a) Se trata de integrar una función racional cuyo denominador tiene raíces reales simples. Por tanto, se descompone en fracciones simples:

Transcripción

1 . a.sen() e Sabiendo que lim es finito, calcula el valor de a y el de dicho límite. lim L'Hôpital a.sen() e a.cos (e e ) lim L'Hôpital a. sen e (e e ) a. sen e e lim lim L'Hôpital El parámetro a puede ser cualquier número real.. Sea la función f definida por f() para y a) Halla una primitiva de f. b) Calcula el valor de k para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de f en el intervalo [, k] sea ln(), donde ln denota el logaritmo neperiano. a) Se trata de integrar una función racional cuyo denominador tiene raíces reales simples. Por tanto, se descompone en fracciones simples: A B A( ) B() ( )( ) ( )( )

2 A() B() (AB) (AB) AB Identificando coeficientes: A, B A B Por tanto: d d d ln ln ln es una primitiva de f(). b) En el intervalo [, k] la función f() es positiva: k k A d ln ln( ) ln( ) ln ln(k ) ln(k ) ln( ) ln( ) ln lnk lnk ln ln ln k k ln k k k 5. Calcule la siguiente integral indefinida d Se trata de una integral racional. Se hallan las raíces del denominador utilizando la regla de Ruffini ( )( 4 6) Descomponiendo en fracciones simples: A BC ()( 46) 46

3 ( )( 4 6) A( 46) (BC)( ) ( )( 4 6) A( 46) (BC)() Identificando coeficientes: AB AB AB 4A B C 7A B 7A B 6AC CA A AB B 7AB C d d d 4 6 d ln () 4 7 d d d d d d ln / d d 46 () () d u du d du () ( ) d 7 du 7 arctgu u 7 arc tg 7 d ln ln 4 6 arc tg C

4 d ln arc tg C Dadas las rectas y b y la parábola y. a) Calcula la abscisa del punto donde la recta tangente a la parábola es paralela a la recta dada. b) Calcula el valor del parámetro b para que la recta sea tangente a la parábola. a) yb m y y' La pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada de la función en dicho punto. De otra parte, por ser la tangente paralela a yb, deben tener la misma pendiente. Es decir: y' La abscisa del punto en el que la recta dada es paralela a la tangente es 9 b) El punto de tangencia (, ) es,. Sustituyendo en la 4 ecuación de la recta, se obtiene: yb. b b 4 4 4

5 5. Con el símbolo ln se representa el logarítmo de un número positivo cuando la base del logarítmo es el número e. Sea f la función que para un número positivo está definida por la igualdad f() 4ln Obtener razonadamente: a) El valor de donde la función f alcanza el mínimo relativo. b) La ecuación de la recta tangente a la curva y 4ln en el punto (, ) c) El área limitada entre las rectas y, e y e y la curva y4ln a) f() 4 ln Para hallar los etremos relativos se iguala a la primera derivada: f '() 4ln 4. 4(ln ) ln e e Con la derivada segunda se verifica que se trata de un mínimo. 4 f ''() f '' 4e mínimo e b) La pendiente de la recta tangente en un punto es la derivada de la función en dicho punto: f'() 4(ln) f'() 4m La ecuación de la tangente en (, ): y 4() y44 c) En el intervalo (e, e ), la función f() es positiva, por tanto: e e e donde I lnd e e e A 4 lnd 4 ln d 4I I uln du d lnd dv d dv v d udvuv vdu ln. d ()

6 () Finalmente, el área pedida: ln d ln 4 e e e e e 4 e A 4 lnd 4 ln ln e lne e e lnee. e. e e e A (e e ) u 4 6. Calcula la siguiente integral de una función racional d Al ser del mismo grado numerador y denominador se divide: d d d d d La integral I= d I () d es racional y su denominador tiene raíces simples, por lo que se descompone en fracciones simples: A B A() B() ( ) ( ) A() B() Si A Si B En consecuencia: A B

