-, se pide: b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máximo relativo de la curva.

Transcripción

1 EJERCICIOS PARA PREPARAR EL EXAMEN GLOBAL DE ANÁLISIS ln ) Dada la función f ( ) = +, donde ln denota el logaritmo - 4 neperiano, se pide: a) Determinar el dominio de f y sus asíntotas b) Calcular la recta tangente a la curva y = f () en = ) Calcula a, b, c y d si la función f : R R definida por f ( ) = a + b + c + d verifica: - El punto (-,4) es un mínimo relativo de de su gráfica - Su gráfica corta al eje OY en el punto de ordenada y = - La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene pendiente 9 ) Dada la función f ( ) = -, se pide: a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f () b) Determinar las coordenadas de sus etremos relativos c)el valor máimo que puede tener la pendiente de una recta tangente a la gráfica de f () 4) a) Dibuja la gráfica de f puntos con tangente horizontal - ( ) = e obteniendo previamente los cortes con los ejes, asíntotas y b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máimo relativo de la curva 5) Se considera la función ì + f ( ) = í a + b - + î si si 0 0 < si > a) Calcula a y b para que f sea continua en R b) Esboza la gráfica de f para a = -, b = 4 Es derivable? c) Para a = -, b = 4, obtén el área del recinto limitado por la gráfica de f y los ejes coordenados 6) Si a y b son números positivos y f : R + R viene dada por b f ( ) = a +, prueba que el valor mínimo de f es ab y, a partir de ahí, deduce que + ( R representa el conjunto de los números reales positivos) ab a + b

2 7) Hay algún número c para el que eista el siguiente límite? c + c lim + - Calcula c y el límite correspondiente 8) Para cada una de las siguientes funciones, di cuáles están acotadas superior o inferiormente y cuáles tienen máimo o mínimo absoluto f: [0,5] j: 9) Calcula la asíntota oblicua, si eiste de la función f ( ) = + - 0) Se considera la función real de variable real definida por f( ) Se pide: a) Hallar sus máimos y mínimos relativos y sus asíntotas b) Hallar los puntos donde la gráfica de f() tiene tangente vertical c) Representar gráficamente la función Nota: Para obtener las asíntotas puede ser de utilidad la igualdad: A - B A- B = A AB B + + = + - ) De una función f() derivable conocemos que pasa por el punto A(-,-4) y que su derivada es ì- si f ( ) = í si > î a) Hallar la epresión de f() b) Obtener la ecuación de la recta tangente a f() en = ) Dada la función f( ) = 6 - a) Encontrar los puntos de discontinuidad de f Determinar razonadamente si alguna de las discontinuidades es evitable b) Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical ) a) Dibujar la gráfica de la función g ( ) = e - b) Calcular el dominio de definición de f( ) = y su comportamiento para e - + y - c) Determinar (si eisten) los máimos y mínimos absolutos de f ( ) en su dominio de definición

3 ì + + si ³- 4) Se considera la función f( ) = í si <- î - a) Estudiar el dominio, la continuidad y la derivabilidad de f b) Hallar las asíntotas de la función f c) Calcular el área del recinto plano limitado por la gráfica de f y las rectas y = 0, =, = 5) Dada la función f( ) = - 4+ : a) Determinar los etremos relativos de la función así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento Dibujar su gráfica b) Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P (,-5) 6) Resuelve uno de los dos problemas: a) Hallar las dimensiones del rectángulo de área máima que tiene un lado sobre el eje OX y está inscrito en el triángulo determinado por las rectas y = 0, y =, y = 4 b) Dada la parábola y = 4 -, se considera el triángulo T(r) formado por los ejes coordenados y la tangente a la parábola en el punto de abscisa = r >0, hallar r para que T (r) tenga área mínima ì a + b si 0 7) Se sabe que la función f ( ) = í es derivable en [0,5] î si < 5 Cuánto valen a y b? Comprueba si se puede aplicar el teorema de Rolle a esa función en ese intervalo En caso afirmativo, halla el punto al que hace referencia dicho teorema 8) Dada la función f ( ) = e : a) Estudia las asíntotas y los etremos relativos de dicha función y represéntala gráficamente b) Calcula el área de la región comprendida entre la gráfica de la función f, el eje de abscisas y las rectas = - y = 9) Se considera la función real de variable real definida por f ( ) = a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f que es paralela a la recta y = + 4 b) b) Calcular el área del recinto acotado limitado por la gráfica de f, la recta obtenida en el apartado a) y el eje = 0 0) Calcula las siguientes integrales: + a) ò d ; b) ò d ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i)

4 ) Estudie la continuidad y derivabilidad en = 0 y en = de ln denota el logaritmo neperiano ì0 f ( ) = í î ln si 0 si > 0, donde ) Dada la función ( - ) ìln f ( ) = í - - îe si < 0 si ³ 0, donde ln denota el logaritmo neperiano, se pide: a) Estudiar la continuidad de f y calcular lím f () - b) Calcular la recta tangente a la curva y = f () en = c) Calcular ò f ( ) d ) Calcula: a) - ; b) lim ( ) ; c) lim 4) a) Si g verifica que (6)= (), calcula ( 5) () b) Si f verifica que () =, calcula ( ) 5) Responde con verdadero o falso las siguientes cuestiones, razonando la respuesta: Sea la función f derivable en R, de la que sabemos que pasa por el punto A(,), que responde a la función ()= + > a) La gráfica de f tiene una asíntota horizontal en + b) Para todo de (,],()= c) Para todo de R, () 0 d) ()= + 6) Responde con verdadero o falso las siguientes cuestiones, razonando la respuesta: Sean a y b números reales positivos y f la función definida en =[,]por ()= a) Para todo de, ()= b) Si a =6 y b =, para todo de, () c) Si a = b =, entonces la ecuación ()= admite dos soluciones en d) Si a = b, entonces la gráfica de f admite dos tangentes paralelas a la recta = 5 7) Responde con verdadero o falso las siguientes cuestiones, razonando la respuesta: a) lim = 0 b) lim = c) Si f es una función definida en (0, ) ()=, la gráfica de f admite como asíntota horizontal el eje de abscisas 4

5 d) La función ()= tiene un asíntota horizontal en + e) =+ f) ( ) = g) Si es un número real positivo, entonces = ln(+ ) h) Si a <0, la ecuación = + tiene una única solución real sea cual fuere b i) La función ()= tiene tangente no vertical en = 0 j) Para cualquier número real, se verifica que 8) Dada la función ()= (6 ), se pide: a) Determinar el dominio, asíntotas y cortes con los ejes b) Calcular su derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento y etremos relativos c) Determinar el área del triángulo que forman los ejes coordenados con la tangente a la curva y = ()en el punto = 0 9) Dada la función ()= 0 se pide: >0 a) Estudia la continuidad y determinar sus asíntotas b) Estudiar la derivabilidad de f y calcular ()donde sea posible c) Calcular () 0) Sea ()una función con derivada continua tal que (0)=y (0)= Se considera la función ()=(()) y se pide: a) Hallar la recta tangente a la curva = ()en =0 b) Calcular lim () ) Se considera la función real de variable real definida por ()= Calcular el valor de >0 para el cual se verifica la igualdad () = ) Determinar los valores de las constantes,, para los cuales la gráfica de la función real de variable real () tiene tangente horizontal en el punto (0,4) y "()= 0 ) Sea ()una función real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos tal que: (0)=; (0)=; ()=4 Calcular (0), siendo ()= + (0) 5

6 6