5x 2 +2 (x-6) 1-2x-e x +sen(3x) 1. [2014] [JUN-A] Calcular justificadamente: a) lim. ; b) lim x. x 2-1 (2x-1)

Transcripción

1 --e +sen(). [04] [JUN-A] Calcular justificadamente: a) lim ; b) lim 5 + (-6) - (-) a+ln(-) si < 0. [04] [JUN-B] Dada la función f() = e - (donde ln denota logaritmo neperiano) se pide: si 0 a) Calcular lim f() y lim f(). - b) Calcular el valor de a para que f() sea continua en todo. c) Estudiar la derivabilidad de f y calcular f', donde sea posible.. [0] [ET-A] Dada la función f() = a) Hallar las asíntotas de su gráfica. b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de infleión. c) Esbozar la gráfica de la función. 4. [0] [ET-B] Dada la función f() = e / a) Calcular lim f(), lim f() y estudiar la eistencia de lim f(). - b) Esbozar la gráfica y = f() determinando los intervalos de crecimeinto y decrecimiento de f() y sus asíntotas. 5. [0] [JUN-A] Dada la función f() = se pide: (-), a) Hallar las asíntotas de su gráfica. b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto de abscisa =. +A si 6. [0] [ET-A] Dada la funcion f() = si > a) Hallar el valor de A para que f() sea continua. Es derivable para ese valor de A? b) Hallar los puntos en los que f'() = 0. c) Hallar el maimo absoluto y el mnimo absoluto de f() en el intervalo [4,8]. 7. [0] [JUN-A] Hallar a, b, c de modo que la funcion f() = +a +b+c alcance en = un maimo relativo de valor, y tenga en = un punto de infleion. 8. [0] [JUN-B] Dadas las funciones f() = +ln(+), g() = (ln ), h() = sen( -) - a) Hallar el dominio de f() y el lim f(). b) Calcular g'(e). c) Calcular, en el intervalo (0, ), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y las coordenadas de los etremos relativos de h(). 9. [0] [ET-B] Dada la función f() = respuesta. e / si < 0 k si = 0 cos- sen si > 0 hallar el valor de k para que f sea continua en = 0. Justificar la 0. [0] [JUN-A] a) Calcular el siguiente límite: lim. + Página de 5

2 b) Demostrar que la ecuación m = 0 solo tiene una raíz real, caulquiera que sea el número m. Justificar la respuesta indicando qué teoremas se usan.. [0] [JUN-B] Dada la función f() = a4 + a) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en =. Para ese valor de a, obtener los otros puntos en los que f tiene un etremo relativo. b) Obtener las asíntotas de la gráfica de f() para a =. c) Esbozar la gráfica de la función para a =.. [00] [ET-A] Calcular los límites: lim (+arctan ) a/ +e ; lim 7+5e.. [00] [ET-B] Los puntos P(,,), Q(,,) y A(a,0,0) con a >, determinan un plano que corta a los semiejes positivos de O y OZ en los puntos B y C respectivamente. Calcular el valor de a para que el tetraedro determinado por los puntos A, B, C y elorigen de coordenadas tenga volumen mínimo. 4. [00] [JUN-A] Dada la función: f() = + + a) Estudiar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(). b) Hallar los puntos de infleión de la gráfica de f(). c) Hallar las asíntotas y dibujar la gráfica de f(). d) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica de f(), el eje de abscisas y las rectas y = +, =. ln si > 0 5. [00] [JUN-B] Dada la función: f() =, donde ln significa logaritmo neperiano de +k si 0 a) Determinar el valor de k para que la función sea continua en. b) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas. c) Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa =. 6. [009] [ET-A] Dada la función f() = ln(+a)-b si +a > 0 y 0 - si = 0 a) Hallar los valores de los parámetros a, b para los cuales la función f es continua en = 0. b) Para a = b = estudiar si la función es derivable en = 0, aplicando la definición de derivada. 7. [009] [ET-B] a) Dada la función f() = hallar el punto o los puntos de la gráfica de f() en los que la pendiente de la recta -, tangente sea. b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en el punto = 0. c) Sea g una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g(0) = 0, g() =. Demostrar que eiste al menos un punto c en el intervalo (0,) tal que g'(c) =. 8. [008] [JUN-A] Estudiar los siguientes límites: (a) lim e (b) lim +6 Página de 5