7 I= d d d ln ln C ln C Finalmente: () d ln C ln C 6. Calcula la siguiente integral de una función racional d Al ser del mismo grado numerador y denominador se divide: d d d d d La integral I= d I () d es racional y su denominador tiene raíces simples, por lo que se descompone en fracciones simples: A B A() B() ( ) () A() B() Si A Si B A B En consecuencia: I= d d d ln ln C ln C Finalmente: () d ln C ln C

8 ab 7. a) Dada la función f() calcula los valores de a, b, c sabiendo c que es una asíntota vertical y que y56 es la recta tangente a su gráfica en el punto correspondiente. Para los valores a, b, c calculados, posee f() más asíntotas? b) Enuncia el teorema del valor medio del cálculo diferencial. Se puede aplicar, en el intervalo [, ], este teorema a la función f()? En caso afirmativo, calcula el punto al que hace referencia el teorema. ab a) f() c Si es una asíntota vertical de f(): ab ab lim c c f() c / Si y56 es tangente a f() para : f'() 5 f'() 5 ab a() (ab) ab f() f'() f'() ab () ( ) ab 5 () y56 y Para el punto de tangencia: ab f() f() ab f() ab ( ) ab5 Resolviendo el sistema: b 4 a a b ab 4 f() f() Asíntota horizontal: lim 4 y

9 f() es continua en Es continua en [, ] f'() es derivable en Es derivable en (, ) ( ) Según el teorema del valor medio eiste c (,) tal que: f() f() f() f'(c) (c) f() ( c) ( c) c 4c c Como c (,) c 8. Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola f() y la recta normal a la gráfica de f() en el punto correspondiente a. (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y concavidad o conveidad). a) La pendiente de la recta tangente a la parábola f() es la derivada f'() f'()

10 La normal es perpendicular a la tangente, por tanto la pendiente de la normal es:.m' m' El punto de corte para es (, ) La ecuación de la recta normal: y () y y, La normal y corta a los ejes y (, ) Igualando las ecuaciones se calculan los puntos de corte: 9 Los puntos de corte son: (, ) y, El área de la zona sombreada: A d d u

11 aln() si 9. Dada la función f() e si (donde ln denota logaritmo neperiano) se pide: a) Calcular lim f() y lim f(). b) Calcular el valor de a, para que f() sea continua en todo. c) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f', donde sea posible. aln() si a) f() e si lim f() lim a ln( ) a e lim e e lim f() lim e lim lim L'Hôpital L'Hôpital L'Hôpital b) Para que f() sea continua en todo : lim aln( ) lim e f() a si ln( ) si c) Si a f() f'() e si ( ) si e La derivabilidad en : f'( ) f'( ) f() no es derivable en, es derivable en Si a tampoco es derivable en por no ser continua en dicho punto.

12 . a) Enuncie el teorema de Bolzano. b) Aplique el teorema de Bolzano para probar que la ecuación cos tiene soluciones positivas. c) Tiene la ecuación cos algu Razone la respuesta. na solución negativa? b) Las soluciones de la ecuación cos coinciden con los valores de que hacen cero la función F() cos F() cos es continua en por ser composición de funciones continuas. F F Por el teorema de Bolzano c, tal que F(c), c es una 6 solución positiva de la ecuación dada. c) F() F( ) ( ) cos( ) ( ) Por el teorema de Bolzano c' (, ) tal que F(c'), c' es una solución negativa de la ecuación dada. En consecuencia, dicha ecuación sí tiene alguna solución negativa.

13 . Un agricultor hace un estudio para plantar árboles en una finca. Sabe que si planta 4 árboles la producción media de cada uno de ellos será de 6 frutos. Estima que por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 5 frutos. a) Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máima? b) Cuál es esa producción? nº árboles frutos del árbol a) Se trata de optimizar: Función de producción: y (4 ).(6 5) Para calcular el máimo se iguala a cero la derivada primera: y' 4 8 Con la derivada segunda se verifica que se trata de un máimo: y'' máimo b) y (4 8).(6 5.8) 56 La producción máima es de 56 frutos.

