ANÁLISIS DE FUNCIONES

Transcripción

1 ANÁLISIS DE FUNCIONES.- Calcula f() de manera que f () = Ln( + ) y que f(0) = 0. (nota: Ln significa logaritmo neperiano). Universidad de Andalucía Se trata de resolver la integral que hemos de hacerlo por partes. Para ello hacemos: Ln( + ) = u y dv = d La primera la derivamos y la segunda la integramos: Y, aplicando la fórmula de integración para este método, resulta: es decir, siendo donde hemos simplificado y hemos hecho la división. Sustituyendo I en la epresión (*) se obtiene: Si I(0) = 0, I = C = 0, es decir C = 0 luego la función buscada es:

2 .- Hallar la primitiva siguiente, eplicando los pasos que se efectúan y justificando el método elegido: 4 + d Universidad de Canarias En primer lugar realizamos la división. Esto se hace siempre que el grado del numerador es igual o mayor que el grado del denominador: Hemos obtenido + + de cociente y - de resto, por tanto, Para calcular I descomponemos en fracciones simple: Y si los denominadores son iguales, los numeradores también lo serán. entonces, = A + B B Haciendo =, sale = A Haciendo = 0, resulta = B, es decir B = luego Finalmente, después de sustituir I por el resultado obtenido, obtenemos como solución,

3 = t 3.- Sea F() la función definida por F( ) e dt Halla los puntos en que se anula la función F ( Universidad de Madrid e Tendremos en cuenta lo siguiente: Teorema fundamental del cálculo: Si f es una función continua en [a, b], la función es derivable y se verifica que F () = f() Si g y h son dos funciones derivables, la función es derivable y se verifica que F () = f[h()].h () - f[g()].g () (Por la regla de Barrow) En nuestro caso, luego, Y si queremos que F () = 0, ha de ser e - = 0 puesto que el primero de los factores no se anula nunca. De aquí que e =, o lo que es igual, = Encontrar las abscisas de los posibles máimos y mínimos de la función f: R R definida por f ( ) = t 0 t 4 dt + Universidad de Murcia Aplicando el teorema fundamental del cálculo, Haciendo f () = 0, se obtiene = 0, es decir, = ; =

4 Segunda derivada: Los valores que anulan la ª derivada los sustituimos en la ª derivada: Para =, luego, eiste un mínimo en =. Para =, Eiste un máimo para = 5.- Haciendo el cambio u = e e calcular: d e Zaragoza, junio, 000 Si u = e, du = e.d y entonces, Descomponiendo en fracciones simples, Si los denominadores son iguales, los numeradores también lo serán, por tanto, = A(u+)+B(u-) Si u =, = B B = / Si u =, = A A = / Volviendo a la integral,

5 Y deshaciendo el cambio de variable, 6.- Siendo Ln() el logaritmo neperiano de, considera la función f: (0, + ) R definida por f() = Ln(). Calcula: f ( ) d Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (, 0) Andalucía, junio, 00 Escribiremos L en lugar de Ln() que es más cómodo. Aplicando el método de integración por partes resulta: L = u dv = d La primera la derivamos y la segunda la integramos: (.L + /. ).d = dv, es decir, (L + )d = dv ; v = Si llamamos I a la integral, es decir, Y quitando denominadores, I = L - I - 4I = L - Despejando I tenemos la integral pedida: Para cada valor de C obtenemos una primitiva. Si queremos la que pasa por el punto (, 0), damos a el valor de y a I el valor de 0 obteniendo C = /4. La primitiva buscada es, por tanto, 7.- Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola de ecuación y = y el segmento cuyos etremos son los puntos P(, ) y Q(4, ) Oviedo, junio, 000 En primer lugar hallamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(, ) y Q(4, ):

6 Un vector director se obtiene restando las coordenadas de ambos puntos: v = (3, 3) Tomando uno de los puntos, por ejemplo, P y aplicando la fórmula de la ecuación continua de la recta obtenemos, después de simplificar, = y + Ahora aplicamos la fórmula para calcular el área limitada por las curvas = f(y); = g(y) que se cortan en los puntos de ordenada y = a, y = b que es la siguiente: tomando el resultado en valor absoluto. En el caso que nos ocupa, si dibujamos la recta y la parábola obtenemos: Puntos de intersección de la recta = y + y la parábola = y y y = 0. Y resolviendo la ecuación obtenemos y = ; y = La función a integrar es la diferencia de los dos funciones, es decir, y y (en valor absoluto) cuyo resultado es (8/3 4) ( /3 /+) = 4,5 Tomando el resultado en valor absoluto obtenemos el área, es decir, Área = 4,5 u

