Criterio 1: Sea f una función derivable en (a,b). f es estrictamente creciente en el intervalo abierto (a, b) si f es positiva en dicho intervalo.

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1 UNIDAD. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.. Información etraída de la primera derivada.. Información etraída de la segunda derivada.. Derivabilidad en intervalos: Teorema de Rolle, del valor medio y Caucy..4 La derivación para el cálculo de límites: Regla de L Hôpital.. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA PRIMERA DERIVADA. Una función es estrictamente creciente en un intervalo (a,b) de su dominio si para cualquier par de puntos y del intervalo, con > se cumple que f( ) > f( ). Una función es estrictamente decreciente en un intervalo (a,b) de su dominio si para cualquier par de puntos y del intervalo, con > se cumple que f( ) < f( ). Criterio : Sea f una función derivable en (a,b). f es estrictamente creciente en el intervalo abierto (a, b) si f es positiva en dico intervalo. Criterio : Sea f una función derivable en (a,b). f es estrictamente decreciente en el intervalo abierto (a, b) si f es negativa en dico intervalo. f tiene un máimo relativo en el punto = a si eiste un nº real >0 tal que si (a -,a + ) con a, entonces f() < f(a). f tiene un mínimo relativo en el punto = a si eiste un nº real >0 tal que si (a -, a + ) con a, entonces f() > f(a). f tiene un máimo absoluto en el punto = a si para todo Dom f, con a, entonces f() < f(a). f tiene un mínimo absoluto en el punto = a si para todo Dom f, con a, entonces f() > f(a). Si f tiene un mínimo o una máimo en = a se dice que a es un etremo de f. TEOREMA: Sea f una función derivable en (a, b) y tal que alcanza un máimo o un mínimo en c (a, b), entonces f'(c)=0. Demostración: Supongamos que en c tenemos un máimo puesto que eiste f'(c) tendremos que f(c ) f(c) f(c ) f(c) f(c ) f(c) f(c ) f(c) 0 f'(c) 0 0 Observación : Si la derivada f (a)= 0, no podemos afirmar que f tenga en = a un máimo o un mínimo. Ejemplo: f() =. Observación : Una función puede tener un etremo en un punto no derivable. Ejemplo: f() =. Para calcular los máimos o mínimos de una función debemos estudiar las imágenes de los siguientes puntos: ) Puntos de derivada nula. ) Puntos donde no es derivable. ) Etremos del intervalo (si la función está definida en un intervalo cerrado).

2 Aquellos puntos cuya recta tangente es orizontal (f (a) = 0) se llaman puntos singulares (Recuerda que puede ser un etremo o no, ejemplo f() = en = 0). También podemos tener una función que presenta un mínimo o máimo pero no tiene derivada en dico punto (ejemplo en = 0), por ello a los valores reales en los que f () = 0 o no eista f () se les llama puntos críticos. Ejercicio.- Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones y sus etremos relativos (en clase del a al g): 4 a) f() 8 5 b) f( ) cos c) f ( ) d) f() ( ) e) f () si 0 si 0 g) (ej 6 pág 85) f() = i) f) f() 9 4 e ) f() () j) f( ) 5 6(44 ) f Ejercicio : Ejercicio 6 b, página 85. Halla los etremos absolutos de f, si eisten, en los 5 si intervalos [-,-), [-,-], [-,], [-,), [-4, ] y [-, ), siendo f() = si Ejercicio : Halla los etremos absolutos de las siguientes funciones en el intervalo indicado, el teorema de Weierstrass nos garantiza que se alcanza los máimos y mínimos absolutos: a) f() = - + en [-, ] min ma 0 b) f() = 4 en [0,] min ma c) f() = en [-,] min /, ½ ma - d) f() =. e en [-,] min 0 ma Ejercicio 4: (ejercicio 65) Determina un punto de la curva de ecuación f() = pendiente de la recta tangente sea máima. e en el que la Ejercicio 5: (ejercicio 69) Halla los valores de a, b y c sabiendo que la gráfica de la función a b f() = tiene una asíntota vertical en =, una asíntota oblicua de pendiente y un c etremo de abscisa =. Ejercicio 6: (ejercicio 70) Demuestra analítica y gráficamente que la ecuación e = no tiene solución. En clase: Página 85: Ejercicios del 6 b, 6, 65, 69, 70.

