Tema 28. ESTUDIO GLOBAL DE FUNCIONES. APLICACIONES A
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- Cristián Lucero Parra
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1 Tema 8.Estudio Global de unciones. Aplicaciones a la representación graica de unciones 1 Tema 8. ESTUDIO GLOBAL DE FUNCIONES. APLICACIONES A LA REPRESENTACIÓN GRAFICA DE FUNCIONES 1. Introducción. Deinición de unción real de variable real :D R y= con y única para cada Representar una unción dimensiones: Coordenadas cartesianas: pares de puntos, Coordenadas polares: pares de puntos cos, sen Coordenadas paramétricas: t,yt Si la unción depende de dos variables se representan en R 3 cartesianas, cilíndricas, eséricas y paramétricas. En este tema solo -Dunciones reales de variable real Ejemplo de unciones: ísica s-t en mrua, economíaoerta y demanda Para representar una unción de orma casi eacta erramienta inormática. En este tema bocetaremos las unciones, es decir veremos su comportamiento Para representar estudiaremos: dominio, continuidad, simetría, periodicidad, cortes con ejes, asíntotas, monotonía, puntos relativos, curvatura, puntos de inleión. Utilizaremos para apoyarnos en el estudio las unciones: = e y g=. Dominio. Deinición de dominio. Don={ R/ }. Casos de puntos dominio: No deinida unción en ese punto ejemplo unciones a trozos La epresión no tiene sentido: Argumento del logaritmo negativos o cero. Raíces índice par con radicando negativo Valores de donde denominador se anulan Dominio de suma, resta, producto de y g dom domg. Domino división /g dom domg-{/g=}. Dominio ejemplos Dom=R, Domg=R-{-,}. Ver dominio de más ejemplos. 3. Continuidad Deinición de continuidad:. Tipos de discontinuidades: Evitable: eiste pero o bien Dom o. No evitable: no eiste o es ininito Salto inito: Salto ininito: y / o Elaborado por Jose Luis Lorente Aragón lorentejl@gmail.com 3 4. Asíntota vertical En nuestros ejemplos: continua en R y g continua en R-{-,} salto ininito Hacer algún ejemplo más. 4. Simetría De: unción simetría respecto una recta punto si conocido el comportamiento de la unción a un lado de la recta punto el comportamiento al otro lado es el mismo. Estudiaremos dos simetrías: par o respecto eje OY e impar o respecto origen. De unción simétrica par o respecto eje OY: =-. Graicas. De unción simétrica impar o con el origen: -=-. Graicas. Ejemplos de simetrías en polinomios y gráicas de y=, y= 3.
2 Tema 8.Estudio Global de unciones. Aplicaciones a la representación graica de unciones Proposición: si simétrica impar y continua en = =. Demostración por deinición de continuidad y de simetría impar. Simetría del producto y el cociente de unciones: p= g, c=/g Si y g misma simetría p y c simetría par Si y g una simétrica par y otra impar p y c simetría impar. Si alguna no simétrica p y c no simétrica Simetría de la suma y resta de unciones: s=+g, r=-g Si y g par s y r par Si y g impar s y r impar Si alguna no simétrica o distinta simetría s y r no simétricas. Hacer ejemplos de unciones de racciones polinómicas. En nuestros dos ejemplos: no simetría y g impar. 5. Periodicidad Deinición de unción periódica de periodo T: =+nt. Periodo el menor T que cumple la deinición. Únicas unciones periódicas con epresión algebraica las trigonométricas. Ejemplos vida real: llenado cisterna, péndulo, ondas Teorema Bernuilli: Si y g periódicas de periodos T 1 y T : T 1 /T =p/q Q entonces g y /g periódica de periodo T=T mcdp,q con T =T 1 /p=t /q 6. Cortes con los ejes. Valores donde la unción corta a los ejes OX y OY. Corte con eje OX y=. Resolver la ecuación. Numero indeterminado de puntos Corte con eje OY =.,. Si Dom. Ejemplos,e -4. g, 7. Asíntotas Deinición: rectas a la que la unción se aproima ininitesimalmente. Asíntota vertical: recta = donde se cumple y/o. Valores son los q anulan denominador o el argumento del logaritmo + y=1/ AV =, y=log AV = + Asíntota orizontal: recta y=y ocurre cuando y tendencia acia + y tendencia acia - Funciones racionales ocurren si gradodenom gradonum. Siempre y =y Funciones eponenciales y logarítmicas no siempre orizontal acia + y - y=1+e y=1 si -, y=-1/+3 y= si ± Asíntota oblicua:recta y=m+n. No eiste si ay orizontal. Hacer también acia ± m= AH n m Funciones racionales ay AO si gradoden+1=gradnum Ejemplos AH: y=, g AV: =, =-; AO: y= Elaborado por Jose Luis Lorente Aragón lorentejl@gmail.com
3 Tema 8.Estudio Global de unciones. Aplicaciones a la representación graica de unciones 3 8. Monotonía Deinición: unción creciente en si eiste >: -, <, + > Deinición: unción decreciente en si eiste >: -, >, + < Teorema: creciente en si > y decreciente si <. como Dem: como Estudio de monotonía: Calculamos valores de donde =. Estudiamos signo de en los intervalos entre los puntos donde = y las AV. = e -, creciente y, decreciente 1 g = crec:-,-, dec:,- -,, 4 9. Puntos relativos Máimo relativo en si eiste > tal que -, + < Mínimo relativo en si eiste > tal que -, + > Condición necesaria para punto relativo es que = no crezca ni decrezca Teorema: máimo en si = y < y mínimo si = y >. Dem: Si mínimo = y >: Teorema: si = = Máimo si la primera derivada no nula es par y menor que cero Mínimo si la primera derivada no nula es par y mayor que cero Demostración: por desarrollo de Taylor. Estudio puntos relativos: los puntos donde =. En la práctica no ace alta ver podemos ver monotonía a ambos lados de. Cuidado raíz doble Punto Inl. : máimo en =, M,=,1. g:máimo en M-, g- = -,-3, mínimo en m,3. crece despues decrece antes Elaborado por Jose Luis Lorente Aragón lorentejl@gmail.com
4 Tema 8.Estudio Global de unciones. Aplicaciones a la representación graica de unciones 4 Elaborado por Jose Luis Lorente Aragón lorentejl@gmail.com 1. Curvatura y Punto de Inleión Concavidad conveidad en : recta tangente por debajo encima de la curva. Funciones cóncavas conveas la pendiente crece decrece con. Teorema: > cóncava y < convea. Demostración: Convea: b a Cóncava: b a Punto de inleión : cambia de curvatura, la recta tangente corta a la curva en Teorema: es punto de inleión si, = = = n-1 = y n con n impar. Caso particular =y. Demostración por Taylor. Estudio curvatura: Resolvemos: =. Estudiamos signo de en los intervalos entre los puntos donde = y las AV. Puntos de inleión si = y antes y después de distinta curvatura. cóncava -,- +,, convea -, +. PI±,e - g cóncava -,,, convea -,-,. PI, 11. Representación. g
5 Tema 8.Estudio Global de unciones. Aplicaciones a la representación graica de unciones 5 1. Conteto del tema con secundaria y bacillerato En el segundo ciclo de secundaria 3º y 4º se aborda la representación de unciones sencillas: rectas, parábolas, unciones eponenciales e iperbólica En bacillerato, en ambos ámbitos se representan todo tipo de unciones siguiendo los pasos desarrollados en este tema. La representación es una pregunta recurrente en la PAU. Elaborado por Jose Luis Lorente Aragón lorentejl@gmail.com
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