Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido

Transcripción

1 FUNCIONES.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN.- Una función es una relación entre dos magnitudes e y (variables), de forma que a cada valor de le corresponde un único valor de y. y Ejemplo: y 5 y Doy valores a y obtengo valores de y. Normalmente se simboliza y=f(), donde es la variable independiente e y es la variable dependiente. Los valores que puede tomar forman un conjunto denominado DOMINIO (D) de la función, mientras que los valores que puede tomar y forman el conjunto llamado RECORRIDO (R). FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.- Son aquellas funciones en las que tanto su dominio D como su recorrido R están incluidos dentro del conjunto de los números reales. CONCEPTOS BÁSICOS.- Sistema de referencia.- Las parejas de valores (,y) que se obtienen al dar valores a la función se pueden representar gráficamente. Para poder representar necesitamos un sistema de referencia, el más utilizado es el sistema de referencia cartesiano ortogonal. Dico sistema está formado por dos ejes de coordenadas perpendiculares entre si y graduados. Uno de los ejes lo tomaremos orizontal, se llama el eje de abscisas (), y el otro vertical, llamado eje de ordenadas (y). Puntos de corte con los ejes.- Son los puntos donde la función corta a los ejes de coordenadas. Ejemplo: En la función y 3 3, los puntos de corte son (0,-3) y (,0). FUNCIONES POLINÓMICAS.- Son aquellas que vienen definidas por un polinomio. Dominio.- Su dominio es el conjunto de los números reales. Tipos.- Atendiendo al grado del polinomio las funciones polinómicas pueden ser: de primer grado o AFINES, de segundo grado o CUADRÁTICAS, de tercer grado, etc. Funciones Afines.- Son las funciones polinómicas cuya forma es y=m+n. Si se representan se obtiene una línea recta. m se denomina pendiente de la recta y n ordenada en el origen. La pendiente mide la inclinación que presenta la recta respecto de la orizontal, mientras que la ordenada en el origen mide el valor de la función cuando la coordenada =0. Las funciones afines en las que n=0, se denominan funciones lineales. Si se representan son rectas que pasan por el origen. Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-

2 Repaso.- FORMAS DE EXPRESAR LA ECUACIÓN DE UNA RECTA EN EL PLANO.- Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.- Algunas veces necesitamos calcular la ecuación de una recta conocidos dos puntos de esta. La epresión viene dada por: Sean P (,y) y P (,y), la ecuación de la recta que pasa por ellos es Ecuación implícita o general.- A By C 0 Ecuación eplícita o punto pendiente.- y m n y y m ( ) Ecuación punto-pendiente y y y y, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen. Donde m es la pendiente y P(o,yo) un punto de la recta. DOS RECTAS IMPORTANTES: La bisectriz del er y 3 er cuadrante y. Y la bisectriz del º y 4º cuadrante y EJERCICIOS: pág. 3 el,, 3 y 4 / pág. 9 el 8 y 9. Funciones cuadráticas.- Son las funciones polinómicas cuya forma es y=a +b+c. Al representarla se obtiene una parábola. En este caso destacan dos datos importantes: ) Vértice. Es un punto muy característico de la parábola, su máimo o mínimo. Se puede calcular aplicando la epresión: v b a. ) Eje de simetría. Es la recta que divide a la parábola por la mitad. Su ecuación es: b a 3) Puntos de corte con los ejes. La función puede cortar a los ejes de coordenadas, los puntos de corte son: Con el eje X, debe ser y=0. Con el eje Y, debe ser =0. EJERCICIOS: pág. 4 el -a-b-e y -a-c. Esta parábola tiene tres puntos de corte k FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.- Son las funciones cuya forma es y ( k 0 ). K>0 K<0 Como vemos, en ambos casos, la función no está definida en =0, su dominio es D=R - {0}. Es creciente si k<0 y decreciente si k>0. Son simétricas respecto al origen. La función que se comportan de esta forma se denomina ipérbola equilátera. EJERCICIOS: pág. 7 el -a-b-c. Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-