3 Voluntarios: Página 85: Ejercicios del 6a (es conveniente representar gráficamente para ver cómo cambia según el intervalo y la necesidad de que el intervalo sea cerrado para que eistan los máimos y mínimos absolutos) 64, 66 profundiza, 67, el 68 es como un ejercicio resuelto, te van dando los pasos.. INFORMACIÓN EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA DERIVADA. Una función f es cóncava en un intervalo si al unir dos puntos de dico intervalo, el segmento que los une queda por debajo de la gráfica de f en dico intervalo. Una función f es convea en un intervalo si al unir dos puntos de dico intervalo, el segmento que los une queda por encima de la gráfica de f en dico intervalo. có n ca v a co n v e a m ' >0 m ' =0 m ' <0 m <0 m =0 m >0 Criterio : Una función f es convea en el intervalo abierto (a, b) si la segunda derivada de f, f, es positiva en dico intervalo. Criterio 4: Una función f es cóncava en el intervalo abierto (a, b) si la segunda derivada de f, f, es negativa en dico intervalo. Si la función f tiene en el punto = a un cambio de cóncava a convea, o viceversa, se dice que f tiene un punto de infleión en dico punto. Criterio 5: Si f (a)=0 y f (a) 0, entonces f tiene un punto de infleión en = a. Criterio 6: Una función f tiene un máimo relativo en = a (que pertenece a su dominio) si f (a) = 0 y f (a) < 0. Criterio 7: Una función f tiene un mínimo relativo en = a (que pertenece a su dominio) si f (a) = 0 y f (a) > 0. Ejercicio 7.- Estudia la concavidad y conveidad (o intervalos de monotonía) de las siguientes funciones y calcula sus puntos de infleión, en clase del a al g: 4 a) f() 8 5 b) f( ) cos

4 c) f ( ) d) f() ( ) e) f () si 0 si 0 g) (ej 6 pág 85) f() = i) f) f() 9 4 e ) f() () j) f( ) 5 6(44 ) f Ejercicio 8: (ejercicio 8) La gráfica que se muestra es la de la derivada segunda de cierta función f. A partir de ella, deduce la curvatura de f y sus puntos de infleión. El dibujo que f es una parábola que corta en (0,0), (,0) y vértice en (,). Ejercicio 9: (ejercicio 84) De la función f definida por f() = a + b + c + d. Se sabe que tiene un máimo en = -, su gráfica corta al eje en el punto de abscisa = - y tiene un punto de infleión en el punto de abscisa = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene pendiente 9. En clase: ejercicio 8, 84. Voluntarios: 80, 85, 86, 87.. DERIVABILIDAD EN INTERVALOS: TEOREMA DE ROLLE, DEL VALOR MEDIO Y CAUCHY. Como consecuencia de la derivabilidad en intervalos cerrados tenemos los siguientes teoremas: TEOREMA DE ROLLE: Sea f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), si f(a) = f(b) entonces al menos un número real c (a, b) tal que f'(c) = 0 a b a b Demostración: Por ser f continua en [a, b] el teorema de Weierstrass alcanza máimo o mínimo en c (a, b). Se puede plantear las siguientes situaciones º c (a, b). Por ser máimo o mínimo f'(c)=0, por tanto c (a, b) / f (c) = 0 º Si alcanza el máimo en a y en b, puesto que f(a) = f(b) c (a, b) donde alcanza el mínimo, por tanto c (a, b) tal que f (c) = 0 4

