua en su dominio y por tanto podemos aplicarle el Teorema fundamental del cálculo integral que dice: Si f () es continua entonces la función F () = En nuestro caso particular f () = a f ( ) d es derivable y su derivada es F () = f () f '( ) d. Como f () tiene dos ramas integramos cada rama por separado: Si < 0 f () = f '( ) d = ( ) d = + K Si 0 < f () = f '( ) d = ( e ) d = e + M Como f () es derivable, es continua y en particular lo es en = 0, es decir, se debe cumplir que: f (0) = Lim f ( ) = Lim f ( ) f (0) = Lim f ( ) = Lim ( e + M ) = + M Lim f ( ) = Lim K = K.

6 Igualando: + M = K. Por otro lado, el enunciado del problema nos dice que f () =, es decir: = e + M M = e Luego M = e y K = e. Por tanto la función pedida es + ( e) si < 0 f () = e e si 0 Siendo Ln () el logaritmo neperiano de, considera la función f : (0, + ) por f () = Ln (). Calcula: a) f ( ) d definida b) Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (, 0). a) Realicemos la integral por partes: u = Ln () du = d dv = d v = d = F () = Lnd= Ln Ln Ln d= d K = + b) Como la primitiva pedida pasa por el punto (, 0) tenemos F () = 0, es decir: F () = 0 Ln + K = 0 K = Por tanto: F () = Ln( ) + De la función f : (, + ) se sabe que f () = ( + ) y que f () = 0. a) Determina f. b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, ). a) f () = ( + ) con f () = 0. Por el Teorema fundamental del Cálculo Integral tenemos que: + ( + ) f ( ) = f '( ) d = d = + d = + K = + K + ( ) ( ) ( + ) + Como f () = 0, tenemos que: 0 = + K = + K K = ( + ) La función es f () = + + b) Una primitiva de f () es F () = f ( d ) = + d= Ln H + Como pasa por (0, ) tenemos = Ln H = 0 + H = H, es decir H = y la primitiva pedida es: f () = Ln + + +

7 De la función f : se sabe que f () = + + y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P = (, ). Halla la epresión de f. Veamos que ha de cumplir f a partir de las condiciones del enunciado. Como pasa por P = (, ), entonces f () =. Como f tiene tangente horizontal en P = (, ), tenemos que f () = 0. Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral tenemos: f () = f ''( ) d = ( + + ) d = K 0 0 f () = 0 0 = K K = f () = + + Volviendo a aplicar el teorema fundamental del cálculo integral: 0 0 f () = f '( ) d = + + d = K f () = = K K = 0 7 Con lo cual f () = Sea f : (0, + ) la función definida por f () = ( ) Ln(), donde Ln() es el logaritmo neperiano de. Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, /). Una primitiva de f () es F () = f ( ) d + K f ( d ) = Ln( ) d, que es una integral por partes: Resolvamos ( ) u = Ln() du = (/) d dv = ( ) d v = ( ) d = ( Ln() ) d = Ln d = Ln d = = Ln La primitiva es: F () = Ln + K Como pasa por el punto (, /) tenemos que F () = / / = [/ ] Ln [(/) ] + K = / + K K = / / = 9/ 9 La primitiva pedida es F () = Ln

8 Sea Ln ( ) el logaritmo neperiano de ( ) y sea f: (, ) la función definida por f () = Ln ( ). Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, ). Como nos pide una primitiva de f () = Ln ( ) tenemos que utilizar el método de integración por partes para calcular la integral indefinida. Tomemos: u = Ln ( ) du = d dv = d v = d = I = Ln ( ) d= Ln ( ) d= Ln ( ) + d= Ln ( ) + J J = d es una integral de tipo racional y como el numerador es de mayor grado que el denominador tenemos que efectuar la división: + + A d d d d d = + A Ln ( ) + B Ln ( + ) Calculemos los coeficientes A y B: A B A ( + ) + B ( ) ( A + B) + ( A B) = + = = ( ) ( + ) + ( ) ( + ) ( ) ( + ) de donde igualando los numeradores tenemos: = (A + B) + (A B) A + B = Resulta el sistema, de donde A = y B =. A B = 0 Por tanto la integral original es: Ln ( ) d = Ln ( ) + Ln + Ln + + K J = = + = + = + + ( ) ( + ) + B d = Una primitiva es f () = Ln ( ) + Ln + Ln + + K. Como piden la primitiva que pasa por (0, ) tenemos que f (0) = es decir: = K luego K = y la primitiva pedida es: f () = Ln ( ) + Ln + Ln + +