14 . a) Enuncie el teorema de Bolzano. Probar que la función f() 4 corta al eje OX en algún punto del intervalo [, ]. Puede cortarlo en más de un punto? b) Calcula lim / f() 4 es continua y derivable en. f() f() 8 Por el teorema de Bolzano c (,) tal que f(c), es decir, f() corta en c al eje OX. Como f'() para todo valor de f() siempre es creciente, luego no puede cortar al eje OX más que en un punto. / b) E lim e es una indeterminación del tipo donde lim. lim E e e e / /

15 . De una función, f, se sabe que es derivable en todos los puntos de la recta real y que su derivada verifica f'() para todo. Además f(). Hay suficientes datos para asegurar que f() 6? Razona la respuesta. Como la función f es derivable en todos los puntos de la recta real, también es continua, luego cumple las hipótesis del teorema de los incrementos finitos o de Lagrange en el intervalo [, ]: f es continua en [, ] f es derivable en (, ) Se puede afirmar que eiste un número c (, ) que verifica: f() f() f'(c).f'(c) f() f() f().f' (c) Siendo f'(c).f'(c) 6 Así se obtiene: f().f'(c) 6 f() 6

16 4. Demuestra que se verifica la siguiente desigualdad: ( ) ln ( ) Se estudia la monotonía de la función: f() ln () () 4 () f'() ( ) () () La función es estrictamente creciente, dado que para estos valores f'() es positiva, con lo cual: ( ) ( ) f() f() ln ln 5. a) Enuncia el teorema de Rolle. b) Calcula b para que f() 4 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [, b]. Dónde cumple la tesis? b) f() es continua y derivable en, por tanto, es continua en [, b] y derivable en (, b), cualquiera que sea el valor de b. Para que se verifique la hipótesis del teorema de Rolle en [, b], ha de tenerse que f(a) f(b): f() 4 f() b 4b f(b) b 4b b 4b

17 b 4b b(b 4) b no vale b no vale b Como se considera el intervalo [, b], ha de ser b. Por tanto, el teorema de Rolle se cumple en [, ]. Las hipótesis del teorema se verifican: 4 f'() 4 Se cumple en c (,) 6. Sea el triángulo rectángulo, en, de vértices O(, ); A(, ) y B(, y), e y, estando el vértice (, y) sobre la elipse de ecuación y tal como indica la figura. Calcula cuál ha de ser el vértice (, y) para que el triángulo rectángulo tenga área máima. La función a optimizar es S y Utilizando la relación y, se obtiene la epresión: y y y y y S Optimizando la función: 4 4y8y S'(y) 4 y y 4 4y ( y ) 4y y ( y ) y

18 S'(y) y y Solo se considera y, dado que ha de ser positiva. La segunda derivada S'': S''(y) 4y y y y 4y(y ) 4y 6y (y ) y S'' La función S(y) presenta un máimo para y El vértice (, y) y, y, 7. Se considera la función f() e ln, (, ) donde ln denota el logaritmo neperiano. a) Estudiar la monotonía y las asíntotas de f(). b) Demostrar que la ecuación e tiene una única solución c en el intervalo [, ]. c) Deducir que f presenta un punto de infleión en c. Esbozar la gráfica de f. a) f() e ln (, ) Para estudiar la monotonía se utiliza la derivada primera: e f'() e pues (, ) f() es siempre creciente Estudio de las asíntotas: lim f() lim (e ln) Hay asíntota vertical en lim f() lim (e ln) No hay asíntotas horizontales

19 Como no hay asíntotas horizontales se analiza si eisten asíntotas oblicuas: Asíntotas oblicuas: yf() nm f() e ln e m lim lim lim L'Hôpital No hay asíntotas oblicuas b) Sea F() e una función continua y derivable en, por tanto en [, ] Teorema Bolzano Siendo F() y F() e c (,) tal que F(c), es decir, c es solución de la ecuación e Falta probar que es solución única: Suponiendo que h c fuera otra solución de la ecuación e, se tendría F(h). Aplicando el teorema de Rolle en el intervalo [c, h], eistiría un punto d (c, h), y en consecuencia, d (, ) tal que F'(d) (,) F'() e e e () (,) Hay un razonamiento análogo para h c En consecuencia, c es solución única c) f() e ln f'() e e f''() e e Por el apartado anterior c (,) tal que c ce, es por tanto un punto de infleión de f().