3 FUNCIONES DEFINIDAS EN INTERVALOS.- Son funciones que se componen de varios trozos, dependiendo del intervalo en el que estemos. Ejemplo: EJERCICIOS: pág. 0 el, y 3 / pág. 30 el 0-a-c. si ( ) si f. DOS EJEMPLOS DE FUNCIONES A TROZOS ) Función parte entera de.- Se designa E=E(). Esta función al aplicarse sobre un número, se queda con su parte entera. Si representamos sale: ) Función valor absoluto de.- Se designa y= f(). De forma simple, esta función coge un número y se queda con su valor, pero siempre positivo. La más simple sería y=, que se define: y si 0. si 0 Su gráfica es: EJERCICIOS: Representa las funciones: y ; y 5 4 EJERCICIOS: pág. 4 el 4-a-b-c. FUNCIONES RACIONALES.- Son funciones de la forma polinomios. P( ) f ( ), donde P ( ) y Q( ) son Q( ) Ejemplo: Su dominio está formado por todos los números reales ecepto los que anulan el denominador. Asíntotas. Son rectas a las que la función se acerca cada vez más pero sin llegar a tocarlas nunca. f ( ). Esta función tiene por dominio todos los números reales salvo =. En dico punto tiene una asíntota vertical de ecuación =. Desde el punto de vista de la continuidad, la función es continua en todo su dominio salvo en =. (Ver gráfica en oja siguiente) Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-3

4 EJERCICIO.- Hallar el dominio de las siguientes funciones: a) y b) 7 y c) y 5 4. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.- Si a la variable independiente se le aplican sucesivamente dos funciones f y g, se obtiene una nueva función que llamamos función f compuesta con g, y que escribimos ( g f )( ) g f ( ). g f. Es decir: Ejemplo.- Sean f ( ) g( ) EJERCICIOS: pág. 36 el y. ( g f )( ) g f ( ) g ( )., calculo La composición de funciones, en general, no cumple la propiedad conmutativa. FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA.- Dada una función f(), se llama función inversa de f(), y se representa f - (), a la función que desace lo eco por f(). Dico de otra forma: f f f f I. (I se denomina función identidad). Ejemplo: Calcular la inversa de 5 f ( ). Dos pasos: ) Despejo. ) Cambiamos. Resulta f ( ) 5. EJERCICIOS: pág. 37 el 4. Propiedad importante.- La gráficas de las funciones respecto a la bisectriz del er y 3 er cuadrante (y=). f() y su recíproca g()=f - (), son simétricas EJERCICIOS: Representa en la misma gráfica la función y 3 y su recíproca. EJERCICIOS: pág. 37 el / pág. 50 el 9, 0-c y -b. Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-4

5 Propiedades INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA LÓPEZ NEYRA FUNCIÓN EXPONENCIAL.- Dado un número real a, mayor que cero (a>0), se llama función eponencial en R R base a, a la aplicación que asocia a cada número real un número real a, es decir: a Se epresa como y a. Ejemplos: (/) Su dominio es el conjunto de los números reales R=(-,+ ). Su recorrido es el conjunto de los números reales positivos R + =(0,+ ). Es continua en todo el dominio. Su punto de corte es (0,). Si: a> es creciente en todo su dominio. a< es decreciente en todo su dominio. Tiene por asíntota al eje X (recta y=0). EJERCICIOS: pág. 47 el 5 (Resuelto) comentar-. Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-5

6 Propiedades INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA LÓPEZ NEYRA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.- Dado un número real a, mayor que cero (a>0) y distinto de uno, se llama función logarítmica en base a, a la aplicación que asocia a cada número real positivo un número real que coincide con el eponente al que deberá elevarse la base a para obtener dico número, es decir: R R Se epresa como y f ( ) log. a Según la definición anterior se puede establecer la siguiente equivalencia: log a X log a N N a. Ejemplos: /6 ¼ ½ 4 6 /6 ¼ ½ 4 6 Log Log / Su dominio es el conjunto de los números reales positivos R + =(0,+ ). Su recorrido es el conjunto de los números reales R=(-,+ ). Es continua en todo el dominio. Su punto de corte es (,0). Si: a> es creciente en todo su dominio. a< es decreciente en todo su dominio. Tiene por asíntota al eje Y (recta =0). Si nos fijamos en las gráficas de las funciones eponencial y logarítmica, en una misma base, son funciones simétricas respecto a la bisectriz del er y 3 er cuadrante (recta y=). Se puede demostrar que cuando esto le ocurre a dos funciones, son una la recíproca de la otra. Por tanto la funciones eponencial y logarítmica son recíprocas una de la otra (para una misma base). Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-6

