Apuntes de A. Cabañó. Matemáticas II REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.

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1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES. TEORÍA - ESQUEMA A SEGUIR EN LA REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES. Para dibujar la curva (C) de la unción :->y() se estudiará sucesivamente los siguientes puntos: * Dominio (D) de la unción o campo de eistencia. Conjunto de valores de para los cuales eiste () y es real. Nos podremos encontrar los siguientes casos: a) Función polinómica: deinida para todo valor real b) Función racional: cociente de dos unciones polinómicas, eiste para todo valor de que no anule el denominador. c) Función irracional: y n () - n impar: tiene el mismo dominio que (). - n par: eiste sólo para aquellos valores en los () eiste y es positiva o nula. () d) Función eponencial: y a eiste en los puntos donde eista (). e) Función logarítmica: y log a () eiste sólo para los valores de que hacen ()>0. ) Funciones seno y coseno: y sen(), y cos() eiste para los mismos valores que (). * Simetrías. a) Función par: (-)() Eje de simetría OY. b) Función impar: (-)-() Centro de simetría el origen. Para comprobar que una curva no tiene simetrías (la unción no es par ni impar) basta ver que, siendo a un punto cualquiera del dominio d, se tiene que (-a) (a) y (-a) -(a). * Puntos de corte con los ejes. a) Corte con el eje OX ()0 Las abscisas de los puntos de corte son las raíces de esta ecuación. b) Corte con el eje OY (0)y * Asíntotas. Se dice que una curva tiene ramas ininitas si eisten puntos de la curva cuya distancia al origen de coordenadas es mayor que cualquier número preijado. Si una curva tiene ramas ininitas, la recta (si eiste) a la cual se aproima la curva cada vez más sin llegar a tocarla, se llama asíntota. Si la curva no tiene asíntotas, se dice que la curva tiene rama parabólica. a) Asíntota vertical o paralelas al eje OY. Son de la orma u siendo u los valores initos de que hacen el siguiente límite + - () ± (u a,a,a ) lim u Es conveniente estudiar la posición de la curva respecto de la asíntota vertical, para ello se realizarán los límites laterales b) Asíntota horizontal o paralela al eje OX. Son de la orma yk siendo k () k lim± Es muy conveniente estudiar la posición de la curva respecto de la asíntota, bastará hallar el signo de ()-k para ->+ y ->-. Si ()-k es positivo la curva estará por encima de la asíntota y si es negativo estará por debajo.

2 c) Asíntota oblicua m Son de la orma ym+n n lim ± lim ± () [() - m] m,n R m 0 d) Ramas parabólicas. Se estudian solamente si lim + () ó lim - () () - Si lim la curva tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY. () - Si lim 0 la curva tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX. () - Si lim m 0 y la curva tiene una rama parabólica en la dirección de lim[() - m] la recta ym * Monotonía. Para hallar los máimos y los mínimos se obtienen las raíces de la ecuación '()0, y los puntos en los que no eiste '(). Tendremos así los posibles puntos donde la unción puede tener máimos y mínimos. Dichos puntos son también los posibles etremos de los intervalos en los que la unción es creciente o decreciente. Si a es una raíz de '()0, en el punto (a,(a)) la curva tendrá un máimo o mínimo, o un punto de inleión con tangente horizontal según sea par o impar la primera derivada no nula de orden mayor o igual que dos. a) Intervalos de crecimiento '>0 b) Intervalos de decrecimiento '<0 c) Puntos críticos MÍNIMO '(a)0 y ''(a)>0 MÁXIMO '(a)0 y ''(a)<0 Si '(a)0, ''(a)0, '''(a) 0 en a eistirá un punto de inleión con tangente horizontal. Si '(a)0, ''(a)0, '''(a)0 en a eistirá : MÁXIMO si (4 (a)<0 ; MÍNIMO si (4 (a)>0 * Curvatura. Un punto del dominio de deinición de una unción es punto de inleión si la tangente a de la unción en este punto atraviesa a la curva. a) Intervalo de conveidad ''<0 b) Intervalo de concavidad ''>0 c) Puntos de inleión pasa de CC-CV si ''(a)0 y '''(a)<0; pasa de CV-CC si ''(a)0 y '''(a)>0 Ejemplo + Haz la gráica de la siguiente unción: ( ) Dominio R {} Simetrías:. No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y + respecto al origen. Asíntotas verticales: ( ) ni

