Conocer las posibles asíntotas de una función nos ayudará en su representación gráfica. Vamos a distinguir tres tipos distintos de asíntotas:

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1 1. Dominio, periodicidad y paridad de una función A la hora de representar una función lo primero que se ha de determinar es dónde está definida, es decir, para qué valores tiene sentido hablar de f(x). Definición 1.1 Si f es una función llamamos dominio de f al conjunto de valores x R para los cuales f(x) R. El dominio de definición de f se representa por Dom(f). Hay funciones cuyo dominio es todo R (polinómicas, exponenciales, sen x, cos x, arctan x,... ) y otras que están definidas únicamente en un intervalo cerrado (arc cos x, arc sen x). Se ha de estudiar cada caso en particular. Algunos de los casos que pueden presentar son: I) Dom ( ) f(x) = {x R/g(x) 0} g(x) II) Dom( f(x)) = {x R/f(x) 0} III) Dom(log(f(x))) = {x R/f(x) > 0} IV) Dom(tan(f(x))) = {x R/f(x) π + kπ} Definición 1. Una función f es periódicasi existe un número 1 T R para el cuál se cumple que f(x + T ) = f(x) para cualquier valor x del dominio de f. Al menor valor de T positivo que cumple la condición anterior se le llama periodo de f Figura 1: El periodo de la función f(x) = sen(π) es π Cuando una función es periódica, su gráfica se repite cada tramo de longitud T. Por ello las funciones periódicas nos limitamos a estudiarlas en un tramo de longitud igual a su periodo, y para representarlas basta con repetir la gráfica a derecha e izquierda. Algunas funciones periódicas son : sen x, cos x (periodo π), tan x (periodo π), sen(kx), cos(kx) (periodo π k ), tan(kx) (periodo π k ). 1 El número T no es único:f(x + kt ) = f(x) k Z 1

2 Definición 1.3 Si una función verifica f(x) = f( x) para todo x Dom(f), se dice que es una función simétrica respecto del eje Y o simplemente una función par. Si se cumple que f(x) = f( x) para todo x Dom(f), se dice que es una función simétrica respecto del origen o una función impar. Para las funciones pares estudiamos únicamente qué ocurre para los valores positivos de la variable independiente ya que al ser simétrica, podemos saber qué ocurre con los negativos Figura : La función x es una función par Figura 3: La función 0,1 x es una función impar. Asíntotas de un función Definición.1 Sea A R y f : A R una función. Vamos a considerar la gráfica de la función. Se llaman asíntotas de la función a las rectas que cumplen que la distancia de la gráfica a ellas tiende a cero cuando la distancia al origen tiende a infinito. Conocer las posibles asíntotas de una función nos ayudará en su representación gráfica. Vamos a distinguir tres tipos distintos de asíntotas: a) Asíntotas Verticales. Son rectas verticales y por tanto su ecuación es de la forma x = a. El valor de a se calcula imponiendo lím x a f(x) = ± o lím x a + f(x) = ± o ambas condiciones a la vez.

3 Figura : La función f(x) = 1 x x = 1 tiene como asíntota vertical la recta b) Asíntotas horizontales. Son aquellas rectas horizontales de ecuación y = b con b = lím x. c) Asíntotas oblicuas. Las asíntotas oblicuas son rectas de ecuación y = mx + n f(x) donde m = lím x x y n = lím x (f(x) mx) Figura 5: La función f(x) = x + 3 x + y su asíntota oblicua y = x Una vez conocidas las asíntotas de una función, hemos de saber la posición relativa de la gráfica de la función respecto de la asíntota. Para ello estudiamos el signo de: 1. f(x) b si la asíntota horizontal es y = b. f(x) (mx + n) si la asíntota oblicua es es y = mx + n 3. f(x) en un entorno de a si la asíntota vertical es x = a 3

4 3. Puntos interesantes de la gráfica de una función A la hora de representar la gráfica de una función puede ser de utilidad conocer determinados puntos de la misma. Algunos de estos puntos son los siguientes: Puntos de corte con los ejes Las abscisas de los puntos de corte con el eje X se determinan resolviendo la ecuación f(x) = 0 y el punto de corte con ele eje Y (si existe) es el punto (0, f(0)). Extremos de la función Las abscisas de los posibles extremos de la función se obtienen resolviendo la ecuación f (x) = 0. El estudio de estos extremos se puede hacer utilizando la segunda derivada o estudiando los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Puntos de inflexión Las abscisas de los posibles puntos de inflexión se hallan entre las raíces de la ecuación f (x) = 0. Vamos a ver un ejemplo de todo lo dicho anteriormente. Para ello estudiamos la función f(x) = (x + 1) : Dominio: Al ser una función racional, está definida para todos los números reales que no anulen el denominador: Dom f(x) = R { 1} Puntos de corte con los ejes: Eje X: igualamos f(x) a cero: (x + 1) = 0 x3 = 0 x = 0 Hay un punto de corte con el eje X: (0, 0) Eje Y : a la vista de lo anterior, la función corta al eje Y en el origen de coordenadas Simetrías: Estudiemos si la función presenta algún tipo de simetría. Para ello calculemos f( x): f( x) = ( x)3 ( x + 1) = ( x + 1) Podemos observar que f(x) f( x) y f(x) f( x); por tanto esta función no presenta ningún tipo de simetrías. Periodicidad: la función no es periódica. Asíntotas: Distinguimos los tres tipos de asíntotas que pueden presentarse: Verticales. La recta x = 1 es una asíntota vertical ya que lím x 1 + f(x) = lím x 1 f(x) =. Observamos que en un entorno del punto 1 la función toma valores negativos. Horizontales. No existen asíntotas horizontales puesto que lím x ± f(x) = ±

5 Oblicuas. Al ser una función racional con el grado del numerador una unidad mayor que el grado del denominador, tiene una asíntota oblicua. La ecuación de la asíntota oblicua se obtiene efectuando la división: (x + 1) = 3x + x = (x ) + + x + 1 x + x + 1 La recta y = x es la asíntota oblicua de esta función. Puntos Singulares. Los puntos singulares son aquellos puntos de tangencia horizontal. Serán candidatos a extremos de la función. La abscisa de estos puntos se obtiene igualando a cero la primera derivada: f (x) = 3x (x + 1) (x + 1) (x + 1) = 3x (x + 1) (x + 1) 3 = x3 + 3x (x + 1) 3 Dos puntos de tangente horizontal: (0, 0) y ( 3, 7 ). Monotonía de la función. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función vendrán dados por los valores 3, 1, 0. Estudiemos en ellos el signo de la primera derivada: ], 3[ ] 3, 1[ ] 1, 0[ ]0, [ f (x) f(x) crece decrece crece crece A partir de estos intervalos podemos deducir que en el punto existe un máximo relativo de la función. ( 3, 7 ) Curvatura de la función. Localizamos las abscisas de los posibles puntos de inflexión a través de las raíces de la derivada segunda: f (x) = (3x + 6x)(x + 1) 3 3( + 3x )(x + 1) 6x (x + 1) 6 = (x + 1) La función presenta un posible punto de inflexión en el origen. Nos aseguramos si lo es observando el signo de la segunda derivada: ], 0[ ]0, [ f (x) - + Como la segunda derivada cambia de signo, afirmamos que el origen es un punto de inflexión para la función. 5

6 Con toda la información anterior podemos representar la gráfica de la función: Figura 6: La función f(x) = y su asíntota oblicua y = x (x + 1) 6