7 LOGARITMOS DECIMALES Y LOGARITMOS NEPERIANOS.- Dentro de los logaritmos que se generan en la función logarítmica ay dos que destacan, los de base 0 denominados logarítmos decimales y los de base e llamados logaritmos neperianos. Se epresan respectivamente: log log ; log ln. 0 e e se llama el número e. Su valor es: e=, Nota.- Los logaritmos anteriores son los que suelen traer las calculadoras, a partir de aora nos ocuparemos de los decimales que son los más utilizados. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.-.- log 0. El logaritmo de es cero..- log 0. El logaritmo de la base es la unidad. 3.- log ( A B ) log A log B. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. A 4.- log log A log B. El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del numerador y el B logaritmo del denominador. 5.- log A m m log A. El logaritmo de una potencia es igual al producto del eponente por el logaritmo de la base. 6.- Por último vamos a indicar como podemos pasar de un logaritmo en cualquier base otro en la base decimal: log log a log a EJERCICIO: pág. 47 el 6 (Resuelto) comentar-. EJERCICIOS: pág. 50 el 5-a-c / pág.5 el 9. Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-7

8 DOMINIO DE ALGUNAS FUNCIONES.- Podemos resumir los dominios de las funciones más abituales con la siguiente tabla: TIPO DE FUNCIÓN FORMA DOMINIO Funciones polinómicas f ( ) P( ) Polinomio D (, ) R P( ) Funciones racionales ( ) Q( ) Funciones con radicales f ( ) f D / Q( ) 0 R - / Q( ) 0 n g( ) n par D / g( ) 0 R - / g( ) 0 n impar D (, ) R Funciones eponenciales f ( ) e g( ) ó f ( ) a g( ) D f ( ) D g( ) Funciones logarítmicas f ( ) log g( ) D / g( ) 0 R - / g( ) 0 a EJERCICIOS: pág. el -a, b, e, f, i, j, k, l, m, n, ñ y o / pág. 9 el -c y 3-b. OTRO EJERCICIO: Hallar el dominio de las siguientes funciones: a) y log3 ( 9 ) b) c) d) y e 3 3 y 5 log( ) y 5 SOLUCIONES.- a) D (, 3 ) ( 3, ) b) D R (, ) c) D R 3 d) D (,5 ) ( 5, ) Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-8

9 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.- Una función f() tiene límite L en un punto =a, si el valor de la función se aproima al valor L cuando el valor de la variable se aproima a =a. Se epresa: f ( ) L a Ejemplos: ( ) La función f ( ) tiene por dominio todos los números reales salvo el =. (Gráfica A). Estudiemos lo que ocurre cuando nos acercamos a =: < > = f() f() Como vemos, cuando se aproima a por la dereca ( + ) los valores de la función tienden a 4. Por otro lado, cuando se aproima a por la izquierda ( - ), los valores de la función tienden también a 4. Se epresa: ( ) ( ) 4 4 A estos nuevos límites se les llaman límites laterales de la función. Para que eista el límite total deben eistir los límites laterales y coincidir, por tanto en nuestro ejemplo, eiste el límite en =, y su valor es 4: ( ) 4 (A) (B) Veamos un segundo ejemplo con la función f()=e(x). Recordemos que a esta función se le llama función parte entera de ya que al actuar sobre un número se queda con su parte entera. (Gráfica B). Calculemos los límites laterales cuando nos acercamos a =3: E( ) 3 3 E( ) 3. En este caso no eiste el límite total, ya que aunque eisten los límites laterales, éstos no coinciden. EJERCICIO: pág. 6 el. Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-9

10 LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO.- Veamos algunos ejemplos: 0 f ( ). En =0:. Por tanto: 0 0 f ( ). En =0: Además: Por tanto no eiste el ite en =0. y 0. EJERCICIO: Observando la gráfica de la función y=f() calcula el valor de los siguientes límites: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) 0 e) f ( ) f) f ( ) g) f ( ) d) f ( ) 0 ) f ( ) EJERCICIO: pág. 77 el 5. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.- ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) a a a a a a 3) a siendo f ( ) g( ) a a a f ( ) g( ) g( ) 0 4) k f ( ) k f ( ) a 5) k k a a EJERCICIO: pág. 60 el. Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-0

