GRÁFICA DE FUNCIONES

Transcripción

1 GRÁFICA DE FUNCIONES. Función cuadrática. Potencia. Eponencial 4. Logarítmica 5. Potencia de eponente negativo 6. Seno 7. Coseno 8. Tangente 9. Valor absoluto. Dominio. Puntos de corte con los ejes. Simetrías. Periodicidad. Asíntotas y ramas ininitas.. Monotonía. Etremos relativos. Concavidad. Puntos de inleión 4. Ejemplo de representación gráica de unciones. FUNCIÓN CUADRÁTICA: ( = a² + b +c Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:. Vértice: b v a - - v - - y. Puntos de corte con el eje OX En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: a² + b +c = Resolviendo la ecuación obtenemos los puntos. Punto de corte con el eje OY En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: ( = a ² + b + c = c (,c EJEMPLO: Representar la unción ( = ² Vértice v = ( 4 / =, y v = ² 4 + = V(,. Puntos de corte con el eje OX 4 6 ² 4 + = A(, y B(, 4. Punto de corte con el eje OY (, CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Gráica de unciones

2 . POTENCIAS y = a n n par y a positivo n par y a negativo n impar y a positivo n impar y a negativo CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Gráica de unciones

3 . EXPONENCIALES y = a Si a > Si < a < 4. LOGARITMOS y = log a Si a > Si < a < k 5. POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO y n k positivo y n par k negativo y n par CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Gráica de unciones

4 k positivo y n impar k negativo y n impar 6. Función seno y = sen( 7. Función coseno y = cos( 8. Función tangente y = tg( CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Gráica de unciones 4

5 9. Función en valor absoluto Las unciones en valor absoluto se transorman en unciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:. Se iguala a cero la unción, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.. Se orman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.. Deinimos la unción a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la es negativa se cambia el signo de la unción. 4 Representamos la unción resultante. EJEMPLOS. ( Se estudia el signo de = = ( si ( si. ( 5 6 Se estudia el signo: ( si si si CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Gráica de unciones 5

6 GRÁFICA DE UNA FUCIÓN Para representar una unción tenemos estudiaremos los siguientes apartados:. Dominio de una unción. Simetría Simetría respecto del eje de ordenadas (- = ( Simetría respecto al origen (- = - ( Periodicidad T / ( T (, Dom ( T = periodo Puntos de corte con los ejes Puntos de corte con el eje OX Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = y resolvemos la ecuación resultante. Punto de corte con el ejes OY Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos = y calculamos el valor de (.. Asíntotas Asíntotas horizontales Si lim ( k, entonces la unción tiene una asíntota horizontal en y = k Ejemplo: asíntota horizontal en y = lim ( la unción tiene una Asíntotas verticales Si lim ( la unción tiene una asíntota vertical en = K k En un cociente, las posibles asíntotas verticales son los puntos que no pertenecen al dominio (valores de que anulan el denominador Ejemplo: ( 5 lim la unción tiene dos asíntotas verticales, 5 lim una en = y otra en = - CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Gráica de unciones 6

7 En un logaritmo, las posibles asíntotas verticales se obtienen igualando a cero la unción sobre la que actúa el logaritmo. Si, además, esta unción es un cociente, también son posibles asíntotas los ceros del denominador. Ejemplo: ( log 4 lim log log log la unción tiene dos asíntotas lim log log log 4 verticales, una en = y otra en = - Asíntotas oblicuas ( tiene asíntota oblicua y = m + n, si m y n eisten y son initos. Se calculan resolviendo los siguientes límites: ( m lim n lim ( m Si la unción tiene asíntota horizontal, no tiene asíntota oblicua. EJEMPLO: Calcular las asíntotas de la unción: ( Asíntotas horizontales: lim no hay asíntota horizontal Asíntotas verticales: lim 6 hay asíntota vertical en = Asíntotas oblicuas m lim lim ( n lim lim lim Hay una asíntota oblicua de ecuación y = +. Crecimiento y decrecimiento Máimos y mínimos relativos Concavidad y conveidad Puntos de inleión CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Gráica de unciones 7

8 CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Gráica de unciones 8 4. Ejemplo de representación de una unción ( Dominio: Todos los números reales Puntos de corte con los ejes: Punto de corte con OX:, ( Punto de corte con OY:, ( Asíntotas Asíntota horizontal lim Asíntota horizontal en y = Asíntota vertical no tiene porque si igualo el denominador a cero, no tiene solución Asíntota oblicua no tiene, porque tiene asíntota horizontal Crecimiento y decrecimiento ( ( ( ( ', (-,, ( ( Mínimos, ( y Máimos, ( y Concavidad y conveidad ( 6 ( 6 ( 4 4 ( ( ''( ( ( ( ( '' ( '( 4

9 ,,,, ( ( Convea en,, Cóncava en,, Puntos de inleión, 4,, 4 Representación gráica Ejercicio 6. Sea : R R la unción deinida por ( = ( e. (a [ 5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de. (b [ punto] Calcula los etremos relativos de (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan. SOLUCIÓN Los apartados (a y (b se pueden hacer juntos pues lo único que hay que estudiar es la primera derivada (, de la cual saldrá el crecimiento, decrecimiento, máimos y mínimos relativos ( = ( 4e + ( e = e ( + De ( = ( + =, puesto que la eponencial e nunca se anula. + = = y = - 5, que serán los posibles máimos y mínimos relativos. -,5 en (-, - 5: (- = e ( (- (- + = e - (- <, ( es estrictamente decreciente en (- 5, : ( = e ( = ( >, ( es estrictamente creciente en (, + : ( = e ( ( ( ( + = e (- 7 <, ( es estrictamente decreciente CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Gráica de unciones 9

10 - -, Por deinición = - 5 es un mínimo relativo que vale (- 5 = (( 5 (- 5 e - 5 = - 9.e - 5 Por deinición = es un máimo relativo que vale ( = (( ( e = e CRISTINA RONDA HERNÁNDEZ Gráica de unciones