REPRESENTACIÓN DE CURVAS - CCSS

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1 REPRESENTACIÓN DE CURVAS - CCSS Esquema Para representar gráficamente una función se debe estudiar: 1. Dominio. Puntos de corte con los ejes coordenados. Paridad y periodicidad 4. Asíntotas 5. Monotonía 6. Curvatura Función polinómica de segundo grado. Su gráfica es una parábola. Para representarla basta con halla los puntos de corte a los ejes y el vértice que es siempre un máimo o un mínimo. Si el coeficiente de es positivo la parábola es cóncava positiva y si es negativo es cóncava negativa. Cuando no eisten puntos de corte con el eje de abscisas podemos ayudarnos con una sencilla tabla de valores. Ejemplo 1 Gráfica y 4 Puntos de corte a los ejes: Para = 0, y = La función corta al eje de ordenadas en el punto (0, ) Para y = 0, Los puntos de corte al eje de abscisas son (, 0) y (1, 0) Vértice: y 4 ; y 4 ; y 4 0. El eje de simetría de la parábola es la recta =. Para =, y () 4. 1 V (, 1). El vértice es un mínimo ya que la segunda derivada es positiva. La función es decreciente en el intervalo (-, ) y creciente en (, +) Página 1/6

2 Funciones polinómicas en general Se siguen los siguientes pasos: 1. Dominio: Dom(f) = R. El dominio de toda función polinómica es siempre R.. Puntos de corte con los ejes de coordenadas.. Paridad y periodicidad 4. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos 5. Concavidad. Puntos de infleión. Nota: las funciones polinómicas no tienen asíntotas Ejemplo. Gráfica f() Dominio: El dominio es R; Dom(f) = R.- Puntos de corte con los ejes de coordenadas: Para = 0, y = 0 Para y = 0, 9 0 ( 9) Los puntos de corte son (0, 0), (, 0) y (-, 0)..- Paridad: 9 9 f f impar (simétrica respecto del origen) (,6 ) 4.- Crecimiento y decrecimiento: f ( ) 9 ; Intervalos (, ) (, ) (, ) Signo de y Función Para Máimo(-, 6 ) ; Para Mínimo(, 6 ) 5.- Curvatura: f ( ) 6 ;6 = 0 = 0. Intervalos (,0) ( 0, ) Signo de y - + Función Para = 0, eiste punto de infleión (0, 0) Página /6

3 Funciones racionales Se deben de realizar los seis pasos Ejemplo Gráfica y Dominio: 1 = 0 = 1 Dom ( f ) R 1.- Cortes con los ejes Para = 0, y = - Para y =0, 0 (que no tiene sol real.) Único punto de corte: (-, 0).- Paridad y simetría: no tiene 4.- Asíntotas: Horizontales: No hay Verticales 1(A.V.) Oblicuas: y y m n ; m lím lím lím 1 ( 1) n lím( y m) lím 1 1 lím ; y 1 (A.O.) Crecimiento y decrecimiento: y ; y 0 0 = 0; = ( 1) (-, 0) (0, 1) (1, ) (, +) Para = 0, máimo y Para =, mínimo y 6.- Concavidad : y ; y no se anula nunca. No hay puntos de infleión. ( 1) (-, 1) y - + y (1, +) y 1 Página /6

4 Ejemplo 4 Gráfica y 1 1.-Dominio: ; No hay soluciones reales. Dom( y) R.- Puntos de corte: Para = 0, y = 0; Para y = 0, = 0. Único punto de corte: (0, 0).-Paridad: f f y por tanto par (simétrica respecto de OY) 4.-Asíntotas: Horizontales: lím 1 luego y = 1 es una A.H. 1 Nota: Si hay horizontales lo son por la derecha y por la izquierda Verticales: No hay porque el denominador no se anula Oblicuas: No hay. no hay oblicuas. ( 1). 5.- Crecimiento y decrecimiento: y ( 1) ( 1) Si hacemos y 0 entonces = 0 = 0 Estudiando la derivada en los intervalos (-, 0) y (0, +) se obtiene (-, 0) (0, +) Para = 0, Mínimo(0, 0) 6.- Concavidad : y - + y ( y 1) ( ( 1) 4 1). ( 1) 8 ( 1) 6 ( 1) Si hacemos y 0, (, 1 ) ( 1, 1 ) ( 1, ) y y Eisten puntos de infleión para 1 y para 1 y 1 y 1 Página 4/6

5 Ejemplo 5 - Gráfica y 5 La gráficas de la forma a b y, siendo c 0, son siempre hipérbolas y para representarlas c d podemos omitir el método general de representación de funciones racionales. Basta con hallar los puntos de corte y las asíntotas. Puntos de corte: Para = 0, y = -/5 Para y = 0, = 0 = / Los puntos de corte son (0, -/5) y (/, 0) Asíntotas: Asíntota vertical: = -5 Asíntota horizontal: lím ;y = es una asíntota horizontal 5 Con las dos asíntotas dibujadas aparecen unos nuevos ejes. La curva ocupará primero y tercer cuadrante, o bien segundo y cuarto. Los puntos de corte hallados nos indican los que hemos de elegir. En este caso, segundo y cuarto. y 5 y 5 Observando la gráfica vemos que siempre es creciente. No hay máimos ni mínimos. Es cóncava negativa en (-, -5) y cóncava positiva en (-5, +). No hay puntos de infleión porque aunque en el punto = -5, cambia la curvatura, dicho punto no es de su dominio. Página 5/6

6 Ejemplo 6 Gráfica y Dominio: ; Dom ( y) R 1,1.-Puntos de corte: Para = 0, y = -1 Un punto de corte es (0,-1) 1 Para y = 0, No hay solución, no hay más puntos de corte. 1.-Paridad: Par. Simétrica respecto de OY 4.- Asíntotas: 1 Horizontales: lím 1;y = 1 es una A.H. Asíntotas oblicuas no hay. 1 Verticales: 1; 1 ( 1) ( 1) Crecimiento y decrecimiento: y. ( 1) ( 1) Si hacemos y 0, -4 = 0 = 0 Dividiendo el dominio por el punto cero y estudiando el signo de la derivada en los intervalos (-, -1), (-1, 0), (0, 1) y (1, +) se obtienen el siguiente resultado: 6.- Concavidad : (-, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, +) y y Para = 0, eistemáimo M(0, -1) 4( y 1) ( 1) ( 4) 4( 1) 16 4 ( 1) ( 1) 4 1 ( 1) Si hacemos y 0 entonces que no tiene solución, luego la segunda derivada no se anula nunca. No hay puntos de infleión. La tabla que refleja la concavidad de la curva queda así: (-, -1) (-1, 1) (1, +) y y Página 6/6