TEMA: ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES DERIVABLES

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1 TEMA: ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES DERIVABLES 1 DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN El dominio de una función está formado por aquellos valores de (números reales) para los que se puede calcular f(). PUNTOS DE CORTE DE UNA FUNCIÓN CON LOS EJES COORDENADOS Los primeros puntos de la gráfica que se pueden hallar son los puntos de la función que pertenecen a los ejes coordenados. Para hallar el punto donde la función corta al eje de ordenadas se resuelve el sistema: y = f ( ) = Para hallar los puntos donde la función corta al eje de abscisas se resuelve el sistema: y = f ( ) y = 3 SIMETRÍA Y PERIODICIDAD FUNCIÓN PAR Una función f es PAR cuando f( ) = f(), D Las funciones pares son simétricas respecto del eje de ordenadas (eje OY) FUNCIÓN IMPAR Una función f es IMPAR cuando f ( ) = f ( ), D Las funciones impares son simétricas respecto del origen de coordenadas. FUNCIÓN PERIÓDICA Una función f es PERIÓDICA cuando eiste un número p R tal que : f ( + p) = f ( ), D (los valores de la función se repiten de p en p). El número p se llama periodo. 4 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Sea f() una función derivable en el punto f ( ) > f es estrictamente creciente en estrictamente creciente en f ( ) f es f ( ) < f es estrictamente decreciente en f estrictamente decreciente en f ( ) es 5 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN Sea f() una función y un punto del dominio. DEFINICIÓN La función f() presenta un máimo relativo en, cuando eiste un entorno E( ) tal que f ( ) < f ( E ) ; ( ), La función f() presenta un mínimo relativo en, cuando eiste un entorno E( ) tal que f ( ) > f ( E ) ; ( ), 1

2 Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máimo mínimo) de todas las imágenes de los alrededores. No se ecluye que haya otros puntos alejados de cuya imagen sea mayor o menor que f( ). A los máimos y mínimos relativos se los llama etremos relativos o simplemente etremos. TEOREMA (CONDICIÓN NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS) Sea f : R R una función cuyo dominio es D=Dom(f) y un punto del dominio. Si f alcanza un etremo en f ( ) = y f es derivable en Nota La recta tangente en un etremo es paralela al eje OX, luego la derivada (la pendiente de la recta tangente) es cero. Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser etremos, pero no puede asegurarse que lo sean. A estos puntos se les llama puntos críticos. Si hay etremo en f ( ) = Si f ( ) No hay etremo en Vamos a ver unos criterios para demostrar si un punto crítico es o no un etremo. CRITERIO-1: VARIACIÓN DE LA DERIVADA Sea la función f derivable en el intervalo (a,b) ( a, b), f ( ) = Vamos a estudiar la función derivada en ese intervalo. Los casos posibles que se pueden presentar son: A. f ( ) > ( a, ) y f ( ) < (, b) I I: Si la derivada es positiva, la función es creciente. II: Si la derivada es negativa, la función es decreciente. Estamos en el caso de una función que es creciente antes del punto y es decreciente después del punto, luego en el punto hay un máimo relativo. B. f ( ) < ( a, ) y f ( ) > (, b) I I: Si la derivada es negativa, la función es decreciente. II: Si la derivada es positiva, la función es creciente. Estamos en el caso de una función que es decreciente antes del punto y es creciente después del punto, luego en el punto hay un mínimo relativo. C. Ni A. ni B. No hay etremo.. CRITERIO-: VARIACIÓN DE LA SEGUNDA DERIVADA Sea f : R R una función derivable más de una vez. f ( ) = II II