5 º Si a fuera máimo y mínimo, puesto que f(a) = f(b) f cte. f' 0 en (a, b). Interpretación geométrica del teorema de Rolle: afirma que eiste c (a, b) en el cual la recta tangente es paralela al eje de abscisas. Ejercicio 0.- Demuestra si las siguientes funciones cumple el teorema de Rolle en el intervalo indicado. Calcula c, cuando sea posible. a) f() = 4 + en [0, 4] b) f() = en [0, ] c) f() = Ln( ) en [-e, e] d) f() = + 5 en [-,] Ejercicio.- Sea f() = en [-,] que no se anula en dico intervalo, contradice esta función el teorema de Rolle? a Ejercicio.- Calcula a, b y d para que la función f() b d condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [-, 5]. si 5 cumpla las Ejercicio.- Utiliza el teorema de Bolzano y de Rolle para probar que las funciones f() = y g() = e - se corten en un sólo punto cuando > 0. Ejercicio 4.- Dada la función f() = e -. Se pide: a) Estudiar el intervalo de definición de f. b) Demuestra que f tiene un único 0 en (0,+ ) Ejercicio 5.- Demuestra que la ecuación 6 + = 0 tiene una única solución real en el intervalo (0,). Ejercicio 6.- Aplicando el teorema de Rolle, demuestra que + b = 0 no puede tener más de una raíz en el intervalo [-,] cualquiera que sea el valor de b. Ejercicio 7.- Si en una función se verifica que f(a) = f(b), f es derivable en (a,b) y eiste c (a,b) tal que f (c) = 0, podemos asegurar que f es continua en [a,b]? Ejercicios voluntarios: página 84, ejercicios: 46, 47, 48. TEOREMA DE VALOR MEDIO O DE LAGRANGE. Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces eiste al menos un pto. c (a, b) / f ( b ) f ( a ) f '( c) ó f(b) - f(a) = f'(c)(b-a) b a La interpretación geométrica nos dice que eiste al menos un punto donde la recta tangente, a dico punto, es paralela a la recta que pasa por (a, f(a)) y (b, f(b)) 5

6 Ejercicio 8.- Aplica el teorema del valor medio, si es posible, a la función f() = 4 + en [0,]. Calcula el valor c correspondiente. Ejercicio 9.- Sea f() =. Encontrar un punto cuya recta tangente a la curva en dico punto sea paralela a la cuerda que une los puntos (0, 0) y (4, 48). ****Ejercicio 0.- Demuestra que f cumple las ipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [,6]. En qué punto se cumple la tesis? Siendo si 4 f() =. 0 9 si 4 Ejercicio.- Determina a y b para que la siguiente función cumpla las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo [0, ]: sen si f() =. a cos b si Ejercicio.- Un punto se desplaza siguiendo un movimiento rectilíneo según la ecuación (t) = t + Ln(t + ), donde t es el tiempo en segundos. En qué instante, t, alcanza la velocidad media que desarrolla en los cuatro primeros segundos? Ejercicios voluntarios: página 84, ejercicios: 49, 5, 5, 54 y 55. Consecuencias:.- El valor de una función en el entorno de =a tiene la siguiente forma f(a+) = f'(c) + f(a) c (a, a+)..- Si una función f tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, entonces f es constante en dico intervalo..- Si dos funciones f y g tienen derivada iguales en todos los puntos de un intervalo abierto, entonces ambas difieren en una constante. Ejercicio.- Comprobar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio de Caucy para f(c) = y g() = + en [0, ]. Hallar c. Ejercicio 4.- Análogo f() = - +, g() = en [, 4].4 LA DERIVACIÓN PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES: REGLA DE L`HÔPITAL 0 Los límites del tipo..., ya sabemos resolverlos. Cómo resolver los límites del 0 e tipo? Para resolver este último límite tenemos la regla de L'Hopital. 0 REGLA DE L'HÔPITAL. Sean dos funciones tales que f() g() 0 a f'() g'() = l entonces a a f() f'(). a g() a g'() siendo g() 0 en un entorno de a. Si 6

7 Ejercicio 5.- Calcula los siguientes límites: sen e sen cos ( )e arctg sen ln sen 0 0 (b e ) Lnb si + 0 si - log e (log ) 0 0 ( ) De estos ejercicios podemos obtener las siguientes consecuencias: f'() f() f'() ) También se verifica si = + o - entonces. a g'() a g() a g'() ) También se verifica para los límites laterales. ) También se verifica si f() g(). a a 4) En el primer paso, podemos volver a tener una indeterminación, se puede repetir dico proceso mientras continúe la indeterminación. 5) Hay epresiones del tipo - o 0. que se pueden poner en forma de cociente para que se le pueda aplicar la regla de L Hôpital. 6) También lo podemos aplicar cuando -> Ejercicio voluntario 6: Calcula los siguientes límites: e a) 0 d) (Ln.tg) 0 0 Ln(cos ) g) 0 cos b) 0 Ln( ) e) 0 e e ).Ln e e j) li m k) 0 e m) ( )Ln( ) 0 n n) e c) Ln(e ) f) 0 i) e e 0 cos l) 0 Ln(cos ) ñ) / tg tg Hacer en clase 56 l, 6, 88, 9 Voluntarios: página 84, ejercicios: 56 (no acer b, c, d, e, f, i, j, acer yo l), 57 (no d), 59, 60, 89, 90. 7