7 8.- A. Enunciado de la Regla de Barrow. B. Sea f ( ) = dt y sea a,b R t Demuestra que f(a.b) = f(a).f(b) Galicia, junio, A.- Si f() es una función continua en [a, b] y G() es una primitiva de de f(), entonces B.- Resolviendo la integral dada, resulta: Como f() = L, lo que tenemos que demostrar es que L(a.b) = La+ Lb Si La = e = a Si Lb = y e y = b Multiplicando miembro a miembro, e.e y = a.b, es decir, e +y =a.b Y aplicando logaritmos neperianos, Le +y =L(a.b) + y = L(a.b) Sustituyendo e y por sus valores indicados más arriba, se obtiene La+Lb=L(a.b) 9.- Determinar una constante positiva a sabiendo que la figura plana limitada por la parábola y = a +, la recta y = 0 y la recta = a tiene de área (a ) Etremadura, junio, 00 Como a > 0, la parábola es abierta hacia arriba. Puntos de corte con el eje de abscisas: Para y = 0, 3a + = 0 (3a + ) = 0, es decir, = 0, = /3a

8 El recinto limitado por la parábola, la recta = a y el eje de abscisas es la zona sombreada. Como está en parte positiva la integral es el área del recinto pedido, por tanto, Resultado que hemos de igualar a (a ) a 4 + a = a 4 - a + 3a = La solución válida es la positiva. 0.- a) Definición de derivada de una función en un punto. b) Utilizando la definición de derivada, encuentra la derivada de la función 3 + f ( ) = en el punto o = 3. c) Encuentra la ecuación de la tangente a la curva 0 = y = en el punto de abscisa Murcia, septiembre, 00 a) La derivada de una función f en el punto de abscisa = a, se define como el siguiente límite, si eiste: f ( a) = lim ( + ) ( ) h f a h f a 0 b) (3 + h) 6 + h f (3) = = 6; f (3 + h) = = h + h

9 6 + h 6 f (3 + h) f (3) h 6 + h 6 6h 5h 5 = + = = = h h h( + h) h( + h) + h f (3 + h) f (3) 5 f (3) = lim = lim = 5 0 h 0 + h c) Hallamos la ordenada del punto: Para = 3, y = 6, luego el punto es P(3, 6) Pendiente de la recta tangente: es el valor de la derivada, por tanto, m = 5 Aplicamos la fórmula de la ecuación punto-pendiente: y - y 0 = m ( 0 ), donde ( 0, y 0 ) son las coordenadas del punto. La ecuación de la recta tangente queda de la siguiente forma: y 6 = 5( 3), o bien en su forma eplícita: y = Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: el perímetro de uno de ellos sea triple del perímetro de otro, se necesitan eactamente 48 metros de valla para vallar los tres y la suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible Murcia, junio, 00 Observando los dibujos tenemos: y = y = 48, es decir, 4 + y = 3 y = 3-4 (Condición que se tiene que dar). El área de los tres campos es: A = y es decir, A = + 9 +(3-4)

10 Primera derivada: A' = +8+(3-4)(-4)= = Si igualamos la derivada a cero, = 0 = 48 Segunda derivada: A'' = 5 ; A'' (48) = 5 >0 que para = 48 eiste mínimo. Sustituyendo el valor de en y = 3-4, se obtiene y = = 44 Las dimensiones de los campos serán: 48 metros, 0 metros y 44 metros..- Se divide un alambre de 00 metros de longitud en dos segmentos de longitudes y 00-. Con el de longitud se forma un triángulo equilátero y con el otro se forma un cuadrado. Sea f() la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado. a. Determinar el dominio de la función f, es decir, los valores que puede tomar. b. Con el estudio de la derivada de f obtener cuándo f es creciente y cuando es decreciente. c. Indicar razonadamente para qué valor de se obtiene que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado es mínima. Comunidad Valenciana, junio, 00 a) El área del triángulo, cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido es: At = lado lado senα ; es decir, A t 3 3 =.. sen60º =. = Para el cuadrado será: A c = lado = = 4 6 La función a minimizar es, por tanto, f ( ) =

11 El dominio de la función está formado por todos los valores mayores que 0 y menores que 00, es decir, D( f) =(0, 00) b) Primera derivada: f ( ) = + = + = Si hacemos la ª derivada igual a cero, ( ) 900 = 0 = 56, (0, 56 5) (56 5, 00) f + f Puede comprobarse que en cualquier punto del intervalo (0, 56'5) la derivada es negativa, luego la función es decreciente. En el intervalo (56'5, 00) la derivada es positiva, luego la función es creciente c) En el punto = 56'5 la derivada la función pasa de decreciente a creciente, por tanto, para dicho punto, la suma de las áreas es mínima. 3. Dadas las funciones f = + ( ) ( ), = y h( ) g( ) ( ) = sen calcula los siguientes límites : a) f ( ) lim 0 h ( ) (0,75 puntos) b) f ( ) lim 0 g ( ) (0,75 puntos) f ( ) + g( ) c) lim ( punto) 0 ( h( )) Asturias, junio, 004. f ( ) ( + ) lim = lim = lim = lim = = (hemos apli- 0 h( c) 0 sen 0 sen 0 cos cado la regla de L Hôpital).. f ( ) ( + ) lim = lim = lim = lim = = g( ) ( ) 0 0