11 INDETERMINACIONES.- En el cálculo de límites ay casos en los que no se pueden aplicar directamente las propiedades anteriores, son las llamadas indeterminaciones, veamos los casos principales: N º Indeterminación 0.- En este caso ay que calcular los límites laterales de la función, que: Ej.-: ) Pueden coincidir, f ( ) f ( ) L. En este caso el límite total eiste y su valor es L. ( ) 3 a 0 a 3 ( ) 0. Calculo los laterales: 3 ( ) 0 3 ( ) ) Pueden ser distintos, f ( ) f ( ). En este caso no eistiría el límite total. a a Ej.-: Calculo los laterales: Indeterminación Nos podemos encontrar dos casos: ) Cuando son polinomios: en este caso se factorizan los polinomios del numerador y del denominador, para simplificar la epresión. 0 ( ) ( ) Ej.-3: ( ) 0 ) Cuando llevan raíces: aora no se puede factorizar, lo que se ace es multiplicamos y dividimos por el conjugado. Ej.-4: ( ( ) ( ) ) 0 ( ) ( ) 0 ( ( ) 0 ) ( 0 ) EJERCICIO: pág. 63 el, y 3 -los alumnos deben acer los Hazlos tú de estos tres ejercicios. EJERCICIO: pág. 78 el 3-f. EJERCICIO: Calcular el límite siguiente: 3 3 (Solución ¼) Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-

12 Indeterminación.- Se resuelve dividiendo numerador y denominador por elevada a la máima potencia que aparece en la función. En la práctica, cuando tenemos un límite del tipo P( ), donde P() y Q() son polinomios, resulta: Q( ) ) Si grado de P() > grado de Q() ) Si grado de P() < grado de Q() 0 P( ) Q( ) a 3) Si grado de P() = grado de Q() b donde a y b son los coeficientes de los monomios de mayor grado Ejemplos: 3) ) ) EJERCICIO: pág. 64 el. EJERCICIO: pág. 65 el / pág. 66 el, 4 algunos- y 5 algunos-. Límites cuando cambio de variable:.- Se pueden acer de forma directa, pero quizá sea más fácil aciendo un Paso de calcular el límite cuando a Cambio todas la que aparecen por. 3 Resuelvo el límite resultante.. EJERCICIO: pág. 67 el, algunos- y algunos-. Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-

13 Discontinuidad no evitable o esencial Segunda especie Primera especie ó de salto Discontinuidad evitable INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA LÓPEZ NEYRA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.- Idea intuitiva.- Las funciones continuas se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel. Definición.- Una función y=f() es continua en un punto o si cumple las siguientes condiciones: ) Eiste f( o ) ) Eiste f ( ) o 3) Ambos coinciden f ( ) f ( ) Diremos que una función es discontinua en un punto, cuando en dico punto no es continua. Una función que no eiste en un punto no se puede decir que sea continua ni discontinua en dico punto. Una función se dice que es continua, cuando lo es en todos los puntos de su dominio. o o Ej.: Estudiemos la continuidad de la función, f ( ) si si, en el punto o =: (Dibujar gráfica) f ( ) ( ) 3 f ( ) ( ). Por tanto no eiste f ( ). No es continua en =. TIPOS DE DISCONTINUIDADES TIPOS CONDICIÓN EJEMPLO Ocurre uno de estos dos casos: f ( ) a En = no eiste función, es como si ubiese un ueco. f (a) ó f ( a) f ( ) a Luego no eiste f() f ( ) a ya que, aunque f ( ) y f ( ), a a En =0 el límite por la dereca vale 0 y por la izquierda. su valor no coincide f ( ) f ( ) a a Por tanto eisten pero no coinciden. En este caso se define: Salto= f ( ) f ( ) a a El salto es. f ( ) a Ya que al menos uno de los límites laterales no eiste. En =0 eiste límite por la dereca de 0, pero no eiste límite por la izquierda de cero. Uno de los límites laterales no eiste. EJERCICIO: Hacer el ejemplo anterior para o=0 / pág. 77 el 6, 8 y 9 algunos- / pág. 78 el 0-a (libro). Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-3