3 9. [008] [JUN-A] Obtener los máimos y mínimos relativos, y los puntos de infleión de la función: f() = ln() siendo ln() el logaritmo neperiano de. 0. [007] [JUN-A] Se considera la función f() = +m, donde m>0 es una constante. a) Para cada valor de m hallar el valor de a>0 tal que la recta tangente a la gráfica de f en el punto a,f(a) pase por el origen de coordenadas. b) Hallar el valor de m para que la recta y = sea tangente ala gráfica de f().. [007] [JUN-B] Dibujar la gráfica de la función f() = - asíntotas. indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y + si < 0. [006] [ET-A] a) Calcular los valores de a y b para que la función f() = +a cos si 0 < a +b si de. b) Estudiar la derivabilidad de f() para los valores de a y b obtenidos en el apartado anterior. sea continua para todo valor. [006] [JUN-A] a) Dibujar la gráfica de la función f() = indicando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y + asíntotas. b) Demostrar que la sucesión a n = n es monótona creciente. n+ c) Calcular lim n a n+ -a n. 4. [005] [ET-A] Dada la función f() = a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto a,f(a), para a > 0. b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en a) con los dos ejes coordenados. c) Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en b) sea mínima. 5. [005] [ET-B] Dada la función f() = ln donde ln significa logaritmo neperiano, definida para >, hallar un punto a,f(a) tal - que la recta tangente a la gráfica de f() en ese punto sea paralela al eje O. 6. [005] [JUN-B] Calcular los siguientes límites: a) lim b) lim arctge [004] [ET-A] Sabiendo que una función f() tiene como derivada f'() = (-4) -8+7 : a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Hallr los máimos y mínimos relativos de f. c) Es el punto = 4 un punto de infleión de f? Justificar razonadamente la respuesta. 8. [004] [JUN-A] Calcular la base y la altura del triángulo isosceles de perímetro 8 y área máima. Página de 5

4 9. [004] [JUN-B] Dada la función f() = - a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto a,f(a), donde 0 < a <. b) Hallar los puntos A y B en los que la recta hallada en el apartado a) corta a los ejes vertical y horizontal respectivcamente. c) Determiar el valor de a (0,) para el cual la distancia entre el punto A y el punto P a,f(a) es el doble de la distancia entre el punto B y P a,f(a). 0. [00] [JUN-A] Calcular los siguientes límites (donde "ln" significa logaritmo neperiano): ln cos() a) lim ln cos() b) lim [00] [JUN-B] a) Dibujar la gráfica de la función g() = e -. b) Calcular el dominio de definición de f() = e - y su comportamiento para 8 y -8. c) Determinar (si eisten) los máimos y mínimos absolutos de f() en su dominio de definición.. [00] [ET-A] Se considera la función real de variable real definida por f() = - si (-) si < a) Estudiar su continuidad y derivabilidad. b) Hallar la ecuación cartesiana de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (,).. [00] [ET-B] Sea f() una función real de variable real, derivable y con derivada continua en todos los puntos y tal que: f(0) = ; f() = ; f'(0) = ; f'() = 4. Se pide: a) Calcular g'(0), siendo g() = f +f(0). f() -f(+) b) Calcular lim e - 4. [00] [ET-B] Sea P() un polinomio de grado 4 tal que: i) P() es una función par. ii) Dos de sus raíces son: =, = - 5. iii) P(0) = 5. Se pide: a) Hallar sus puntos de infleiñon. b) Dibujar su gráfica. 5. [00] [JUN-B] a) Determinar los etremos relativos de la función f() = -4+. Dibujar su gráfica. b) Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el punto P(,-5). 6. [000] [ET-A] Sea la función f() = + sen. a) Determinar si tiene asíntotas de algún tipo. b) Estudiar su monotonía y la eistencia de etremos relativos. 7. [000] [ET-A] Dados tres números reales cualesquiera r, r, r, hallar el número real que minimiza la función: D() = r - + r - + r [000] [JUN-A] Sea f() = a +b +c+d un polinomio que cumple f() = 0, f'(0) =, y tiene dos etremos relativos para = y =. a) Determinar a, b, c y d. b) Son máimos o mínimos los etremos relativos? Página 4 de 5

5 9. [000] [JUN-B] a) Si es posible, dibujar de forma clara la gráfica de una función continua en el intervalo [0,4] que tenga al menos un máimo relativo en el punto (,) y un mínimo relativo en el punto (,4). b) Si la función fuera polinómica, cuál ha de ser como mínimo su grado? Soluciones 6. a) 8; deriv: -{} b) 5 c) ma: (5,); min: (8,) 7. -9, 5, a),+ ; b) c) (,0); ma: = 0; y = c) e a ; a) crec: (0,+ ) b) c) - -, ; min:, a). a) ; ma: -; min: b) d) a) 0 b) (0,0), (,0) c) y = - 6. a) a=b= b) si 7. a) (0,0), -,,,- 5 b) y = 8. (a) + (b) 0 9. ma: ; min: ; p.i: e e 0. a) m b) a), b) derivable en -{0}. a) Dom: -{}. Crec:. Asint: = -, y =. (-,) (7,+ ) b) ma: ; min: 7 c) si 8. 8, c) 4. a) +a y-a = 0 b) a,0, 0, a 9. a) a+y-a - = 0 b) A 0,a +, B a + a,0 c) 0. a) 9 4 b) 8 ma: (0,). a) Cont: ; der: -{} b) y =. a) b) 8 4. a) b) 5. a) min: (,-) - - c) 5. (,ln4) 6. a) - b) no 7. a) crec:. a) - - b) ; ; c) e 8-8 e b) y = -+; y = 6-6. a) no b) crec: ; sin etremos; p.inf: k 7. r +r +r 8. a), -,, -5 6 b) : ma; : min. 9. b) 5 Página 5 de 5