Representación gráfica de funciones. Un ejemplo resuelto. Para comprobar si tiene asíntotas oblicuas, calculamos el límite cuando x tiende a -

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José Luis Bustamante Lozano
hace 6 años
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1 Representación gráica de unciones. Un ejemplo resuelto Consideremos la unción deinida por la epresión + =. Dominio Debemos ecluir del dominio los valores de que anulan el denominador. Así, el dominio Dom = R \ 0 = R. de la unción es { } * Asíntotas verticales 0 lim + = La unción tiene una asíntota vertical en = 0. Los límites laterales en este punto son lim = lim =, + lim = lim =. 0 lim = Asíntotas horizontales La unción no tiene asíntotas horizontales, ya que sus límites cuando tiende a -positivo y negativo- no son valores reales. En eecto, + lim = lim =, + lim = lim =. lim = lim = Asíntotas oblicuas Para comprobar si tiene asíntotas oblicuas, calculamos el límite cuando tiende a - positivo y negativo- del cociente. Tenemos que + lim = lim = R, + lim ( ) = lim = lim + por lo que la recta y = es una asíntota oblicua cuando tiende a. =, Análogamente,

2 + lim = lim = R, + lim ( ) = lim = lim + =, por lo que la misma recta, y =, también es una asíntota oblicua cuando tiende a. Cortes con los ejes y = La unción no está deinida para = 0, por lo que no corta el eje y. Los puntos de corte con el eje son las soluciones de mismo, las raíces del numerador Estas son, ± 9 4 ± = = Así, los puntos de corte con los ejes son (, 0 ) y,0. + = 0, o lo que es lo Crecimiento y decrecimiento Para identiicar en que intervalos es creciente o decreciente la unción, analizamos el signo de su derivada ' = = =. Como el denominador es siempre positivo, ' tiene el mismo signo que. Basta, entonces, con que calculemos las raíces de esta epresión e identiiquemos su signo en cada uno de los intervalos determinados por estas. Las raíces son = 0, =, = ±. Y los tres intervalos relevantes para el signo de son,,, y,.

3 La parábola tiene orma de u con las ramas hacia arriba-, pues el coeiciente de la potencia de mayor grado es positivo. Por tanto, central y signo positivo en los otros dos. tiene signo negativo en el intervalo > 0 > 0 > 0 Llegamos a la misma conclusión si tomamos un punto en cada intervalo y analizamos el signo de en los puntos elegidos. Tomemos, por ejemplo, en el intervalo de es En el intervalo central podemos tomar el valor,, el valor =. En este punto, el valor ( ) = = > 0. =. Así, = = < 0. 4 Por último, tomando en el intervalo, como habíamos anticipado. El signo de ' = > 0, el valor = tenemos = es el mismo que el de. Sin embargo, a dierencia de la parábola, el cociente no está deinido en = 0. Por ello, debemos ecluir este valor del intervalo central identiicado para el análisis del signo de son, ahora,,,,0, 0, y,.. Los intervalos relevantes

4 Para ' tenemos que su signo es positivo en, y, -y en ambos intervalos la unción es creciente-, y es negativo en,0 y 0,, donde la unción es decreciente. intervalo,,0 0,, signo de '( ) positivo negativo negativo positivo carácter de ( ) creciente decreciente decreciente creciente Máimos y mínimos relativos Sabemos ya que la derivada de la unción es nula en los puntos = y =. Para el primero se cumple que la unción es creciente a su izquierda y decreciente a su derecha, por lo que ha de tener un máimo relativo en =. Podemos comprobarlo analizando el signo de la segunda derivada en el punto. Los cálculos para conocer '' son más sencillos si epresamos ' como ' = =. '' =, y Entonces '' = = 8 = 4 < 0, lo que nos permite asegurar que tiene un máimo relativo en =, para el que el valor de la unción es + = = = + =

5 Razonando de modo análogo para =, sabemos que la unción es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha, por lo que tenemos un mínimo relativo en este punto. En eecto, '' = 8 4 0, = = > como habíamos anticipado. El valor de la unción en este punto mínimo es + = = + = =. Representación gráica Hemos determinado ya los puntos de la gráica (, 0 ) y el eje horizontal),,0 (cortes con, (máimo relativo) y, (mínimo relativo). Además, conocemos sus asíntotas vertical ( = 0) y oblicua ( y ) =, y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. La idea aproimada que nos hacemos de la gráica de la unción a partir de estos elementos es muy similar a su representación eacta. C D D C 5

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