14 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.- Definición.- Dada una función y=f() y un punto =a, se define la derivada de la función f() en el punto =a, y se designa f (a), como el valor del siguiente límite: f ( a ) f ( a ) f (a ) o, siendo =-a (representa lo que varia la variable ). Ej.- Calculemos la derivada de la función, f ( ), en =3: f ( 3 ) 0 f ( 3 ) f ( 3 ) 0 ( 3 ) ( 6 ) 0 ( 6 ) 6 Otros ejemplos: Con la función anterior, calcular f ( 5 ). Para f ( ) 3, calcular f ( ) y f ( ). EJERCICIO: pág. 87 el. FUNCIÓN DERIVADA.- Definición.- Cuando una función es derivable en su dominio D, podemos definir una nueva función f (), que llamamos función derivada, y que asocia a cada valor del dominio la derivada en dico punto. Ej.: Calculemos la función derivada de f ( ) : f ( ) 0 f ( ) f ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 De la misma forma se pueden calcular la función ª derivada, f (), 3ª derivada, f (), etc... INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.- La derivada de una función f() en un punto =a, coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en dico punto. m f ( o ) Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-4

15 RECTA TANGENTE A UNA CURVA EN UN PUNTO.- Dada la función y=f(), la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto =a, es: y f ( a ) f ( ) ( a ) Ej.: Calculemos la recta tangente a la curva f ( ) 8 0, en =-: Calculo f ( ) ( ) 8 ( ) f ( ) 8 f ( ) ( ) Por tanto, la recta tangente y 30 ( ) ( ) y 30 4 y 6 EJERCICIOS: pág. 95 el / pág. 06 el 5-a y 6 (recta normal, no). CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNIMOS.- Teniendo en cuenta que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto, podemos ver de forma intuitiva varias cosas: f ( o ) 0 f ( o ) 0 f ( o ) 0 Si f ( o ) 0, f ( ) es creciente en dico punto o. Si f ( ) 0, f ( ) es decreciente en dico punto o. Si f ( o ) 0, f ( ) es constante, la función tiene un máimo o un mínimo en dico punto o. EJERCICIOS: pág. 0 el 7-a / pág. 06 el 8-d y / pág. 08 el 47-a-b. ASÍNTOTAS.- Son rectas a las que se acerca la función sin llegar nunca a tocarla. Tres tipos: Asíntotas orizontales.- La función y=f() tiene por asíntota orizontal la recta y=b cuando eiste al menos uno de los límites laterales de la función cuando tiende a o, siendo el valor del límite b. f ( ) b f ( ) b Asíntotas verticales.- La función y=f() tiene por asíntota vertical recta =a cuando eiste al menos uno de los límites laterales de la función en dico punto, siendo el valor del límite o. f ( ) o f ( ) o a a Asíntotas oblicuas.- La recta y m n es una asíntota oblicua de la función y=f(), cuando se f ( ) pueden calcular y son finitos los límites siguientes: m ( m 0 ) n f ( ) m NOTA.- Si tiene asíntotas orizontales no tiene asíntotas oblicuas.- EJERCICIOS: pág. 79 el 6-a-c, 7-f y 9-c-d. Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-5

16 REGLAS DE DERIVACIÓN.- Se obtienen aplicando la definición anterior a la función correspondiente. FUNCIÓN SIMPLE DERIVADA FUNCIÓN COMPUESTA DERIVADA y k cte. y 0 y y y u( ) v( ) y u ( ) v( ) y k u( ) y k u ( ) y u( ) v( ) y u ( ) v( ) u( ) v( ) u( ) y v( ) u ( ) v( ) u( ) v( ) v ( ) y Derivada de una función compuesta (Regla de la cadena) ( g f ) ( ) f g( ) f g( ) g ( ) n y y n n n y u ( ) n y n u ( ) u ( ) y y y u( ) y u ( ) u( ) y e y e u( ) u( ) y e y e u ( ) y a y a lna u( ) u( ) y a y a lna u ( ) y ln y y lnu( ) u ( ) y u ( ) u( ) u( ) y loga y loga e y loga u( ) y loga e u ( ) u( ) NOTA.-En esta tabla faltan algunas derivadas básicas como las trigonométricas y funciones arco, no se an incluido ya que no se an estudiado dicas funciones. EJERCICIO: Pág. 9 el, 3, 6, 7, 8 y / Pág. 93 el 3, 5, 7 y 8 / Pág. 96 el / Pág. 97 el y 3. EJERCICIO: Pág. 05 algunos del 9 al. EJERCICIO: Pág. 07 el 33 y 35. NOTA.- No acer los ejercicios que contienen funciones trigonométricas. IMPORTENTE.- LOS ALUMNOS DEBEN TRABAJAR LOS DEMÁS EJERCICIOS DEL LIBRO Funciones MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (º Bacillerato) HOJA-6