EJERCICIOS DERIVADAS

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Alberto Lucero Iglesias
hace 6 años
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1 Matemáticas CCSS º Bacillerato EJERCICIOS DERIVADAS Ejercicio nº.- Calcula '(), utilizando la deinición de derivada, siendo: () = + 5 ' ( ) () ( ) ( ) 8 ( ) 5 8 ( ) ( ) Ejercicio nº.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva () = - +, que es paralela a la recta + - =. Si esparalelaa larecta, tendrálamismapendiente: ' ' 7 7 Ordenada en el punto: Ecuación de la recta tangente:

2 Matemáticas CCSS º Bacillerato Ejercicio nº.- Considera la unción: () = a) Estudia su crecimiento alla sus máimos mínimos. b) Estudia su curvatura obtén sus puntos de inleión. a) '() = '() = 6 ( + + ) = 9 8 Signo de '(): () es creciente en (-, -) (-, +); es decreciente en (-, -). Tiene un máimo en (-, -) un mínimo en (-, -). b) ''() = +8 '' 8 8 Signo de ''(): esconveaen inleiónen 7,., ; escóncavaen,. Tieneunpuntode Ejercicio nº.- a) Halla la T.V.M. de la unción enelinterv alo,. b) Con el resultado obtenido, calcula '().

3 Matemáticas CCSS º Bacillerato a) T.V.M., ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) b) ' ( ) ( ) Ejercicio nº 5.- Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva () = - + que son paralelas a la recta = +. Si son paralelas a la recta = +, tienen la misma pendiente; es decir, a de ser: '() = ' Ordenadas en los puntos: (-) = -; () = Ecuaciones de las rectas tangentes: - En = - = - + ( + ) = En = = + ( - ) = - 7 Ejercicio nº 6.- Halla los máimos, mínimos puntos de inleión de la unción: () = ( -) ( + ) Di dónde es creciente, decreciente, cóncava convea. Derivada: '() = ( - ) ( + ) + ( - ) = ( - ) [ ( + ) + - ] =

4 Matemáticas CCSS º Bacillerato = ( - ) ( ) = ( - ) = - 6 ' Signo de '(): () es creciente en (-, ) (, +); es decreciente en (, ). Tiene un máimo en (, ) un mínimo en (, ). Segunda derivada: ''() = 6-6 ''() = 6-6 = = Signo de ''(): () es convea en (-, ); es cócava en (, +). Tiene un punto de inleión en (, ). Ejercicio nº 7.- Un eladero a comprobado que, a un precio de 5 céntimos de euro la unidad, vende una media de elados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende dos elados menos al día. Si el coste por unidad es de céntimos, a qué precio de venta es máimo el beneicio diario que obtiene el eladero? Cual será ese beneicio? Llamamos al número de céntimos en los que aumenta el precio. Así, cada elado costará 5 + céntimos; venderá - elados diarios. Por tanto, por la venta de los elados obtendrá unos ingresos: I () = (5 + ) ( - ) Pero tiene unos gastos de: G () = ( - ) Luego, el beneicio será de: B () = I () - G () = (5 + ) ( - ) - ( - ) = ( - ) (5 + - ) = = ( - ) ( + ) =

5 Matemáticas CCSS º Bacillerato Hallamos para que el beneicio sea máimo: B '() = B '() = = = 5 B ''() = -; B ''(5) < en = 5 a un máimo Por tanto, obtendrá el máimo beneicio vendiendo cada elado a céntimos de euro. En este caso, el beneicio sería de B (5) = 6 5 céntimos, es decir, de 6,5 euros. Ejercicio nº 8.- a) Halla la T.V.M. de la unción en elinterv alo,. b) Con el resultado obtenido, calcula '(). a) T.V.M., ( ) () 6 ( ) ( ) b) ' ( ) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) Ejercicio nº 9.- Halla la ecuaciónde la recta tangente a la curv a 6 en. Ordenada en el punto: 6 Pendiente de la recta: ' ' 8 Ecuación de la recta:

6 Matemáticas CCSS º Bacillerato Ejercicio nº.- Halla los intervalos de crecimiento los máimos mínimos de la unción: Dominio R {} Derivada: Signo de ' (). () es creciente en (, ) (, ); es decreciente en (, ) (, ). Tiene un máimo en (, ) un mínimo en (, ). Ejercicio nº.- La producción de cierta ortaliza en un invernadero (Q() en kg) depende de la temperatura ( en C) según la epresión: Q() = ( + ) ( - ) a) Calcula razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero. b) Qué producción de ortaliza se obtendría? a) Buscamos el máimo de la unción Q(): Q '() = ( + ) ( - ) + ( + ) (-) = ( + ) [ ( - ) - ( + )] = = ( + ) [ ] = ( + ) (6 - ) ' '

7 Matemáticas CCSS º Bacillerato Q' 6 Q ''() = (6 - ) + ( + ) (-) = = Q ''(-) = 66 > en = - a un mínimo. Q ''() = -66 < en = a un mínimo. Por tanto, la temperatura a de ser de C. b) La producción en este caso sería de: Q() = 5 kg Ejercicio nº.- Estudia el crecimiento la curvatura de la siguiente unción. Halla sus máimos, mínimos puntos de inleión: 9 Derivada: ' ' Signo de ' (): () es decreciente en (, ) (, ); es creciente en (, ) (, ). Tiene 7 7 unmínimoen, otro en,. Tieneunmáimoen,. 9 Segunda derivada:

8 Matemáticas CCSS º Bacillerato '' '' ,,79 Signo de '' (): () es decreciente en (;,) (,79; ); es convea en (,;,79). Tiene dos puntos de inleión: (,;,) (,79,,99) Ejercicio nº.- Una uerta tiene actualmente árboles, que producen 6 rutos cada uno. Se calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol disminue en 5 rutos. Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la uerta para que la producción sea máima? Cuál será esa producción? Llamamos al número de árboles que se plantan. Tenemos que el número de rutos sería: () ( ) (6 5) 5 Buscamos para que () sea máima: ' () ' Veamos que es un máimo: '' () ; '' (8) < en 8 a máimo. (Como () corresponde a una parabola invertida, en 8 está el máimo absoluto). Por tanto, se deben plantar 8 árboles. Así, abrá un total de 8 árboles, que producirán 5 6 rutos. Ejercicio nº Halla la derivada de la unción (), en = -, utilizando la deinición de derivada:

9 Matemáticas CCSS º Bacillerato Ejercicio nº 5.- eje de abscisas. Punto de corte con el eje X: Pendiente de la recta: Ecuación de la recta tangente: Ejercicio nº 6.- Estudia los intervalos de crecimiento los máimos mínimos de la unción: Dominio = R - { } Derivada: ' 5 ) ( 5 ) ( ) ( ) ( ) ( enelpunto de corte con el Obtén la ecuaciónde la recta tangente a la curv a, Punto ) ( ) ( ) ( ) ( ' 9 ' ) (

10 Matemáticas CCSS º Bacillerato ' ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) '() = = = Signo de '(): () es creciente en (-, ) (, +); es decreciente en (, ). Tiene un máimo en (, ). Ejercicio nº 7.- Un depósito abierto de latón con base cuadrada capacidad para litros, qué dimensiones debe tener para que su abricación sea lo más económica posible? Llamamos al lado de la base e a la altura del depósito. Así, el volumen es: V dm La supericie total del depósito (recordemos que está abierto) será: A 6 ; Buscamos para que A sea mínima: 6 6 A'

11 Matemáticas CCSS º Bacillerato A' dm Veamos que es un mínimo: A' ', A'' en a mínimo Por tanto, el lado de la base debe medir dm la altura, dm.

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