RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II

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1 RESUMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICAS II 1. DOMINIO DE DEFINICIÓN Y CONTINUIDAD 1.1. FUNCIONES ELEMENTALES (No tienen puntos angulosos) Tipo de función f (x) Dom (f) Continuidad Polinómicas P(x) R Racional P(x)/Q(x) { x R/ Q( x) 0 } Con radicales índice par índice impar 2n g(x) { x R/ g(x) 0 } 2n+1 g( x) Exponencial a x (a > 0 y a 1) R Logarítmica log [g(x)] { x R/ g( x) > 0 } Trigonométricas sen x cos x tag x { x R/ x π 2 +2kπ } R R R Las funciones elementales son continuas en todos los puntos de su dominio Dom (f) = R Polinómicas P (x) de grado par P (x) de grado impar f (x) = P (x) Tienen ramas infinitas: lím f (x) No tienen asíntotas de ningún tipo Dom (f) = R { x R / Q(x)= 0 } Racionales f (x)= P(x) Q(x) AV: Los valores posibles son las soluciones de Q (x) = 0 comprobar 1 Pueden tener asíntotas x = a es AV de f (x) si se verifica alguna de las siguientes propiedades: AH: y = b es una AH de f (x) si se verifica alguno de los siguientes límites: lím f (x)=b x + lím f ( x)= b Si existe AH No existe AO x AO: y = mx + n es una AO de f (x) si f (x) m= lím x ; n= lím ( f ( x) mx) 1Por ejemplo, f (x) = x 5 x 8 1 x 6 no tiene AV en x = 1 porque lím x 1 x 5 x 8 1 x 6 = MPU

2 Logarítmica f (x) = ln [g (x)] Dom (f) = R { x R / g(x )> 0 } Tiene AV en x = a siendo a el valor donde g (x) = 0 Ejemplo f (x) = ln x tiene una AV en x = 0: y = ln x tiene AV en x = 0 Exponencial Ejemplo Dom (f) = R f (x )=a x (a > 0 y a 1) Tiene una rama infinita: Tiene AH en y = 0 lím a x =+ x + y =e x tiene AH en x = 0 Las funciones elementales son continuas en todos los puntos de su dominio 1.2. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS (Pueden tener puntos angulosos) - Dominio: Se estudia si está definida en los puntos de separación de los intervalos y en cada tramo. - Continuidad: Se estudia en los puntos de separación de los intervalos y en cada tramo. En los puntos de división de los intervalos f (x) es continua solo si existe f (a) y su valor coincide con los límites laterales. DEFINICIÓN DE PUNTO ANGULOSO f (x) tiene un punto anguloso en x = c si es continua y no derivable en x = c. Ejemplo: 2 MPU

3 2. RAMAS INFINITAS - Estudiar cuando x y ver de qué tipo son - Comprobar si hay cuando x a 3. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 3 MPU

4 3.1. TIPOS DE DISCONTINUIDAD - Discontinuidad evitable en a en uno de los casos: a no pertenece a Dom (f) pero existe lim f (x ) x a f (x ) Existe f (a) pero f (a) lim x a y es un nº finito - Discontinuidad inevitable o de primera especie en a si: De salto finito: La diferencia entre los límites laterales en x = a es un número finito. De salto infinito: La diferencia entre los límites laterales x = a es infinito. - Discontinuidad esencial o de segunda especie en x = a si no existe alguno de los límites laterales en x = a. (No entra) 4. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f (x) es derivable en a si f (x) es continua en x = a y f (a + ) = f (a - ) f (x) derivable en (a, b) f (x) continua en (a, b) f (x) continua en (a, b) no implica que f (x) sea derivable en (a, b) 5. CRECIMIENTO / DECRECIMIENTO f (x) es creciente en (a, b) cuando f ' (x) > 0 en (a, b) f (x) es decreciente en (a, b) cuando f ' (x) < 0 en (a, b) 6. CONCAVIDAD / CONVEXIDAD f (x) es cóncava en (a, b) cuando f '' (x) > 0 en (a, b) f (x) es decreciente en (a, b) cuando f '' (x) < 0 en (a, b) Estudio de los intervalos de crecimiento y decrecimiento en una función racional Se estudia el signo de f '(x): 1º) Se calcula f '(x) (aplicando la regla de la derivada del cociente) 2º) Se resuelve f '(x) = 0 Numerador de f '(x) = 0 3º) Se estudia el signo de f '(x) en cada intervalo 4 MPU

5 7. EXTREMOS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS f (x) tiene un máximo en x = a si es creciente a la izquierda de x = a y decreciente a la derecha de x = a. f (x) tiene un mínimo en x = a si es decreciente a la izquierda de x = a y creciente a la derecha de x = a. - Funciones elementales: En un punto extremo la primera derivada es 0: f ' (a) = 0 - Funciones definidas a trozos: En un punto de división de los intervalos puede ocurrir que: f ' (a)=0 No exista f '(a) 8. PUNTOS DE INFLEXIÓN f (x) tiene un punto de inflexión en x = a si cambia su concavidad en x = a. - Funciones elementales: En un punto de inflexión la segunda derivada es 0: f '' (a) = 0 - Funciones definidas a trozos: En un punto de inflexión puede ocurrir que: f ' ' (a)=0 No exista f ' '(a) 9. SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN - f es par si f (x) = f (-x) f simétrica respecto al eje OY. Ejemplo: f (x) = x 4 - x 2 - f (x) es impar si f (-x) = -f (x) f simétrica especto al origen de coordenadas. Ejemplo: f (x) = x 3 + x 10. FUNCIONES PERIÓDICAS f (x) es periódica con período T si f (x+t) = f (x). Ejemplos: f (x) = sen x, cos x Nota: No existe lím sen x ; lím cos x 5 MPU