12 3. f ( ) + g( ) ( + ) + ( ) lim = lim = lim = lim = ( h( )) sen sen (Hemos tenido en cuenta que cuando 0, sen ) b 4. Calcula los valores de a y de b para que la función f ( ) = a tenga como asíntota vertical la recta = y como asíntota horizontal la recta y = 3. Razonar si para a = y b = 3, la función f ( ) tiene algún mínimo relativo. Aragón, junio, 006 Para que la recta = sea una asíntota vertical se ha de verificar: b lim = a b b Entonces, lim = = a = 0 a = a a b b b Para que la recta y = 3 sea una asíntota horizontal lim = lim = = 3 b = 3 a 3 Para a = y b = 3, la función es: f ( ) = Y para que eista mínimo relativo la primera derivada se tiene que anular, por tanto, 3.( ) f ( ) = = = = 0 6 = 0 absurdo! ( ) ( ) ( ) Lo que significa que la primera derivada no se anula nunca. No eiste mínimo relativo. 5. Calcular d + Madrid, septiembre 006 Una primitiva de la función puede hallarse por el método de descomposición en fracciones. Como las raíces del denominador de la epresión son 0 y, se tendrá: +

13 A B A( + ) + B = = + = ( ) Por tanto: = A( + ) + B Si damos los valores de 0 y, se obtiene: Para = 0, = A A = Para =, = B B = d Luego = + d = d d = ln ln( + ) En consecuencia, d = ln ln( + ) = ln ln 4 ln ln 3 = + 3 = ln ln + ln 3 = ln ln + ln 3 = ln + ln 3 = ln 3 6. Sea I = d 0 + a) [,5 puntos] Epresa I aplicando el cambio de variable t = + b) [,5 puntos] Calcula el valor de I. Andalucía, junio 006 a) t d dt d + = = = Límites de integración: Para =, + = t t = 5 dt Para = 0, 0 + = t t = 3 5 t dt 5 t I = d = 0 d = dt 0 = + + t t ( t t ) I = t t dt = = = = 3 = 3 3 3

14 ( ) si 7. Sea la función real de variable real: f ( ) = 36 si > + a) Razonar si la función es continua en toda la recta real. b) Razonar si la función es derivable en toda la recta real. Canarias, junio 006 a) El único punto dudoso es. En los demás puntos la función es continua. Límites laterales: lim ( ) = ( 4) = lim = = Eisten los límites laterales y estos son iguales. Además, La función es continua en toda la recta real. 36 f () = = 9 4 b) Estudiamos la derivabilidad en el punto = ya que en los demás puntos la función es derivable. f ( ) = 36 si > ( + ) ( ).( ) si f ( ) = ( 4)( 4) = 4; f ( ) = = = ( + ) 6 4 Como las derivadas laterales en = no coinciden, la función no es derivable en ese punto. 8. Determina los valores de a, b y c R para que la función 3 f ( ) = + a + b + c pase por el origen de coordenadas, tenga un punto de infleión en =, y su recta tangente en = tenga pendiente 3. CASTILLA LA MANCHA / JUNIO 06 Derivando: f ( ) = 3 + a + b f ( ) = 6 + a

15 Ahora imponemos las condiciones indicadas: Pasa por el origen de coordenadas: f (0) = 0, = c = a.0 b.0 c 0 Tiene un punto de infleión en = : La segunda derivada se anula en dicho punto. f ( ) = 0, 6.( ) + a = 0 a = 6 a = 3 La tangente en = tiene de pendiente 3: La primera derivada toma el valor 3 en dicho punto. f = + a + b = () b = 3 b = 6 Entonces, la función es: 3 f ( ) = ln(cos( )) 9. Calcular el valor de lim 0 Castilla y León, junio 006 sen( ) ln(cos( )) 0 cos( ) tg( ) 0 lim = lim lim 0 = = = = ( + tg ( )). ( + 0). = lim = =, donde hemos aplicado dos veces la regla de 0 L`Hôpital. 0. Sea f : R R la función definida por f ( ) = e ( a + b), donde a y b son números reales. a) Calcula los valores de a y b para que la función tenga un etremo relativo en el punto 3 (3, e ) b) Para los valores de a y b obtenidos, dígase qué tipo de etremo tiene la función en el punto mencionado. Cataluña, septiembre 006. a) Si la función tiene un etremo relativo en el punto 3 (3, e ) entonces,

16 º. Pasa por dicho punto, es decir, º. La primera derivada se anula para = 3: 3 e = e 3 (3 a + b) 3a + b = f ( ) = e.( a + b) + a. e ; 3 3 e a b ae a b (3 + ) + = = 0 Con las dos ecuaciones obtenidas formamos el siguiente sistema: 3a + b = 4a + b = 0 a = ; b = 4 b) Conocidos los valores de a y b la función queda de la forma siguiente: f ( ) = e ( + 4) Calculamos las derivadas primera y segunda: f ( ) = e ( + 4) + ( ). e = e ( + 3) f ( ) = e ( + 3) + ( ). e = e ( + ) Como la primera derivada se anula para =3, sustituimos dicho valor en la segunda derivada: 3 3 f (3) = e ( 3 + ) = e < 0, luego se trata de un máimo.