3 lím lím + ( ) ( ) + es asíntota vertical + Asíntota oblicua: y + + y + es asíntota oblicua Posición de la curva respecto a la asíntota: () ( +) < 0 si (curva por debajo). () ( +) > 0 si + (curva por encima). Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ( + )( ) ( + ) + + '( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) 0 0 Puntos (0, ) y (, 6). Signo de ' (): ( ) 0 0 () es creciente en (, 0) (, + ); es decreciente en (0, ) ) (, ). Tiene un máimo en (0, ) y un mínimo en (, 6). Corte con los ejes: - Con el eje Y 0 y Punto (0, ) - Con el eje X y 0 Puntos: (,7; 0); (0,7; 0) Gráica: + 0 ± 4 + 8,7 0,7 Ejemplo e Dominio R {} Asíntotas: lím ( ) lím ( ) + + Representa: ( ) es asíntota vertical. e lím ( ) lím 0 y 0 es asíntota horizontal si ( () < 0) + ( ) ( ) lím +, lím + Rama parabólica + + Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

4 ' e ( ) e ( ) ( ) e ( ) ( ) ' () 0 e ( ) 0 Signo de ' (): () es decreciente en (, ) (, ); es creciente en (, + ). Tiene un mínimo en (, e ). Corta al eje Y en (0, ). No corta al eje X. Gráica: Ejemplo Representa gráicamente: ( ) Dominio (, ) (, + ) Simetrías: ( ) (). Es par: simétrica respecto al eje Y. Asíntotas: lím ( ) lím + lím + es asíntota vertical ( ) + es asíntota vertical ( ) lím ( ) 0 + y 0 es asíntota horizontal ( () > 0 para toda ) Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) ' () 0 0 (no vale) () no tiene puntos singulares (en 0 no está deinida) Signo de ' (): () es creciente en (, ); y es decreciente en (, + ). () no corta a los ejes. Gráica: 4

5 PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Pasos a seguir: - Mediante los datos del problema se construye la unción que hay que maimizar o minimizar. - Si la unción tiene más de una variable hay que relacionar las variables mediante ecuaciones a in de conseguir epresar la unción inicial utilizando una sola variable. - Se hallan los etremos de esta unción. - Se interpretan los resultados obtenidos rechazando aquellos que por la naturaleza del problema no sean posibles. Ejemplo Una huerta tiene actualmente 4 árboles, que producen 600 rutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 5 rutos. Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para que la producción sea máima? Cuál será esa producción? Llamamos al número de árboles que se plantan. Tenemos que el número de rutos sería: () (4 + ) (600 5) Buscamos para que () sea máima: 40 ' () '( ) Veamos que es un máimo: '' () 0 ; '' (8) 0 < 0 en 8 hay máimo. (Como () corresponde a una parabola invertida, en 8 está el máimo absoluto). Por tanto, se deben plantar 8 árboles. Así, habrá un total de árboles, que producirán 5 60 rutos. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES. PROBLEMAS. º- Dada la unción () se pide: máimos y mínimos; intervalos de crecimiento y decrecimiento; intervalos de concavidad y conveidad. º- Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva () en su punto de inleión. º- Hallar los máimos, mínimos y puntos de inleión de las siguientes unciones: -. y e. y - 5. y + ln( -) 4º-Hallar los máimos y los mínimos de las unciones: 4. y - 4. y 5º-Calcular los coeicientes del polinomio p() a +b +c+d sabiendo que para - tiene un máimo relativo de unidades, que para 5 tiene un mínimo y la unción pasa por el punto (,-7). e 5

6 6º-Hallar a y b de modo que la unción de inleión en /. () - a - 4+b corte al eje OX en y tenga un punto 7º-Hallar los máimos y mínimos de () -n ln con n perteneciente a los naturales. 8º-Razona si es cierta o alsa la siguiente airmación: "Toda unción polinómica de grado tres tiene siempre un punto de inleión" 9º-Representar gráicamente las unciones: + 9. y 9. y ± 9. (+ ) 9.4 ( ) 9.5) ( ) ) ( 0º-Determinar las dimensiones que hacen mínima la supericie de un ortoedro si su volumen es 7 cc. y la razón de dos de sus dimensiones es /. º-Se desea construir un embudo cónico de generatriz 0 cm. Determinar la altura del embudo de modo que sea máimo el volumen. π DATO: V R h º-Determinar cuales deben ser las dimensiones de una vasija de orma cilíndrica de cc de volumen de modo que sea mínima la cantidad de material empleada en su construcción. DATO:V π R h º-La parte escrita ocupa 400 cm de la página de un libro, los márgenes superior e inerior deben ser de cm. y los márgenes laterales de cm. Cuáles deben ser las dimensiones de la página para obtener mayor economía en el papel?. 4º-En un cono de base circular de radio R y de altura H se inscribe otro cono de volumen máimo, base paralela a la suya y con el vértice en el centro de la misma. Hallar el volumen de este segundo cono. 5º-Se considera una ventana rectangular tal que el lado superior ha sido construido en orma de triángulo equilátero. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 4,5 m. hallar sus dimensiones para que su área sea máima. 6º-Desde una casa situada en el punto P(7,0) se quiere hacer un camino recto para conectarla con una carretera cuyo trazado viene dado por la curva de ecuación y ++ Con qué punto de la carretera conecta el camino más corto posible? 7º-De todas las rectas que pasan por el punto (,) encuentra la que determina con los ejes coordenados y el primer cuadrante un triángulo de área mínima y el valor de dicha área. 8º- Dada la unción y a +b +c+d hallar los coeicientes a, b, c, d, sabiendo que la ecuación de la tangente a la curva en el punto de inleión (,0) es y-+ y que la unción presenta un etremo en el punto de abscisa 0. 9º-Estudiar la monotonía de las siguientes unciones: 6