6 11. ASÍNTOTAS Tipo Ecuación Cálculo Verticales (AV) x = a lím f (x)=± x a Horizontales (AH) y = b lím f (x)=b AH AO Si AH, puede existir o no AO f (x) Oblicuas (AO) y = mx + n m= lím x ; n= lím ( f ( x) mx) 11. CÁLCULO DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Ecuación de la recta tangente a una función f (x) en un punto x = a : y b = m(x a ) siendo m = f ' (a) y b = f (a) Ejemplo: Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) = x 2 + 2x 8, en el punto de abscisa x 0 = 1. Solución: y y 0 = m (x x 0 ) m = f '(x 0 ) = f'(1) ; f'(x) = 2x + 2 m = f '(1) = 4; y 0 = f (x 0 ) = f (1) = -5 Por tanto, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en el punto de abscisa x 0 = 1 es: y + 5 = 4 (x 1) 12. TEOREMAS DE BOLZANO, ROLLE Y DEL VALOR MEDIO TEOREMA DE BOLZANO f (x) continuaen [a,b] signo f (a) signo f (b) Existe c [a,b ] tal que f (c)=0 TEOREMA DE ROLLE f ( x) continuaen [a,b] f ( x) derivable en(a,b) f (a)= f (b) Existe c (a,b) tal que f ' (c)=0 TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE LAGRANGE f (x) continuaen [a,b] f (x) derivable en(a,b) Existe c (a,b) tal que f '(c)= f (b) f (a) b a 6 MPU

7 13. INTEGRALES INDEFINIDAS. CÁLCULO DE PRIMITIVAS I) Integrales inmediatas (simples y compuestas) tabla II) Integración por partes u dv = u v v du III) Integración por cambio de varible P( x) IV) Integración de funciones racionales (no inmediatas) Q(x) dx ; siendo grado P(x ) 1 grado Q( x) = 2 Q (x) tiene dos raíces simples Q (x) = (x a) (x b) P(x ) Método: Q( x) = A x a + B x b Los coeficientes A y B son números que se obtienen efectuando la suma e identificando coeficientes P( x) Q(x) dx = A x a dx + B = A ln x a + B ln x b + K x b Q (x) tiene una raíz doble Q (x) = (x c) 2 Método: P(x ) Q( x) = A x c + B P( x) (x c) 2 Q(x) dx = A x c dx + B ( x c) B = A ln x a 2 x c + K 7 MPU

8 Q (x) no tiene raíces reales Q (x) = x 2 + bx + c. Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de tipo arcotangente. Método: P(x ) Q( x) = Mx + N x 2 + bx+ c =K 2x +b 1 x 2 + bx + c + K 2 x 2 +bx + c + K Grado P(x) Grado Q(x) P(x) Q( x) = C(x) + R( x) Q( x) P( x) Q(x) dx = R( x) C(x) dx + Q( x) dx 8 MPU

9 14. LA INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS Cálculo del área de la región limitada por la gráfica de f (x), el eje de abscisas y dos rectas x = a y x = b Se estudia el signo de f (x) : se resuelve f (x) = 0 se estudia el signo de la función. El área pedida se divide en partes (según el signo de f (x)) Se calcula f (x)dx. Al resultado le llamamos G (x) Calculamos cada área por separado aplicando la regla de Barrow. El área pedida es la suma de todas las áreas (expresada en u 2 ) El área es el resultado de la integral (número positivo) El área es el número opuesto al resultado de la integral I) Área limitada por la gráfica de una curva f (x), el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b Ejemplo resuelto: Calcular el área de la región limitada por la gráfica de f (x) = x 2 + 2x 8, el eje de abscisas y las rectas x = -1 y x = 5 Estudiamos el signo de f(x): f(x) = 0 x= -4 y x = 2 Nota: 9 MPU

10 Hay que calcular por separado : - A 1 (área limitada entre x = -1 y x = 2). Razón: f (x) es negativa en (-1, 2) El resultado de la integral es un número negativo y un área tiene que ser un número positivo) - A 2 (área limitada entre x = 2 y x = 5). En (2, 5) f(x) es positiva El resultado de la integral es un número positivo. Área total = A 1 + A 2 Método: Se calcula Llamamos: = F(2) F( -1) y = F(5) F(2) Calculamos F(2) = -28/3, F(-1) = 26/3 y F(5) = 80/3 Por tanto: A 1 = F(2) F ( 1) = = 18 = 18 u2 A 2 = F(5) F(2) = = = = 36 u2 Solución: Área total = A 1 + A 2 = = 54 u 2 II) Área limitada por la gráfica de dos curvas El área comprendida entre dos curvas f (x) y g (x) es igual al área comprendida entre entre la función diferencia, [f (x) g (x)] y el eje X. Método: 1) Se calculan los puntos de corte de f (x) y g (x) resolviendo la ecuación f (x) = g (x) 2), siendo a y b los puntos de corte de f (x) y g (x) 10 MPU