20 8. Calcula el dominio y representa gráficamente la función f() ln Dominio de f(): La función f() eiste si Un punto conflictivo es, pues anula al denominador de Otro punto conflictivo es El signo de en los intervalos que determinan los puntos hallados: Dominio f() (, ) (, ) Cortes con el eje OX : y ln absurdo No corta al eje OX y lim ln ln Asíntotas horizontales y lim ln ln y lim ln ln lim ln Asíntotas verticales lim ln ln lim ln ( ) Hay asíntotas verticales en y en

21 Crecimiento y decrecimiento de yln lnln() y' si Dom f() () Por tanto, f() es siempre creciente, no hay máimos ni mínimos relativos. Concavidad y puntos de infleión: () y' y'' Dom f() ( ) No hay puntos de infleión. Representación gráfica:

22 . Sea f la función de variable real definida mediante la epresión f() a) Determine el dominio de continuidad, simetrías, corte con los ejes y asíntotas de la función f. b) Calcule, si eisten, los etremos relativos y absolutos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Calcule, si eisten, los puntos de infleión de f. d) Dibuje la gráfica de f. a) f() Dom f() La función f() es continua en todo, por tanto no tiene asíntotas verticales. Asíntotas lim y es una asíntota horizontal ( ) Simetrías: f( ) f() Como f() f() ( ) la función es simétrica respecto al origen. Corte con los ejes eje OX: y eje OY: y (, ) punto corte b) Para estudiar el crecimiento y los etremos relativos se iguala a cero la derivada primera: ( ). f'() ( ) ( ) La función decrece en (, ) (, ) y crece en (,) Presenta un mínimo relativo en (, ) y un máimo relativo en (, ), ya que coinciden con los etremos absolutos.

23 c) Para calcular los puntos de infleión se iguala a cero la derivada segunda: 4..( ) ( )..( ).. f'() f''() 4 ( ) ( ) ( ) 4( ) 4( ) 4 ( ) ( ) 4 4 4( ) ( ) Hay puntos de infleión en (, ),, y, La gráfica de la función:. a) Enuncie la regla de Barrow. b) Determine el área comprendida entre las curvas y e y y la recta que pasa por los puntos (, 4) y (4, ).

24 b) La ecuación de la recta que pasa por los puntos (, 4) y (4, ): y4 y6 4 4 Los puntos de corte entre las dos curvas y la recta: y puntos ( ) y (, ) y (,) y puntos 6 y 6 (, 4) y (, 9) y y 6 puntos 6 (9, ) y (4, ) El área pedida es la zona rayada: 4 A d (6) d 4 4 d d (6)d d

25 4 4 d (6)d d 4 4 / u. Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola de ecuación y y el segmento cuyos etremos son los puntos P(, ) y Q(4, ). La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(, ) y Q(4, ): y y 4 Los puntos P y Q pertenecen a la parábola y P(, ) ( ) Q(4, ) 4 La gráfica de la parábola y la recta: El área de la zona pedida es: 4 A ( )da ( ) da QCB PAB

26 4 / / 6 7 4,5 u 6. Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones: a) f() b) f() si a) f() si Continuidad: Si f() es continua al estar formada por dos funciones continuas en los intervalos en los que están definidas. lim f() lim Si lim f() lim lim f() lim f() f() es continua en. Por tanto, es continua en Derivabilidad: Si es derivable. si si ( ) f() f'() si si () Si : f'( ) f'( ) No es derivable en La función f() es derivable en

27 si b) f() si El dominio de la función: Dom f(), Continuidad: Si,, la función es continua, dado que está formada por funciones continuas en estos puntos. En y la función no es continua, no se encuentra definida en estos puntos. lim f() lim En lim f() lim lim f() lim f() f() es continua en. Por tanto, es una función continua en, Derivabilidad: Si,, la función es derivable, siendo: si si ( ) f() f'() si si ( ) En y en la función no es derivable, no se encuentra definida. En : f'( ) f'( ) No es derivable en La función f() es derivable en,,