3 TEOREMA (CONDICIÓN SUFICIENTE PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS) Pueden ocurrir los siguientes casos: f a) ( ) > La función f tiene en el punto un mínimo relativo. b) f ( ) < La función f tiene en el punto un máimo relativo. c) f ) = No se puede afirmar nada. ( 6 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN Definición Una función es convea si fijado un vector unitario en el semieje positivo OY, dicho vector está en el mismo semiplano (determinado por las rectas tangentes a la función) que la función. En caso contrario (distintos semiplanos) se dice cóncava. Y Cóncava Recta tangente 1 Convea X -1 Recta tangente - -3 Condiciones analíticas de concavidad y conveidad Si f ()> en un intervalo (a, b) f() es convea en el intervalo (a, b). Si f ()< en un intervalo (a, b) f() es cóncava en el intervalo (a, b). 7 PUNTOS DE INFLEXIÓN Definición El punto que, en una función continua, separa la parte convea de la cóncava, se llama punto de infleión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convea sino que hay cambio de concavidad a conveidad o al revés. Los puntos de infleión están caracterizados por: 3

4 Teorema Sea y = f () la ecuación de una función. Si f ( a) =, o f ( a) no eiste, y la derivada f () cambia de signo al pasar por el valor de =a, entonces, el punto de la función de abscisa =a es un punto de infleión. Puntos de infleion f ( ) = Nota Los puntos de infleión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una recta tangente que cruza la gráfica de f. 8 ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición más formal es: Definición Si un punto (,y) se desplaza continuamente por una función y=f() de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Las asíntotas se clasifican en: Asíntotas Verticales Horizontales Oblicuas a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY) Si eiste un número a tal, que : lim f ( ) = a La recta = a es la asíntota vertical. b. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX) Si eiste el límite: lim f ( ) = b La recta y = b es la asíntota horizontal. c. Asíntotas oblicuas (inclinadas) Si eisten los límites: f ( ) lim = m ; lim f ( ) m = La recta y = m+n es la asíntota oblicua. [ ] n Nota-1 Las asíntotas horizontales y oblicuas son ecluyentes, es decir la eistencia de unas, implica la no eistencia de las otras. 4

5 Nota- En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la eistencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos. Posición relativa de la función con respecto a la asíntota Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema y = f() P(a, b) y = Asíntota Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f()-Asíntota]. 9 REGIONES DE EXISTENCIA PARA UNA FUNCIÓN Las regiones donde eiste la función son las parcelas del plano por donde tenemos la seguridad de su eistencia. Estas regiones se determinan, para funciones racionales, trazando rectas verticales sobre el eje OX, en los puntos donde se anula el numerador y el denominador de la función, considerando su orden de multiplicidad. Una región sería la porción del plano considerada entre dos líneas verticales y el eje OX. Una vez asegurada la eistencia de la función en una de ellas (mediante un valor de la ), alternaremos en una SI y en otra NO por orden la eistencia, hasta completar todo el plano. Ejemplo: 1 ( 1)( + 1) f ( ) = = + 6 ( + 3)( ) 1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Con todos los apartados anteriores se realiza un esbozo de la gráfica de la función. 5

6 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS 1º Representa las siguientes funciones polinómicas: a) y 4 = b) = y c) y = º Representa las siguientes funciones racionales: a) y = b) y = c) ( 1) y = 3 d) y = e) 1 1 y = f) + 1 y = 1 g) 1 y = h) + 3 y = i) 6 y = + 1 j) y = º Sea f() una función real de variable real, definida en todo R, de la cual conocemos la siguiente tabla: (-,) (,1) 1 (1,) (,3) 3 (3,+ ) f() f () f () a. Calcula los puntos de corte con los ejes. b. Calcula los máimos y los mínimos relativos. c. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento. d. Calcula los puntos de infleión que tiene, distinguiendo los que tienen la tangente horizontal y los que tienen la tangente inclinada. e. Calcula los intervalos de concavidad y conveidad. f. Realiza un esbozo de su gráfica. 6

7 4º Idem X (-,-) - (-,-1) -1 (-1,) (,) (,3) 3 (3,5) 5 (5,+ ) f f f