7 () ln b) () a) ln 0º- Hallar los máimos, mínimos y puntos de inleión de la unción 4 ( ) ( ) PROBLEMAS RESUELTOS º-Dada la unción y se pide: - a) Obtener las dos asíntotas de esta curva. b) Localizar los máimos y mínimos de la unción. c) Obtener los puntos de intersección con los ejes coordenados. d) Dibujar la gráica. Sol: a) A.O y+ ; A.V. b) M(,) m(,7) c) P.C. OY: (0,5/) ; P.C. OX: (-'8,0) ('8,0) º-Determina el punto de la curva cuya ecuación es y² que está más cerca del punto A(,0). Sol:(,) º-Encontrar los máimos y mínimos relativos de: () + Sol: m(,'89) n 4º-Hallar los etremos relativos de ln n -n n () donde n es par. Sol: ( e, ) n Ma n>0 min n<0 e 5º-Calcúlense las ecuaciones de las tangentes a la curva y en los puntos de inleión y de máimo o mínimo relativo. Sol: y-0 y+7/7-/(-/6) y-7/7 6º-En una carrera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de 00 km/h mientras que por el desierto la velocidad es de 60 km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 00 km, determinar la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible. Sol: d75 7º-Se desea construir una lata de conservas en orma cilíndrica circular recta de área total 50 0 centímetros cuadrados y el volumen máimo. Determinar su generatriz y su radio. Sol: h π 8º-Representar gráicamente la unción: y calculando dominio de deinición, etremos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, asíntotas y puntos de corte con los ejes. Sol: DomR-{,4} A.V.; 4 A.H.; y0 P.C.(0,0) m(-,-/9) M(,-) 9º-Con una chapa de hojalata cuadrada de lado 60 cm. es preciso hacer un cajón sin tapa que tenga volumen máimo. Se recortan cuadrados en los ángulos de la hojalata y se dobla esta para ormar el cajón Cual debe ser la longitud del lado de los cuadrados recortados?. Sol: l0 0º-De todos los conos inscritos en una esera de radio 4 m, determinar la altura y radio de la base del que tiene máimo su volumen. 7

8 Sol: 6 8 h ; r º-Representar gráicamente las unciones: a) () b) () + º-Dada la unción y a +b +c+d hallar los coeicientes a, b, c, d, sabiendo que la ecuación de la tangente a la curva en el punto (,) es y-+ y que la unción presenta un etremo en el punto (0,). Sol: a b- c0 d º-Estudiar la curvatura de las siguientes unciones: ln a) () ln b) () ln c) ( ) 4.- La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 40 cm. Halla sus dimensiones para que la supericie de ese rectángulo sea máima. Sol: Dos catetos iguales de 0 cm 5.- Se quieren abricar latas de reresco (cilíndricas) cuyo contenido sea de / de litro, de manera que el coste de la chapa sea mínimo; halla su altura y radio de la base. Mide las dimensiones de cualquier lata que tengas en casa y comprueba si se abrican siguiendo ese criterio. 6 Sol: R dm h 6 π 7 π 6.- Un comerciante vende mensualmente 000 latas de reresco a un precio de 60 céntimos/lata y sabe que por cada céntimo que rebaja en el precio vende 50 latas más, de la misma orma si aumenta el precio céntimo vende 50 latas menos. Si al comerciante le cuesta cada lata 0 céntimos. A qué precio ha de vender las latas para obtener el máimo beneicio?. Sol: 55 céntimos 7.- Queremos vallar una parcela rectangular de 00 m de una inca aprovechando un muro ya eistente, de modo que en ese lado no es necesaria valla. Cómo debe ser ese rectángulo para que el coste de la valla sea mínimo?. Sol: 0H0 8.- Un jardinero quiere construir un parterre con orma de sector circular. Lo quiere rodear con una valla. Si sólo dispone de 40 m, cuál será el radio para que la supericie sea máima?. Sol: r0m 9.- Se quiere vallar una parcela rectangular junto a una carretera. Si la valla junto a la carretera cuesta euro/m y el resto 50 céntimos/m. Cuáles serán las dimensiones de la parcela para que el área sea máima si disponemos de 80 euros?. Sol: 60H90 m. 0.- Hallar las dimensiones de un rectángulo de área máima inscrito en una circunerencia de radio. Sol: 8, y 8.- De todos los triángulos isósceles de perímetro 9. Hallar las dimensiones del que tenga área máima. Sol:, y 8