28 4. Calcula los siguientes límites: n n a) lim b) lim cos n n n n a) lim es una indeterminación del tipo n n lim n n n n e n 4n 6n donde, = lim n lim 4 n n n n n 4 4 n Por tanto: lim e n n e b) lim cos es una indeterminación del tipo. cos lim cos lim lim L'Hôpital sen lim sen

29 π cos 5. Dada la función f() e, demuestra que eiste un valor (, ) tal que f''( ). Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso. f() e π cos π π π cos cos cos f'() e sen e e sen cos f''() sen e sen π π cos e sen cos 4 π cos e sen sen sen cos 4 π cos e sen sen sen cos 4 4 π cos f''() e sen sen cos 4 4 f(),67 (, ) 4 f(),54 4 Como f''() es continua por ser composición de funciones continuas, verifica el teorema de los valores intermedios o teorema de Darbou. Es decir, f''() en el intervalo (, ) toma todos los valores intermedios entre f() y f() 4 4 Como (, ) / f''( ) 4 4

30 6. Calcula el área limitada por la parábola y y y el eje OX, que aparece rayada en la figura., la circunferencia Se calculan los puntos de corte de la circunferencia y la parábola: / 4 4 y y El punto de corte es, A ( )d d ( ) 4 d. 4 6 d con el cambio de variable sent d costdt sent tarcsen 4 tarcsen() cost d sen t cost dt cos t dt dt

31 sent costdt t ( ) A d d u A) Enunciado de la regla de Barrow. B) Sea f() dt, y sean a,b t Demuestre que f(a.b) f(a) f(b) B) f() dt ln t =ln t Se tiene que demostrar: ln(a.b) lnalnb A lna a e B lnb b e A Sea A B AB a.b e. e = e B ln(a.b) AB entonces: ln(a.b) lnalnb 8. A) Definición de función continua en un punto. Definición de derivada de una función en un punto. B) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función: 9 si f() en el punto 6 si

32 9 si B) Para que f() sea continua en 6 si debe verificarse: lim f() lim f() f() 9 ( ) ( ) lim f() lim lim ( ) lim ( ) 6 f() f() es continua, y. En consecuencia, es derivable para todo, su derivada es y' 9. a) Calcular el valor de los parámetros p y q para que la curva de ecuación f() p q, presente un mínimo relativo en y pase por el punto (,). Hallar, si los hubiere, otros puntos etremos de la función, indicando si son máimos o mínimos. b) Esbozar la gráfica de la función anterior y hallar el área de la región finita limitada por dicha función y el eje OX. a) f() pq f'() p Con un mínimo relativo en se tiene f'() : f'() p f'() p p

33 Como f() q pasa por el punto (,): 86q q Sea la función f() f'() f'() puede tener etremos. f''( ) 6 en (,4) tiene un máimo f''() 6 f''() 6 en (, ) tiene un mínimo b) Para calcular los puntos de corte con el eje X de la función f(), hay que resolver Corte con el eje OX: (, ) y (,) Corte con el eje OY: (, ) Área región sombreada: A ( ) d 4 4 (464) 4 7 u 4

34 . En los juzgados centrales de una determinada región ha comenzado una campaña para ahorrar papel concretada en la función:, e si A() 8 si 9 5 Donde es el número de días transcurridos desde el inicio de la campaña y A es el número de miles de hojas ahorradas: a) Estudiar si la función es creciente o decreciente. b) Qué sucede cuando han transcurrido días desde el inicio de la campaña? c) En qué momento el ahorro es de cinco mil hojas?,,e si A'() en (, ) creciente a) A'() si 9 5 A'() en (, 9) decreciente b) Para la función A() es discontinua, dado que: lim e e lim 86 5, La discontinuidad es de salto finito: e 7,89 Transcurridos días desde el inicio de la campaña, la bajada de hojas ahorradas es de hojas e 5, ln5 8,47, c) A(5) , ln5 Desde el comienzo de la campaña, entre los días 8 y 5 hay un ahorro de 5 hojas.